Theorem tendoi2 41424

Description: Value of additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoi.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
tendoi.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoi2	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝐹) = ◡(𝑆‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoi2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoi.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
2		tendoi.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendoi 41423	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
4	3	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
5		fveq2 6869	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑆‘𝑔) = (𝑆‘𝐹))
6	5	cnveqd 5849	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ◡(𝑆‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝐹))
7	6	adantl 485	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ◡(𝑆‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝐹))
8		simpr 488	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		fvex 6882	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐹) ∈ V
10	9	cnvex 7908	. . 3 ⊢ ◡(𝑆‘𝐹) ∈ V
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) ∈ V)
12	4, 7, 8, 11	fvmptd 6985	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝐹) = ◡(𝑆‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  Vcvv 3456   ↦ cmpt 5183  ^◡ccnv 5648  ‘cfv 6523  LTrncltrn 40730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531

This theorem is referenced by:  tendoicl  41425  tendoipl  41426  dihjatcclem4  42050