Theorem kgenhaus 23281

Description: The compact generator generates another Hausdorff topology given a Hausdorff topology to start from. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenhaus	⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

Proof of Theorem kgenhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23068	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 22653	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		kgentopon 23275	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		kgenss 23280	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	sshaus 23112	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)
10	5, 7, 9	mpd3an23 1462	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ∪ cuni 4908  ‘cfv 6543  Topctop 22628  TopOnctopon 22645  Hauscha 23045  𝑘Genckgen 23270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-en 8946  df-fin 8949  df-fi 9412  df-rest 17375  df-topgen 17396  df-top 22629  df-topon 22646  df-bases 22682  df-cn 22964  df-haus 23052  df-cmp 23124  df-kgen 23271

This theorem is referenced by: (None)