Theorem kgenhaus 23863

Description: The compact generator generates another Hausdorff topology given a Hausdorff topology to start from. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenhaus	⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

Proof of Theorem kgenhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 23649	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 23236	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		kgentopon 23857	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		kgenss 23862	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
7	1, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	sshaus 23693	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)
10	5, 7, 9	mpd3an23 1492	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6538  Topctop 23211  TopOnctopon 23228  Hauscha 23626  𝑘Genckgen 23852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8849  df-en 8974  df-fin 8977  df-fi 9403  df-rest 17593  df-topgen 17614  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cn 23545  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-kgen 23853

This theorem is used by: (None)