Theorem tendoi2 40778

Description: Value of additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoi.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
tendoi.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
tendoi2	⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝐹) = ◡(𝑆‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐹(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoi2

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tendoi.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
2		tendoi.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3	1, 2	tendoi 40777	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
5		fveq2 6907	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑆‘𝑔) = (𝑆‘𝐹))
6	5	cnveqd 5889	. . 3 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ◡(𝑆‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝐹))
7	6	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ 𝑔 = 𝐹) → ◡(𝑆‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝐹))
8		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ 𝑇)
9		fvex 6920	. . . 4 ⊢ (𝑆‘𝐹) ∈ V
10	9	cnvex 7948	. . 3 ⊢ ◡(𝑆‘𝐹) ∈ V
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝐹) ∈ V)
12	4, 7, 8, 11	fvmptd 7023	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝐹) = ◡(𝑆‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688  ‘cfv 6563  LTrncltrn 40084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571

This theorem is referenced by:  tendoicl  40779  tendoipl  40780  dihjatcclem4  41404