Theorem tglngne 28785

Description: It takes two different points to form a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tglngne.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

Assertion

Ref	Expression
tglngne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem tglngne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngne.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2		df-ov 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝐿𝑌) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
3	1, 2	eleqtrdi 2879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4		elfvdm 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
6		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		tglngval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		tglngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	7, 8, 9	tglnfn 28782	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
11		fndm 6639	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ) → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
12	6, 10, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
13	5, 12	eleqtrd 2871	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
14	13	eldifbd 3926	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
15		df-br 5114	. . . 4 ⊢ (𝑋 I 𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
16		tglngval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		ideqg 5838	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	16, 17	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
19	15, 18	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	19	necon3bbid 3001	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
21	14, 20	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113   I cid 5556   × cxp 5660  dom cdm 5662   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  TarskiGcstrkg 28662  Itvcitv 28668  LineGclng 28669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-trkg 28688

This theorem is referenced by:  lnhl  28850  tglnne  28863  tglineneq  28880  tglineinteq  28881  ncolncol  28882  coltr  28883  coltr3  28884  perprag  28966