Theorem tglngne 26911

Description: It takes two different points to form a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tglngne.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

Assertion

Ref	Expression
tglngne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem tglngne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngne.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2		df-ov 7278	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝐿𝑌) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
3	1, 2	eleqtrdi 2849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4		elfvdm 6806	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
6		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		tglngval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		tglngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	7, 8, 9	tglnfn 26908	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
11		fndm 6536	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ) → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
13	5, 12	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
14	13	eldifbd 3900	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
15		df-br 5075	. . . 4 ⊢ (𝑋 I 𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
16		tglngval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		ideqg 5760	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
19	15, 18	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	19	necon3bbid 2981	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
21	14, 20	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3884  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   I cid 5488   × cxp 5587  dom cdm 5589   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  TarskiGcstrkg 26788  Itvcitv 26794  LineGclng 26795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-trkg 26814

This theorem is referenced by:  lnhl  26976  tglnne  26989  tglineneq  27005  tglineinteq  27006  ncolncol  27007  coltr  27008  coltr3  27009  perprag  27087