Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoipl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoipl 40310
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoicl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoicl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoicl.i 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))
tendoi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoi.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
tendoi.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendoipl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠   𝐡,𝑓   𝑑,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑑,𝑓,𝑠,𝑇   𝑑,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑑,𝑠)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑠)   𝐼(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑠)   𝑂(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 tendoicl.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendoicl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 tendoicl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendoicl.i . . . 4 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))
62, 3, 4, 5tendoicl 40309 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝐸)
7 simpr 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
8 tendoi.p . . . 4 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
92, 3, 4, 8tendoplcl 40294 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
101, 6, 7, 9syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
11 tendoi.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 tendoi.o . . . 4 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 40303 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
1413adantr 479 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
155, 3tendoi2 40308 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) = β—‘(π‘†β€˜π‘”))
1615adantll 712 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) = β—‘(π‘†β€˜π‘”))
1716coeq1d 5868 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = (β—‘(π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
18 simpll 765 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
192, 3, 4tendocl 40280 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
20193expa 1115 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
2111, 2, 3ltrn1o 39637 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡)
2218, 20, 21syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡)
23 f1ococnv1 6873 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (β—‘(π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
2517, 24eqtrd 2768 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
266adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝐸)
27 simplr 767 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
28 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
298, 3tendopl2 40290 . . . . 5 (((πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
3112, 11tendo02 40300 . . . . 5 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
3231adantl 480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
3325, 30, 323eqtr4d 2778 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
3433ralrimiva 3143 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
352, 3, 4tendoeq1 40277 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”)) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) = 𝑂)
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1372 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   ↦ cmpt 5235   I cid 5579  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  Basecbs 17189  HLchlt 38862  LHypclh 39497  LTrncltrn 39614  TEndoctendo 40265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8287  df-map 8855  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tendo 40268
This theorem is referenced by:  tendoipl2  40311  erngdvlem1  40501  erngdvlem1-rN  40509
  Copyright terms: Public domain W3C validator