MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgtopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgtopon 22894
Description: A basis generates a topology on 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgtopon (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))

Proof of Theorem tgtopon
StepHypRef Expression
1 tgcl 22892 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 unitg 22890 . . 3 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) = 𝐵)
32eqcomd 2734 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → 𝐵 = (topGen‘𝐵))
4 istopon 22834 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵) ↔ ((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝐵 = (topGen‘𝐵)))
51, 3, 4sylanbrc 581 1 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ (TopOn‘ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098   cuni 4912  cfv 6553  topGenctg 17426  Topctop 22815  TopOnctopon 22832  TopBasesctb 22868
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-topgen 17432  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869
This theorem is referenced by:  ordttopon  23117  tgqtop  23636  alexsublem  23968  alexsub  23969  mopntopon  24365  topjoin  35882  istoprelowl  36872
  Copyright terms: Public domain W3C validator