Theorem tendoipl 40791

Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
tendoi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoi.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendoi.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendoipl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠   𝐵,𝑓   𝑡,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑡,𝑓,𝑠,𝑇   𝑡,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝐼(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoipl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		tendoicl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoicl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		tendoicl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5		tendoicl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
6	2, 3, 4, 5	tendoicl 40790	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑆 ∈ 𝐸)
8		tendoi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
9	2, 3, 4, 8	tendoplcl 40775	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
10	1, 6, 7, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
11		tendoi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		tendoi.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
13	11, 2, 3, 4, 12	tendo0cl 40784	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
14	13	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝐸)
15	5, 3	tendoi2 40789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
16	15	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
17	16	coeq1d 5825	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
18		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	2, 3, 4	tendocl 40761	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
20	19	3expa 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
21	11, 2, 3	ltrn1o 40118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
23		f1ococnv1 6829	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡(𝑆‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (◡(𝑆‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
25	17, 24	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
26	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)
27		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
28		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
29	8, 3	tendopl2 40771	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
31	12, 11	tendo02 40781	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
32	31	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
33	25, 30, 32	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
34	33	ralrimiva 3125	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
35	2, 3, 4	tendoeq1 40758	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔)) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
36	1, 10, 14, 34, 35	syl121anc 1377	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ↦ cmpt 5188   I cid 5532  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640   ∘ ccom 5642  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  Basecbs 17179  HLchlt 39343  LHypclh 39978  LTrncltrn 40095  TEndoctendo 40746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-riotaBAD 38946

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8252  df-map 8801  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-llines 39492  df-lplanes 39493  df-lvols 39494  df-lines 39495  df-psubsp 39497  df-pmap 39498  df-padd 39790  df-lhyp 39982  df-laut 39983  df-ldil 40098  df-ltrn 40099  df-trl 40153  df-tendo 40749

This theorem is referenced by:  tendoipl2  40792  erngdvlem1  40982  erngdvlem1-rN  40990