Theorem tendoicl 41427

Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))

Assertion

Ref	Expression
tendoicl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoicl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendoicl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoicl.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2765	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendoicl.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		simpl 487	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpll 778	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	2, 3, 5	tendocl 41398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
9	8	3expa 1134	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
10	2, 3	ltrncnv 40777	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
11	7, 9, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
12	11	fmpttd 7100	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇)
13		tendoicl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
14	13, 3	tendoi 41425	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
15	14	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
16	15	feq1d 6677	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇 ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇))
17	12, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇)
18		simp1r 1215	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
19	2, 3	ltrnco 41350	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
20	19	3adant1r 1194	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
21	13, 3	tendoi2 41426	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
22	18, 20, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
23		cnvco 5865	. . . 4 ⊢ ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ))
24	2, 3	ltrncom 41369	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
25	24	3adant1r 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
26	25	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)))
27		simp1ll 1253	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28		simp1lr 1254	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
29		simp3 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ ∈ 𝑇)
30		simp2 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
31	2, 3, 5	tendovalco 41396	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
32	27, 28, 18, 29, 30, 31	syl32anc 1401	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
33	26, 32	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
34	33	cnveqd 5851	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
35	13, 3	tendoi2 41426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
36	18, 30, 35	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
37	13, 3	tendoi2 41426	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
38	18, 29, 37	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
39	36, 38	coeq12d 5840	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ)))
40	23, 34, 39	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
41	22, 40	eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
42	35	adantll 726	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
43	42	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)))
44	2, 3, 4	trlcnv 40796	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
45	7, 9, 44	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
46	43, 45	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
47	1, 2, 3, 4, 5	tendotp 41392	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
48	47	3expa 1134	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
49	46, 48	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 41, 49	istendod 41393	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5650   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  lecple 17305  HLchlt 39981  LHypclh 40615  LTrncltrn 40732  trLctrl 40789  TEndoctendo 41383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-riotaBAD 39584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8814  df-proset 18338  df-poset 18357  df-plt 18372  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-p1 18468  df-lat 18476  df-clat 18543  df-oposet 39807  df-ol 39809  df-oml 39810  df-covers 39897  df-ats 39898  df-atl 39929  df-cvlat 39953  df-hlat 39982  df-llines 40129  df-lplanes 40130  df-lvols 40131  df-lines 40132  df-psubsp 40134  df-pmap 40135  df-padd 40427  df-lhyp 40619  df-laut 40620  df-ldil 40735  df-ltrn 40736  df-trl 40790  df-tendo 41386

This theorem is referenced by:  tendoipl  41428  tendoipl2  41429  erngdvlem1  41619  erngdvlem1-rN  41627  dihjatcclem4  42052