Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihjatcclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihjatcclem4 40596
Description: Lemma for isomorphism H of lattice join of two atoms not under the fiducial hyperplane. (Contributed by NM, 29-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihjatcclem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihjatcclem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihjatcclem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihjatcclem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihjatcclem.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihjatcclem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihjatcclem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjatcclem.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihjatcclem.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjatcclem.v 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
dihjatcclem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihjatcclem.p (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
dihjatcclem.q (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
dihjatcc.w 𝐢 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjatcc.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjatcc.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjatcc.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihjatcc.g 𝐺 = (℩𝑑 ∈ 𝑇 (π‘‘β€˜πΆ) = 𝑃)
dihjatcc.dd 𝐷 = (℩𝑑 ∈ 𝑇 (π‘‘β€˜πΆ) = 𝑄)
dihjatcc.n 𝑁 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘‘)))
dihjatcc.o 0 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
dihjatcc.d 𝐽 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘‘) ∘ (π‘β€˜π‘‘))))
Assertion
Ref Expression
dihjatcclem4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‰) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
Distinct variable groups:   ≀ ,𝑑   𝐴,𝑑   𝐡,𝑑   𝐢,𝑑   π‘Ž,𝑏,𝐸   𝐻,𝑑   𝑃,𝑑   π‘Ž,𝑑,𝐾,𝑏   𝑄,𝑑   𝑇,π‘Ž,𝑏,𝑑   π‘Š,π‘Ž,𝑏,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏,𝑑)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘Ž,𝑏)   𝐷(π‘Ž,𝑏,𝑑)   𝑃(π‘Ž,𝑏)   βŠ• (π‘Ž,𝑏,𝑑)   𝑄(π‘Ž,𝑏)   𝑅(π‘Ž,𝑏,𝑑)   π‘ˆ(π‘Ž,𝑏,𝑑)   𝐸(𝑑)   𝐺(π‘Ž,𝑏,𝑑)   𝐻(π‘Ž,𝑏)   𝐼(π‘Ž,𝑏,𝑑)   𝐽(π‘Ž,𝑏,𝑑)   ∨ (π‘Ž,𝑏,𝑑)   ≀ (π‘Ž,𝑏)   ∧ (π‘Ž,𝑏,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑏,𝑑)   𝑉(π‘Ž,𝑏,𝑑)   0 (π‘Ž,𝑏,𝑑)

Proof of Theorem dihjatcclem4
Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑠 𝑔 β„Ž 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihjatcclem.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 dihjatcclem.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 dihjatcclem.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
42, 3dihvalrel 40454 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Rel (πΌβ€˜π‘‰))
51, 4syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ Rel (πΌβ€˜π‘‰))
61adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
7 dihjatcclem.l . . . . . . . . . . . 12 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 dihjatcclem.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 dihjatcc.w . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
107, 8, 2, 9lhpocnel2 39194 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ≀ π‘Š))
111, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ≀ π‘Š))
12 dihjatcclem.p . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
13 dihjatcc.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihjatcc.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (℩𝑑 ∈ 𝑇 (π‘‘β€˜πΆ) = 𝑃)
157, 8, 2, 13, 14ltrniotacl 39754 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐢 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
161, 11, 12, 15syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
17 dihjatcclem.q . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
18 dihjatcc.dd . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (℩𝑑 ∈ 𝑇 (π‘‘β€˜πΆ) = 𝑄)
197, 8, 2, 13, 18ltrniotacl 39754 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐢 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝐢 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
201, 11, 17, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
212, 13ltrncnv 39321 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) β†’ ◑𝐷 ∈ 𝑇)
221, 20, 21syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ◑𝐷 ∈ 𝑇)
232, 13ltrnco 39894 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐷 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐷) ∈ 𝑇)
241, 16, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐷) ∈ 𝑇)
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ (𝐺 ∘ ◑𝐷) ∈ 𝑇)
26 simprll 776 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
27 simprlr 777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉)
28 dihjatcclem.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
29 dihjatcclem.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
30 dihjatcclem.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
31 dihjatcclem.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
32 dihjatcclem.s . . . . . . . . . 10 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
33 dihjatcclem.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
34 dihjatcc.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
35 dihjatcc.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3628, 7, 2, 29, 30, 8, 31, 32, 3, 33, 1, 12, 17, 9, 13, 34, 35, 14, 18dihjatcclem3 40595 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑉)
3736adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑉)
3827, 37breqtrrd 5176 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)))
397, 2, 13, 34, 35tendoex 40150 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝐺 ∘ ◑𝐷) ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ (π‘…β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)
406, 25, 26, 38, 39syl121anc 1374 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)
41 df-rex 3070 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐸 (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓 ↔ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓))
4240, 41sylib 217 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓))
43 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (π‘‘β€˜πΊ) = (π‘‘β€˜πΊ))
44 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐸)
451ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4612ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
47 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (π‘‘β€˜πΊ) ∈ V
48 vex 3477 . . . . . . . . . . . 12 𝑑 ∈ V
497, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 14, 47, 48dihopelvalcqat 40421 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ (⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π‘‘β€˜πΊ) = (π‘‘β€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)))
5045, 46, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π‘‘β€˜πΊ) = (π‘‘β€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)))
5143, 44, 50mpbir2and 710 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ ⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ))
52 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·))
53 dihjatcc.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (π‘Ž ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘Žβ€˜π‘‘)))
542, 13, 35, 53tendoicl 39971 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝐸)
5545, 44, 54syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝐸)
5617ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
57 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) ∈ V
58 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜π‘‘) ∈ V
597, 8, 2, 9, 13, 35, 3, 18, 57, 58dihopelvalcqat 40421 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) β†’ (⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„) ↔ (((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝐸)))
6045, 56, 59syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„) ↔ (((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) ∧ (π‘β€˜π‘‘) ∈ 𝐸)))
6152, 55, 60mpbir2and 710 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„))
6216ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
6322ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ ◑𝐷 ∈ 𝑇)
642, 13, 35tendospdi1 40195 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ◑𝐷 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ (π‘‘β€˜β—‘π·)))
6545, 44, 62, 63, 64syl13anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ (π‘‘β€˜β—‘π·)))
66 simprr 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)
6720ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
6853, 13tendoi2 39970 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) = β—‘(π‘‘β€˜π·))
6944, 67, 68syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) = β—‘(π‘‘β€˜π·))
702, 13, 35tendocnv 40196 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) β†’ β—‘(π‘‘β€˜π·) = (π‘‘β€˜β—‘π·))
7145, 44, 67, 70syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ β—‘(π‘‘β€˜π·) = (π‘‘β€˜β—‘π·))
7269, 71eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (π‘‘β€˜β—‘π·) = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·))
7372coeq2d 5862 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ (π‘‘β€˜β—‘π·)) = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)))
7465, 66, 733eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ 𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)))
75 simplrr 775 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ 𝑠 = 0 )
76 dihjatcc.d . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘‘) ∘ (π‘β€˜π‘‘))))
77 dihjatcc.o . . . . . . . . . . . 12 0 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
782, 13, 35, 53, 28, 76, 77tendoipl2 39973 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘)) = 0 )
7945, 44, 78syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘)) = 0 )
8075, 79eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ 𝑠 = (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘)))
81 opeq1 4873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (π‘‘β€˜πΊ) β†’ βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© = ⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ©)
8281eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (π‘‘β€˜πΊ) β†’ (βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ↔ ⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ)))
8382anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (π‘‘β€˜πΊ) β†’ ((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ↔ (⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„))))
84 coeq1 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 = (π‘‘β€˜πΊ) β†’ (𝑔 ∘ β„Ž) = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ β„Ž))
8584eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = (π‘‘β€˜πΊ) β†’ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ↔ 𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ β„Ž)))
8685anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = (π‘‘β€˜πΊ) β†’ ((𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)) ↔ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))))
8783, 86anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 = (π‘‘β€˜πΊ) β†’ (((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))) ↔ ((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)))))
88 opeq1 4873 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) β†’ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© = ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), π‘’βŸ©)
8988eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) β†’ (βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„) ↔ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)))
9089anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) β†’ ((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ↔ (⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„))))
91 coeq2 5858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) β†’ ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ β„Ž) = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)))
9291eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) β†’ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ β„Ž) ↔ 𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·))))
9392anbi1d 629 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) β†’ ((𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)) ↔ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))))
9490, 93anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) β†’ (((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))) ↔ ((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)))))
95 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), π‘’βŸ© = ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩)
9695eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ (⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„) ↔ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„)))
9796anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ ((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ↔ (⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„))))
98 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ (𝑑𝐽𝑒) = (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘)))
9998eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ (𝑠 = (𝑑𝐽𝑒) ↔ 𝑠 = (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘))))
10099anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ ((𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)) ↔ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘)))))
10197, 100anbi12d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (π‘β€˜π‘‘) β†’ (((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))) ↔ ((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘))))))
10287, 94, 101syl3an9b 1433 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔 = (π‘‘β€˜πΊ) ∧ β„Ž = ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) ∧ 𝑒 = (π‘β€˜π‘‘)) β†’ (((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))) ↔ ((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘))))))
103102spc3egv 3593 . . . . . . . . . 10 (((π‘‘β€˜πΊ) ∈ V ∧ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·) ∈ V ∧ (π‘β€˜π‘‘) ∈ V) β†’ (((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘)))) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)))))
10447, 57, 58, 103mp3an 1460 . . . . . . . . 9 (((⟨(π‘‘β€˜πΊ), π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ ⟨((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·), (π‘β€˜π‘‘)⟩ ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = ((π‘‘β€˜πΊ) ∘ ((π‘β€˜π‘‘)β€˜π·)) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽(π‘β€˜π‘‘)))) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))))
10551, 61, 74, 80, 104syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓)) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))))
106105ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ ((𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)))))
107106eximdv 1919 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ (βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓) β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)))))
108 excom 2161 . . . . . 6 (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘”βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))))
109107, 108imbitrdi 250 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ (βˆƒπ‘‘(𝑑 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜(𝐺 ∘ ◑𝐷)) = 𝑓) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)))))
11042, 109mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒))))
111110ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 ) β†’ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)))))
1121simpld 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
113112hllatd 38538 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Lat)
11412simpld 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11517simpld 494 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11628, 29, 8hlatjcl 38541 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
117112, 114, 115, 116syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
1181simprd 495 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
11928, 2lhpbase 39173 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
120118, 119syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
12128, 30latmcl 18398 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
122113, 117, 120, 121syl3anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
12333, 122eqeltrid 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐡)
12428, 7, 30latmle2 18423 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
125113, 117, 120, 124syl3anc 1370 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š) ≀ π‘Š)
12633, 125eqbrtrid 5183 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 ≀ π‘Š)
127 eqid 2731 . . . . . . 7 ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12828, 7, 2, 3, 127dihvalb 40412 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑉 ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘‰) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‰))
1291, 123, 126, 128syl12anc 834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‰) = (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‰))
130129eleq2d 2818 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‰) ↔ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‰)))
13128, 7, 2, 13, 34, 77, 127dibopelval3 40323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑉 ∈ 𝐡 ∧ 𝑉 ≀ π‘Š)) β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‰) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )))
1321, 123, 126, 131syl12anc 834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (((DIsoBβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜π‘‰) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )))
133130, 132bitrd 279 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‰) ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ∧ (π‘…β€˜π‘“) ≀ 𝑉) ∧ 𝑠 = 0 )))
134 eqid 2731 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
13528, 8atbase 38463 . . . . 5 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
136114, 135syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
13728, 8atbase 38463 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
138115, 137syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
13928, 2, 13, 35, 76, 31, 134, 32, 3, 1, 136, 138dihopellsm 40430 . . 3 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)) ↔ βˆƒπ‘”βˆƒπ‘‘βˆƒβ„Žβˆƒπ‘’((βŸ¨π‘”, π‘‘βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘ƒ) ∧ βŸ¨β„Ž, π‘’βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘„)) ∧ (𝑓 = (𝑔 ∘ β„Ž) ∧ 𝑠 = (𝑑𝐽𝑒)))))
140111, 133, 1393imtr4d 294 . 2 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ (πΌβ€˜π‘‰) β†’ βŸ¨π‘“, π‘ βŸ© ∈ ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„))))
1415, 140relssdv 5788 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘‰) βŠ† ((πΌβ€˜π‘ƒ) βŠ• (πΌβ€˜π‘„)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  Rel wrel 5681  β€˜cfv 6543  β„©crio 7367  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17149  lecple 17209  occoc 17210  joincjn 18269  meetcmee 18270  Latclat 18389  LSSumclsm 19544  LSubSpclss 20687  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276  trLctrl 39333  TEndoctendo 39927  DVecHcdvh 40253  DIsoBcdib 40313  DIsoHcdih 40403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404
This theorem is referenced by:  dihjatcc  40597
  Copyright terms: Public domain W3C validator