Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoicl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoicl 40753
Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
Assertion
Ref Expression
tendoicl (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoicl
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 tendoicl.h . 2 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 tendoicl.t . 2 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2740 . 2 ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5 tendoicl.e . 2 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6 simpl 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
7 simpll 766 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
82, 3, 5tendocl 40724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
983expa 1118 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
102, 3ltrncnv 40103 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
117, 9, 10syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (𝑆𝑔) ∈ 𝑇)
1211fmpttd 7149 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝑔𝑇(𝑆𝑔)):𝑇𝑇)
13 tendoicl.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑠𝐸 ↦ (𝑓𝑇(𝑠𝑓)))
1413, 3tendoi 40751 . . . . 5 (𝑆𝐸 → (𝐼𝑆) = (𝑔𝑇(𝑆𝑔)))
1514adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) = (𝑔𝑇(𝑆𝑔)))
1615feq1d 6732 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → ((𝐼𝑆):𝑇𝑇 ↔ (𝑔𝑇(𝑆𝑔)):𝑇𝑇))
1712, 16mpbird 257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆):𝑇𝑇)
18 simp1r 1198 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑆𝐸)
192, 3ltrnco 40676 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) ∈ 𝑇)
20193adant1r 1177 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) ∈ 𝑇)
2113, 3tendoi2 40752 . . . 4 ((𝑆𝐸 ∧ (𝑔) ∈ 𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
2218, 20, 21syl2anc 583 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
23 cnvco 5910 . . . 4 ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆))
242, 3ltrncom 40695 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) = (𝑔))
25243adant1r 1177 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑔) = (𝑔))
2625fveq2d 6924 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = (𝑆‘(𝑔)))
27 simp1ll 1236 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28 simp1lr 1237 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑊𝐻)
29 simp3 1138 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑇)
30 simp2 1137 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → 𝑔𝑇)
312, 3, 5tendovalco 40722 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻𝑆𝐸) ∧ (𝑇𝑔𝑇)) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3227, 28, 18, 29, 30, 31syl32anc 1378 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3326, 32eqtrd 2780 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3433cnveqd 5900 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = ((𝑆) ∘ (𝑆𝑔)))
3513, 3tendoi2 40752 . . . . . 6 ((𝑆𝐸𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3618, 30, 35syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
3713, 3tendoi2 40752 . . . . . 6 ((𝑆𝐸𝑇) → ((𝐼𝑆)‘) = (𝑆))
3818, 29, 37syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘) = (𝑆))
3936, 38coeq12d 5889 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)) = ((𝑆𝑔) ∘ (𝑆)))
4023, 34, 393eqtr4a 2806 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → (𝑆‘(𝑔)) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)))
4122, 40eqtrd 2780 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇𝑇) → ((𝐼𝑆)‘(𝑔)) = (((𝐼𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼𝑆)‘)))
4235adantll 713 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → ((𝐼𝑆)‘𝑔) = (𝑆𝑔))
4342fveq2d 6924 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
442, 3, 4trlcnv 40122 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝑔) ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
457, 9, 44syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
4643, 45eqtrd 2780 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔)))
471, 2, 3, 4, 5tendotp 40718 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
48473expa 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
4946, 48eqbrtrd 5188 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) ∧ 𝑔𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼𝑆)‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
501, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 41, 49istendod 40719 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑆𝐸) → (𝐼𝑆) ∈ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108   class class class wbr 5166  cmpt 5249  ccnv 5699  ccom 5704  wf 6569  cfv 6573  lecple 17318  HLchlt 39306  LHypclh 39941  LTrncltrn 40058  trLctrl 40115  TEndoctendo 40709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-riotaBAD 38909
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-undef 8314  df-map 8886  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tendo 40712
This theorem is referenced by:  tendoipl  40754  tendoipl2  40755  erngdvlem1  40945  erngdvlem1-rN  40953  dihjatcclem4  41378
  Copyright terms: Public domain W3C validator