Theorem tendoicl 41056

Description: Closure of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))

Assertion

Ref	Expression
tendoicl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑠)   𝐼(𝑓,𝑠)   𝐾(𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoicl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		tendoicl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoicl.t	. 2 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ ((trL‘𝐾)‘𝑊) = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
5		tendoicl.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
6		simpl 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		simpll 766	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	2, 3, 5	tendocl 41027	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
9	8	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
10	2, 3	ltrncnv 40406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
12	11	fmpttd 7060	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇)
13		tendoicl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
14	13, 3	tendoi 41054	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐸 → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) = (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)))
16	15	feq1d 6644	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇 ↔ (𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑆‘𝑔)):𝑇⟶𝑇))
17	12, 16	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆):𝑇⟶𝑇)
18		simp1r 1199	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
19	2, 3	ltrnco 40979	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
20	19	3adant1r 1178	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇)
21	13, 3	tendoi2 41055	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ (𝑔 ∘ ℎ) ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)))
23		cnvco 5834	. . . 4 ⊢ ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ))
24	2, 3	ltrncom 40998	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
25	24	3adant1r 1178	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑔 ∘ ℎ) = (ℎ ∘ 𝑔))
26	25	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)))
27		simp1ll 1237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
28		simp1lr 1238	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑊 ∈ 𝐻)
29		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ ∈ 𝑇)
30		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
31	2, 3, 5	tendovalco 41025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇)) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
32	27, 28, 18, 29, 30, 31	syl32anc 1380	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(ℎ ∘ 𝑔)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
33	26, 32	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
34	33	cnveqd 5824	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = ◡((𝑆‘ℎ) ∘ (𝑆‘𝑔)))
35	13, 3	tendoi2 41055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
36	18, 30, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
37	13, 3	tendoi2 41055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
38	18, 29, 37	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘ℎ) = ◡(𝑆‘ℎ))
39	36, 38	coeq12d 5813	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ ◡(𝑆‘ℎ)))
40	23, 34, 39	3eqtr4a 2797	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ◡(𝑆‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
41	22, 40	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘(𝑔 ∘ ℎ)) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ ((𝐼‘𝑆)‘ℎ)))
42	35	adantll 714	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
43	42	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)))
44	2, 3, 4	trlcnv 40425	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
45	7, 9, 44	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘◡(𝑆‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
46	43, 45	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔)) = (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔)))
47	1, 2, 3, 4, 5	tendotp 41021	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
48	47	3expa 1118	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑆‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
49	46, 48	eqbrtrd 5120	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((trL‘𝐾)‘𝑊)‘((𝐼‘𝑆)‘𝑔))(le‘𝐾)(((trL‘𝐾)‘𝑊)‘𝑔))
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 41, 49	istendod 41022	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ^◡ccnv 5623   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  lecple 17184  HLchlt 39610  LHypclh 40244  LTrncltrn 40361  trLctrl 40418  TEndoctendo 41012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-riotaBAD 39213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-undef 8215  df-map 8765  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-p1 18347  df-lat 18355  df-clat 18422  df-oposet 39436  df-ol 39438  df-oml 39439  df-covers 39526  df-ats 39527  df-atl 39558  df-cvlat 39582  df-hlat 39611  df-llines 39758  df-lplanes 39759  df-lvols 39760  df-lines 39761  df-psubsp 39763  df-pmap 39764  df-padd 40056  df-lhyp 40248  df-laut 40249  df-ldil 40364  df-ltrn 40365  df-trl 40419  df-tendo 41015

This theorem is referenced by:  tendoipl  41057  tendoipl2  41058  erngdvlem1  41248  erngdvlem1-rN  41256  dihjatcclem4  41681