Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tendoipl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tendoipl 39263
Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tendoicl.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tendoicl.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoicl.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tendoicl.i 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))
tendoi.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
tendoi.p 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
tendoi.o 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
Assertion
Ref Expression
tendoipl (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) = 𝑂)
Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,π‘Š,𝑠   𝐡,𝑓   𝑑,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑑,𝑓,𝑠,𝑇   𝑑,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑑,𝑠)   𝑃(𝑑,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑑,𝑠)   𝐼(𝑑,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑑,𝑠)   𝑂(𝑑,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoipl
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 tendoicl.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 tendoicl.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 tendoicl.e . . . 4 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
5 tendoicl.i . . . 4 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ β—‘(π‘ β€˜π‘“)))
62, 3, 4, 5tendoicl 39262 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ (πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝐸)
7 simpr 486 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
8 tendoi.p . . . 4 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑑 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“))))
92, 3, 4, 8tendoplcl 39247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
101, 6, 7, 9syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
11 tendoi.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
12 tendoi.o . . . 4 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
1311, 2, 3, 4, 12tendo0cl 39256 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
1413adantr 482 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ 𝑂 ∈ 𝐸)
155, 3tendoi2 39261 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) = β—‘(π‘†β€˜π‘”))
1615adantll 713 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) = β—‘(π‘†β€˜π‘”))
1716coeq1d 5818 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = (β—‘(π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
18 simpll 766 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
192, 3, 4tendocl 39233 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
20193expa 1119 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇)
2111, 2, 3ltrn1o 38590 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘†β€˜π‘”) ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡)
2218, 20, 21syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡)
23 f1ococnv1 6814 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π‘”):𝐡–1-1-onto→𝐡 β†’ (β—‘(π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (β—‘(π‘†β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
2517, 24eqtrd 2777 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)) = ( I β†Ύ 𝐡))
266adantr 482 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝐸)
27 simplr 768 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 ∈ 𝐸)
28 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ 𝑔 ∈ 𝑇)
298, 3tendopl2 39243 . . . . 5 (((πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (((πΌβ€˜π‘†)β€˜π‘”) ∘ (π‘†β€˜π‘”)))
3112, 11tendo02 39253 . . . . 5 (𝑔 ∈ 𝑇 β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
3231adantl 483 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‚β€˜π‘”) = ( I β†Ύ 𝐡))
3325, 30, 323eqtr4d 2787 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) β†’ (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
3433ralrimiva 3144 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”))
352, 3, 4tendoeq1 39230 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) ∧ βˆ€π‘” ∈ 𝑇 (((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆)β€˜π‘”) = (π‘‚β€˜π‘”)) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) = 𝑂)
361, 10, 14, 34, 35syl121anc 1376 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) β†’ ((πΌβ€˜π‘†)𝑃𝑆) = 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   ↦ cmpt 5189   I cid 5531  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17084  HLchlt 37815  LHypclh 38450  LTrncltrn 38567  TEndoctendo 39218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-riotaBAD 37418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-undef 8205  df-map 8768  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-llines 37964  df-lplanes 37965  df-lvols 37966  df-lines 37967  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262  df-lhyp 38454  df-laut 38455  df-ldil 38570  df-ltrn 38571  df-trl 38625  df-tendo 39221
This theorem is referenced by:  tendoipl2  39264  erngdvlem1  39454  erngdvlem1-rN  39462
  Copyright terms: Public domain W3C validator