Theorem tendoi2 41766

Description: Value of additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoi.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
tendoi.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoi2	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝐹) = ◡(𝑆‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓, 𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓, 𝑠)   𝐼(𝑓, 𝑠)   𝐾(𝑓, 𝑠)

Proof of Theorem tendoi2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoi.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
2		tendoi.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendoi 41765	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
5		fveq2 6874	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑆‘𝑔) = (𝑆‘𝐹))
6	5	cnveqd 5850	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ◡(𝑆‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝐹))
7	6	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ◡(𝑆‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝐹))
8		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		fvex 6887	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐹) ∈ V
10	9	cnvex 7921	. . 3 ⊢ ◡(𝑆‘𝐹) ∈ V
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) ∈ V)
12	4, 7, 8, 11	fvmptd 6990	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝐹) = ◡(𝑆‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5647  ‘cfv 6528  LTrncltrn 41072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536

This theorem is used by:  tendoicl  41767  tendoipl  41768  dihjatcclem4  42392