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Theorem tgqtop 21725
Description: An injection maps generated topologies to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
tgqtop ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) = (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)))

Proof of Theorem tgqtop
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6361 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
2 f1ofun 6351 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋 → Fun 𝐹)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Fun 𝐹)
43ad2antlr 709 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → Fun 𝐹)
5 simpr 473 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑌)
6 df-rn 5322 . . . . . . . . 9 ran 𝐹 = dom 𝐹
7 f1ofo 6356 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
87ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
9 forn 6330 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ran 𝐹 = 𝑌)
116, 10syl5eqr 2854 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → dom 𝐹 = 𝑌)
125, 11sseqtr4d 3839 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
13 funimass4 6464 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
144, 12, 13syl2anc 575 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
15 dfss3 3787 . . . . . . 7 (𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥))
16 inss1 4029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ (𝐽 qTop 𝐹)
17 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥))
1816, 17sseldi 3796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
19 qtopcmp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = 𝐽
2019elqtop2 21714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑧 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑧𝑌 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)))
217, 20sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑧 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑧𝑌 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)))
2221ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑧 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑧𝑌 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)))
2318, 22mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑧𝑌 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽))
2423simprd 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)
25 inss2 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ⊆ 𝒫 𝑥
2625, 17sseldi 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑥)
2726elpwid 4363 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧𝑥)
28 imass2 5711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑥 → (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))
30 elpwg 4359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑧) ∈ 𝐽 → ((𝐹𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑥)))
3124, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑥)))
3229, 31mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹𝑥))
3324, 32elind 3997 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)))
34 simp-4r 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
3534, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
36 f1ofn 6350 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹 Fn 𝑌)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹 Fn 𝑌)
385ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑥𝑌)
3927, 38sstrd 3808 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧𝑌)
40 simprr 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
41 fnfvima 6717 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑌𝑧𝑌𝑦𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧))
4237, 39, 40, 41syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧))
43 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
4443rspcev 3502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)) → ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤)
4533, 42, 44syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤)
4645rexlimdvaa 3220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧 → ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤))
47 simp-4r 794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
48 f1ofun 6351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Fun 𝐹)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → Fun 𝐹)
50 inss2 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ⊆ 𝒫 (𝐹𝑥)
51 simprl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)))
5250, 51sseldi 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝐹𝑥))
5352elpwid 4363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ (𝐹𝑥))
54 funimass2 6179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐹𝑤 ⊆ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑥)
5549, 53, 54syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑥)
565ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑥𝑌)
5755, 56sstrd 3808 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑌)
58 f1of1 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
5947, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
60 inss1 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ⊆ 𝐽
6160, 51sseldi 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤𝐽)
62 elssuni 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐽𝑤 𝐽)
6362, 19syl6sseqr 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝐽𝑤𝑋)
6461, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤𝑋)
65 f1imacnv 6365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝑋1-1𝑌𝑤𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
6659, 64, 65syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
6766, 61eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)
6819elqtop2 21714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
697, 68sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
7069ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
7157, 67, 70mpbir2and 695 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
72 vex 3394 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
7372elpw2 5020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑤) ∈ 𝒫 𝑥 ↔ (𝐹𝑤) ⊆ 𝑥)
7455, 73sylibr 225 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝒫 𝑥)
7571, 74elind 3997 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥))
765sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑌)
7776adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑦𝑌)
78 f1ocnvfv2 6753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑦𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) = 𝑦)
7947, 77, 78syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) = 𝑦)
80 f1ofn 6350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 Fn 𝑋)
8180adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → 𝐹 Fn 𝑋)
8281ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝐹 Fn 𝑋)
83 simprr 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)
84 fnfvima 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝑋𝑤𝑋 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) ∈ (𝐹𝑤))
8582, 64, 83, 84syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) ∈ (𝐹𝑤))
8679, 85eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))
87 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝐹𝑤)))
8887rspcev 3502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧)
8975, 86, 88syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧)
9089rexlimdvaa 3220 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧))
9146, 90impbid 203 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤))
92 eluni2 4634 . . . . . . . . 9 (𝑦 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧)
93 eluni2 4634 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤)
9491, 92, 933bitr4g 305 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
9594ralbidva 3173 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (∀𝑦𝑥 𝑦 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
9615, 95syl5bb 274 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
9714, 96bitr4d 273 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ↔ 𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)))
98 eltg 20971 . . . . . 6 (𝐽 ∈ TopBases → ((𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽) ↔ (𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
9998ad2antrr 708 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽) ↔ (𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
100 ovex 6902 . . . . . 6 (𝐽 qTop 𝐹) ∈ V
101 eltg 20971 . . . . . 6 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ 𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)))
102100, 101mp1i 13 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ 𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)))
10397, 99, 1023bitr4d 302 . . . 4 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹))))
104103pm5.32da 570 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽)) ↔ (𝑥𝑌𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)))))
105 tgtopon 20985 . . . . . 6 (𝐽 ∈ TopBases → (topGen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
106105adantr 468 . . . . 5 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (topGen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
10719fveq2i 6407 . . . . 5 (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘ 𝐽)
108106, 107syl6eleqr 2896 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (topGen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋))
1097adantl 469 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
110 elqtop3 21716 . . . 4 (((topGen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽))))
111108, 109, 110syl2anc 575 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽))))
112 unitg 20981 . . . . . . . . 9 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ V → (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) = (𝐽 qTop 𝐹))
113100, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8 (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) = (𝐽 qTop 𝐹)
11419elqtop2 21714 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
1157, 114sylan2 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
116 simpl 470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥𝑌)
117 selpw 4358 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌𝑥𝑌)
118116, 117sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
119115, 118syl6bi 244 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
120119ssrdv 3804 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
121 sspwuni 4803 . . . . . . . . 9 ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
122120, 121sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
123113, 122syl5eqss 3846 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ 𝑌)
124 sspwuni 4803 . . . . . . 7 ((topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ 𝒫 𝑌 (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ 𝑌)
125123, 124sylibr 225 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ 𝒫 𝑌)
126125sseld 3797 . . . . 5 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
127126, 117syl6ib 242 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) → 𝑥𝑌))
128127pm4.71rd 554 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ (𝑥𝑌𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)))))
129104, 111, 1283bitr4d 302 . 2 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹))))
130129eqrdv 2804 1 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) = (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cin 3768  wss 3769  𝒫 cpw 4351   cuni 4630  ccnv 5310  dom cdm 5311  ran crn 5312  cima 5314  Fun wfun 6091   Fn wfn 6092  1-1wf1 6094  ontowfo 6095  1-1-ontowf1o 6096  cfv 6097  (class class class)co 6870  topGenctg 16299   qTop cqtop 16364  TopOnctopon 20924  TopBasesctb 20959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-topgen 16305  df-qtop 16368  df-top 20908  df-topon 20925  df-bases 20960
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  22503
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