MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglnfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglnfn 27531
Description: Lines as functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglng.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tglng.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
tglng.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tglnfn (𝐺 ∈ TarskiG β†’ 𝐿 Fn ((𝑃 Γ— 𝑃) βˆ– I ))

Proof of Theorem tglnfn
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglng.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
21fvexi 6857 . . . . . . 7 𝑃 ∈ V
32rabex 5290 . . . . . 6 {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))} ∈ V
43rgen2w 3066 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}){𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))} ∈ V
5 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}) = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))})
65fmpox 8000 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑃 βˆ€π‘¦ ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}){𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))} ∈ V ↔ (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}):βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑃 ({π‘₯} Γ— (𝑃 βˆ– {π‘₯}))⟢V)
74, 6mpbi 229 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}):βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑃 ({π‘₯} Γ— (𝑃 βˆ– {π‘₯}))⟢V
8 ffn 6669 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}):βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑃 ({π‘₯} Γ— (𝑃 βˆ– {π‘₯}))⟢V β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}) Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑃 ({π‘₯} Γ— (𝑃 βˆ– {π‘₯})))
97, 8ax-mp 5 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}) Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑃 ({π‘₯} Γ— (𝑃 βˆ– {π‘₯}))
10 xpdifid 6121 . . . 4 βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑃 ({π‘₯} Γ— (𝑃 βˆ– {π‘₯})) = ((𝑃 Γ— 𝑃) βˆ– I )
1110fneq2i 6601 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}) Fn βˆͺ π‘₯ ∈ 𝑃 ({π‘₯} Γ— (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}) Fn ((𝑃 Γ— 𝑃) βˆ– I ))
129, 11mpbi 229 . 2 (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}) Fn ((𝑃 Γ— 𝑃) βˆ– I )
13 tglng.l . . . 4 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
14 tglng.i . . . 4 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
151, 13, 14tglng 27530 . . 3 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ 𝐿 = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}))
1615fneq1d 6596 . 2 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ (𝐿 Fn ((𝑃 Γ— 𝑃) βˆ– I ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑧 ∈ 𝑃 ∣ (𝑧 ∈ (π‘₯𝐼𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯𝐼𝑧))}) Fn ((𝑃 Γ— 𝑃) βˆ– I )))
1712, 16mpbiri 258 1 (𝐺 ∈ TarskiG β†’ 𝐿 Fn ((𝑃 Γ— 𝑃) βˆ– I ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908  {csn 4587  βˆͺ ciun 4955   I cid 5531   Γ— cxp 5632   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17088  TarskiGcstrkg 27411  Itvcitv 27417  LineGclng 27418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-trkg 27437
This theorem is referenced by:  tglngne  27534  tgelrnln  27614
  Copyright terms: Public domain W3C validator