Theorem tglngne 28576

Description: It takes two different points to form a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tglngval.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tglngne.1	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))

Assertion

Ref	Expression
tglngne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem tglngne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngne.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
2		df-ov 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑋𝐿𝑌) = (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
3	1, 2	eleqtrdi 2854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩))
4		elfvdm 6957	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ (𝐿‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐿)
6		tglngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		tglngval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
8		tglngval.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
9		tglngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
10	7, 8, 9	tglnfn 28573	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
11		fndm 6682	. . . . 5 ⊢ (𝐿 Fn ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ) → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
12	6, 10, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐿 = ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
13	5, 12	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ ((𝑃 × 𝑃) ∖ I ))
14	13	eldifbd 3989	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
15		df-br 5167	. . . 4 ⊢ (𝑋 I 𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I )
16		tglngval.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
17		ideqg 5876	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 I 𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
19	15, 18	bitr3id 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 = 𝑌))
20	19	necon3bbid 2984	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ I ↔ 𝑋 ≠ 𝑌))
21	14, 20	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   I cid 5592   × cxp 5698  dom cdm 5700   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  LineGclng 28460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-trkg 28479

This theorem is referenced by:  lnhl  28641  tglnne  28654  tglineneq  28670  tglineinteq  28671  ncolncol  28672  coltr  28673  coltr3  28674  perprag  28752