MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgtopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgtopon 21101
Description: A basis generates a topology on 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 21099 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 unitg 21097 . . 3 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
32eqcomd 2803 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 = (topGen‘𝐵))
4 istopon 21042 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝐵 = (topGen‘𝐵)))
51, 3, 4sylanbrc 579 1 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1653  wcel 2157   cuni 4626  cfv 6099  topGenctg 16410  Topctop 21023  TopOnctopon 21040  TopBasesctb 21075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fv 6107  df-topgen 16416  df-top 21024  df-topon 21041  df-bases 21076
This theorem is referenced by:  ordttopon  21323  tgqtop  21841  alexsublem  22173  alexsub  22174  mopntopon  22569  topjoin  32864  istoprelowl  33698
  Copyright terms: Public domain W3C validator