Theorem kgenhaus 22695

Description: The compact generator generates another Hausdorff topology given a Hausdorff topology to start from. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenhaus	⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

Proof of Theorem kgenhaus

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 22482	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Top)
2		toptopon2 22067	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		kgentopon 22689	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
5	3, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
6		kgenss 22694	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
9	8	sshaus 22526	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)
10	5, 7, 9	mpd3an23 1462	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ∪ cuni 4839  ‘cfv 6433  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  Hauscha 22459  𝑘Genckgen 22684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617  df-en 8734  df-fin 8737  df-fi 9170  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cn 22378  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-kgen 22685

This theorem is referenced by: (None)