MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglngne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglngne 25667
Description: It takes two different points to form a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tglngne.1 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
Assertion
Ref Expression
tglngne (𝜑𝑋𝑌)

Proof of Theorem tglngne
StepHypRef Expression
1 tglngne.1 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2 df-ov 6797 . . . . . 6 (𝑋𝐿𝑌) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
31, 2syl6eleq 2860 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4 elfvdm 6362 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
6 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 tglngval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 tglngval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
107, 8, 9tglnfn 25664 . . . . 5 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
11 fndm 6131 . . . . 5 (𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ) → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
126, 10, 113syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
135, 12eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
1413eldifbd 3737 . 2 (𝜑 → ¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
15 df-br 4788 . . . 4 (𝑋 I 𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
16 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
17 ideqg 5413 . . . . 5 (𝑌𝑃 → (𝑋 I 𝑌𝑋 = 𝑌))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 I 𝑌𝑋 = 𝑌))
1915, 18syl5bbr 274 . . 3 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 = 𝑌))
2019necon3bbid 2980 . 2 (𝜑 → (¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋𝑌))
2114, 20mpbid 222 1 (𝜑𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3721  cop 4323   class class class wbr 4787   I cid 5157   × cxp 5248  dom cdm 5250   Fn wfn 6027  cfv 6032  (class class class)co 6794  Basecbs 16065  TarskiGcstrkg 25551  Itvcitv 25557  LineGclng 25558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-fv 6040  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-trkg 25574
This theorem is referenced by:  lnhl  25732  tglnne  25745  tglineneq  25761  tglineinteq  25762  ncolncol  25763  coltr  25764  coltr3  25765  perprag  25840  opphl  25868  hlpasch  25870
  Copyright terms: Public domain W3C validator