Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoicl 37812
Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
Assertion
Ref Expression
tendoicl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoicl
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 tendoicl.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoicl.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2818 . 2 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5 tendoicl.e . 2 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 simpl 483 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpll 763 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
82, 3, 5tendocl 37783 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
983expa 1110 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
102, 3ltrncnv 37162 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
117, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
1211fmpttd 6871 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑔𝑇(𝑆𝑔)):𝑇𝑇)
13 tendoicl.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
1413, 3tendoi 37810 . . . . 5 (𝑆𝐸 → (𝐼𝑆) = (𝑔𝑇(𝑆𝑔)))
1514adantl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) = (𝑔𝑇(𝑆𝑔)))
1615feq1d 6492 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆):𝑇𝑇 ↔ (𝑔𝑇(𝑆𝑔)):𝑇𝑇))
1712, 16mpbird 258 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆):𝑇𝑇)
18 simp1r 1190 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑆𝐸)
192, 3ltrnco 37735 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) ∈ 𝑇)
20193adant1r 1169 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) ∈ 𝑇)
2113, 3tendoi2 37811 . . . 4 ((𝑆𝐸 ∧ (𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
2218, 20, 21syl2anc 584 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
23 cnvco 5749 . . . 4 ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆))
242, 3ltrncom 37754 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) = (𝑔))
25243adant1r 1169 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) = (𝑔))
2625fveq2d 6667 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
27 simp1ll 1228 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28 simp1lr 1229 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑊𝐻)
29 simp3 1130 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑇)
30 simp2 1129 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑔𝑇)
312, 3, 5tendovalco 37781 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑆𝐸) ∧ (𝑇𝑔𝑇)) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3227, 28, 18, 29, 30, 31syl32anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3326, 32eqtrd 2853 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3433cnveqd 5739 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3513, 3tendoi2 37811 . . . . . 6 ((𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3618, 30, 35syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3713, 3tendoi2 37811 . . . . . 6 ((𝑆𝐸𝑇) → ((𝐼𝑆)‘) = (𝑆))
3818, 29, 37syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘) = (𝑆))
3936, 38coeq12d 5728 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆)))
4023, 34, 393eqtr4a 2879 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)))
4122, 40eqtrd 2853 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)))
4235adantll 710 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
4342fveq2d 6667 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
442, 3, 4trlcnv 37181 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
457, 9, 44syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
4643, 45eqtrd 2853 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
471, 2, 3, 4, 5tendotp 37777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
48473expa 1110 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
4946, 48eqbrtrd 5079 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
501, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 41, 49istendod 37778 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ccnv 5547  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  lecple 16560  HLchlt 36366  LHypclh 37000  LTrncltrn 37117  trLctrl 37174  TEndoctendo 37768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-map 8397  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tendo 37771
This theorem is referenced by:  tendoipl  37813  tendoipl2  37814  erngdvlem1  38004  erngdvlem1-rN  38012  dihjatcclem4  38437
  Copyright terms: Public domain W3C validator