Theorem tglngne 26641

Description: It takes two different points to form a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tglngne.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

Assertion

Ref	Expression
tglngne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem tglngne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngne.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2		df-ov 7216	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝐿𝑌) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
3	1, 2	eleqtrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4		elfvdm 6749	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
6		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		tglngval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		tglngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	7, 8, 9	tglnfn 26638	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
11		fndm 6481	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ) → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
13	5, 12	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
14	13	eldifbd 3879	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
15		df-br 5054	. . . 4 ⊢ (𝑋 I 𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
16		tglngval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		ideqg 5720	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
19	15, 18	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	19	necon3bbid 2978	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
21	14, 20	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3863  ⟨cop 4547   class class class wbr 5053   I cid 5454   × cxp 5549  dom cdm 5551   Fn wfn 6375  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-trkg 26544

This theorem is referenced by:  lnhl  26706  tglnne  26719  tglineneq  26735  tglineinteq  26736  ncolncol  26737  coltr  26738  coltr3  26739  perprag  26817