Theorem kgenhaus 23890

Description: The compact generator generates another Hausdorff topology given a Hausdorff topology to start from. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenhaus	⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

Proof of Theorem kgenhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23676	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 23263	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		kgentopon 23884	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		kgenss 23889	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
7	1, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	sshaus 23720	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)
10	5, 7, 9	mpd3an23 1493	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6555  Topctop 23238  TopOnctopon 23255  Hauscha 23653  𝑘Genckgen 23879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-map 8874  df-en 8999  df-fin 9002  df-fi 9427  df-rest 17619  df-topgen 17640  df-top 23239  df-topon 23256  df-bases 23291  df-cn 23572  df-haus 23660  df-cmp 23732  df-kgen 23880

This theorem is used by: (None)