Theorem tgtopon 22856

Description: A basis generates a topology on ∪ 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgtopon	⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 22854	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		unitg 22852	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ∪ (topGen‘𝐵) = ∪ 𝐵)
3	2	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ∪ 𝐵 = ∪ (topGen‘𝐵))
4		istopon 22797	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ ∪ 𝐵 = ∪ (topGen‘𝐵)))
5	1, 3, 4	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6482  topGenctg 17341  Topctop 22778  TopOnctopon 22795  TopBasesctb 22830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-topgen 17347  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831

This theorem is referenced by:  ordttopon  23078  tgqtop  23597  alexsublem  23929  alexsub  23930  mopntopon  24325  topjoin  36339  istoprelowl  37334