Theorem tgtopon 22824

Description: A basis generates a topology on ∪ 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgtopon	⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 22822	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		unitg 22820	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ∪ (topGen‘𝐵) = ∪ 𝐵)
3	2	eqcomd 2732	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ∪ 𝐵 = ∪ (topGen‘𝐵))
4		istopon 22764	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ ∪ 𝐵 = ∪ (topGen‘𝐵)))
5	1, 3, 4	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∪ cuni 4902  ‘cfv 6536  topGenctg 17389  Topctop 22745  TopOnctopon 22762  TopBasesctb 22798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-topgen 17395  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799

This theorem is referenced by:  ordttopon  23047  tgqtop  23566  alexsublem  23898  alexsub  23899  mopntopon  24295  topjoin  35757  istoprelowl  36747