Theorem tendoi2 40300

Description: Value of additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoi.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
tendoi.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoi2	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝐹) = ◡(𝑆‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoi2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoi.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
2		tendoi.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendoi 40299	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
4	3	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
5		fveq2 6902	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑆‘𝑔) = (𝑆‘𝐹))
6	5	cnveqd 5882	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ◡(𝑆‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝐹))
7	6	adantl 480	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ◡(𝑆‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝐹))
8		simpr 483	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		fvex 6915	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐹) ∈ V
10	9	cnvex 7939	. . 3 ⊢ ◡(𝑆‘𝐹) ∈ V
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) ∈ V)
12	4, 7, 8, 11	fvmptd 7017	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝐹) = ◡(𝑆‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ↦ cmpt 5235  ^◡ccnv 5681  ‘cfv 6553  LTrncltrn 39606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561

This theorem is referenced by:  tendoicl  40301  tendoipl  40302  dihjatcclem4  40926