Theorem tgtopon 22949

Description: A basis generates a topology on ∪ 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgtopon	⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 22947	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		unitg 22945	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ∪ (topGen‘𝐵) = ∪ 𝐵)
3	2	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → ∪ 𝐵 = ∪ (topGen‘𝐵))
4		istopon 22890	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ ∪ 𝐵 = ∪ (topGen‘𝐵)))
5	1, 3, 4	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∪ cuni 4851  ‘cfv 6493  topGenctg 17394  Topctop 22871  TopOnctopon 22888  TopBasesctb 22923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-topgen 17400  df-top 22872  df-topon 22889  df-bases 22924

This theorem is referenced by:  ordttopon  23171  tgqtop  23690  alexsublem  24022  alexsub  24023  mopntopon  24417  topjoin  36566  istoprelowl  37693