Theorem tendoipl 41591

Description: Property of the additive inverse endomorphism. (Contributed by NM, 12-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
tendoicl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
tendoicl.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
tendoicl.i	⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
tendoi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
tendoi.p	⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
tendoi.o	⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
tendoipl	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)

Distinct variable groups:   𝐸,𝑠   𝑓,𝑠,𝑇   𝑓,𝑊,𝑠   𝐵,𝑓   𝑡,𝐸   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑡,𝑓,𝑠,𝑇   𝑡,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑡,𝑠)   𝑃(𝑡,𝑓,𝑠)   𝑆(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐸(𝑓)   𝐻(𝑡,𝑠)   𝐼(𝑡,𝑓,𝑠)   𝐾(𝑡,𝑠)   𝑂(𝑡,𝑓,𝑠)

Proof of Theorem tendoipl

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		tendoicl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		tendoicl.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
4		tendoicl.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
5		tendoicl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑠 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ◡(𝑠‘𝑓)))
6	2, 3, 4, 5	tendoicl 41590	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)
7		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑆 ∈ 𝐸)
8		tendoi.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑠 ∈ 𝐸, 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓))))
9	2, 3, 4, 8	tendoplcl 41575	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
10	1, 6, 7, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸)
11		tendoi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
12		tendoi.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
13	11, 2, 3, 4, 12	tendo0cl 41584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑂 ∈ 𝐸)
14	13	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → 𝑂 ∈ 𝐸)
15	5, 3	tendoi2 41589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
16	15	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → ((𝐼‘𝑆)‘𝑔) = ◡(𝑆‘𝑔))
17	16	coeq1d 5847	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = (◡(𝑆‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
18		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
19	2, 3, 4	tendocl 41561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
20	19	3expa 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇)
21	11, 2, 3	ltrn1o 40918	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑆‘𝑔) ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
22	18, 20, 21	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵)
23		f1ococnv1 6850	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑔):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡(𝑆‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (◡(𝑆‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
25	17, 24	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)) = ( I ↾ 𝐵))
26	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸)
27		simplr 780	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑆 ∈ 𝐸)
28		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → 𝑔 ∈ 𝑇)
29	8, 3	tendopl2 41571	. . . . 5 ⊢ (((𝐼‘𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (((𝐼‘𝑆)‘𝑔) ∘ (𝑆‘𝑔)))
31	12, 11	tendo02 41581	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ 𝑇 → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
32	31	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (𝑂‘𝑔) = ( I ↾ 𝐵))
33	25, 30, 32	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇) → (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
34	33	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔))
35	2, 3, 4	tendoeq1 41558	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) ∈ 𝐸 ∧ 𝑂 ∈ 𝐸) ∧ ∀𝑔 ∈ 𝑇 (((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆)‘𝑔) = (𝑂‘𝑔)) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)
36	1, 10, 14, 34, 35	syl121anc 1402	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸) → ((𝐼‘𝑆)𝑃𝑆) = 𝑂)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079   ↦ cmpt 5192   I cid 5555  ^◡ccnv 5660   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Basecbs 17264  HLchlt 40144  LHypclh 40778  LTrncltrn 40895  TEndoctendo 41546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-riotaBAD 39747

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-undef 8265  df-map 8822  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-p1 18475  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39970  df-ol 39972  df-oml 39973  df-covers 40060  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145  df-llines 40292  df-lplanes 40293  df-lvols 40294  df-lines 40295  df-psubsp 40297  df-pmap 40298  df-padd 40590  df-lhyp 40782  df-laut 40783  df-ldil 40898  df-ltrn 40899  df-trl 40953  df-tendo 41549

This theorem is referenced by:  tendoipl2  41592  erngdvlem1  41782  erngdvlem1-rN  41790