Theorem tendoicl 40797

Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))

Assertion

Ref	Expression
tendoicl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoicl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendoicl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoicl.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2730	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendoicl.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		simpl 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpll 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	2, 3, 5	tendocl 40768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
9	8	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
10	2, 3	ltrncnv 40147	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
12	11	fmpttd 7090	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇)
13		tendoicl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
14	13, 3	tendoi 40795	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
16	15	feq1d 6673	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇 ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇))
17	12, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇)
18		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
19	2, 3	ltrnco 40720	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
20	19	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
21	13, 3	tendoi2 40796	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
23		cnvco 5852	. . . 4 ⊢ ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ))
24	2, 3	ltrncom 40739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
25	24	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
26	25	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)))
27		simp1ll 1237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28		simp1lr 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
29		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ ∈ 𝑇)
30		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
31	2, 3, 5	tendovalco 40766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
32	27, 28, 18, 29, 30, 31	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
33	26, 32	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
34	33	cnveqd 5842	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
35	13, 3	tendoi2 40796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
36	18, 30, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
37	13, 3	tendoi2 40796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
38	18, 29, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
39	36, 38	coeq12d 5831	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ)))
40	23, 34, 39	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
41	22, 40	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
42	35	adantll 714	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
43	42	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)))
44	2, 3, 4	trlcnv 40166	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
45	7, 9, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
46	43, 45	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
47	1, 2, 3, 4, 5	tendotp 40762	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
48	47	3expa 1118	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
49	46, 48	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 41, 49	istendod 40763	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640   ∘ ccom 5645  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  lecple 17234  HLchlt 39350  LHypclh 39985  LTrncltrn 40102  trLctrl 40159  TEndoctendo 40753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-riotaBAD 38953

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-undef 8255  df-map 8804  df-proset 18262  df-poset 18281  df-plt 18296  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-p0 18391  df-p1 18392  df-lat 18398  df-clat 18465  df-oposet 39176  df-ol 39178  df-oml 39179  df-covers 39266  df-ats 39267  df-atl 39298  df-cvlat 39322  df-hlat 39351  df-llines 39499  df-lplanes 39500  df-lvols 39501  df-lines 39502  df-psubsp 39504  df-pmap 39505  df-padd 39797  df-lhyp 39989  df-laut 39990  df-ldil 40105  df-ltrn 40106  df-trl 40160  df-tendo 40756

This theorem is referenced by:  tendoipl  40798  tendoipl2  40799  erngdvlem1  40989  erngdvlem1-rN  40997  dihjatcclem4  41422