MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tglngne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tglngne 27320
Description: It takes two different points to form a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tglngne.1 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
Assertion
Ref Expression
tglngne (𝜑𝑋𝑌)

Proof of Theorem tglngne
StepHypRef Expression
1 tglngne.1 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2 df-ov 7354 . . . . . 6 (𝑋𝐿𝑌) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
31, 2eleqtrdi 2848 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4 elfvdm 6876 . . . . 5 (𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
6 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 tglngval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
8 tglngval.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9 tglngval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
107, 8, 9tglnfn 27317 . . . . 5 (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
11 fndm 6602 . . . . 5 (𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ) → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
126, 10, 113syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
135, 12eleqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
1413eldifbd 3921 . 2 (𝜑 → ¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
15 df-br 5104 . . . 4 (𝑋 I 𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
16 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
17 ideqg 5805 . . . . 5 (𝑌𝑃 → (𝑋 I 𝑌𝑋 = 𝑌))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 I 𝑌𝑋 = 𝑌))
1915, 18bitr3id 284 . . 3 (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 = 𝑌))
2019necon3bbid 2979 . 2 (𝜑 → (¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋𝑌))
2114, 20mpbid 231 1 (𝜑𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cdif 3905  cop 4590   class class class wbr 5103   I cid 5528   × cxp 5629  dom cdm 5631   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  TarskiGcstrkg 27197  Itvcitv 27203  LineGclng 27204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-trkg 27223
This theorem is referenced by:  lnhl  27385  tglnne  27398  tglineneq  27414  tglineinteq  27415  ncolncol  27416  coltr  27417  coltr3  27418  perprag  27496
  Copyright terms: Public domain W3C validator