MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenhaus Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenhaus 22705
Description: The compact generator generates another Hausdorff topology given a Hausdorff topology to start from. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenhaus (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

Proof of Theorem kgenhaus
StepHypRef Expression
1 haustop 22492 . . . 4 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2 toptopon2 22077 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
31, 2sylib 217 . . 3 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
4 kgentopon 22699 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
53, 4syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
6 kgenss 22704 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
71, 6syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8 eqid 2738 . . 3 𝐽 = 𝐽
98sshaus 22536 . 2 ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)
105, 7, 9mpd3an23 1462 1 (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wss 3886   cuni 4839  cfv 6426  Topctop 22052  TopOnctopon 22069  Hauscha 22469  𝑘Genckgen 22694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-map 8604  df-en 8721  df-fin 8724  df-fi 9157  df-rest 17143  df-topgen 17164  df-top 22053  df-topon 22070  df-bases 22106  df-cn 22388  df-haus 22476  df-cmp 22548  df-kgen 22695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator