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Theorem tgqtop 22248
Description: An injection maps generated topologies to each other. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
qtopcmp.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
tgqtop ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) = (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)))

Proof of Theorem tgqtop
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6620 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
2 f1ofun 6610 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋 → Fun 𝐹)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Fun 𝐹)
43ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → Fun 𝐹)
5 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥𝑌)
6 df-rn 5559 . . . . . . . . 9 ran 𝐹 = dom 𝐹
7 f1ofo 6615 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
87ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
9 forn 6586 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ran 𝐹 = 𝑌)
116, 10syl5eqr 2867 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → dom 𝐹 = 𝑌)
125, 11sseqtrrd 4005 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → 𝑥 ⊆ dom 𝐹)
13 funimass4 6723 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑥 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
144, 12, 13syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
15 dfss3 3953 . . . . . . 7 (𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ ∀𝑦𝑥 𝑦 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥))
16 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥))
1716elin1d 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
18 qtopcmp.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑋 = 𝐽
1918elqtop2 22237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑧 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑧𝑌 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)))
207, 19sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑧 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑧𝑌 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)))
2120ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑧 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑧𝑌 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)))
2217, 21mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑧𝑌 ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐽))
2322simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐽)
2416elin2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑥)
2524elpwid 4549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧𝑥)
26 imass2 5958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑥 → (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ⊆ (𝐹𝑥))
2823, 27elpwd 4546 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝒫 (𝐹𝑥))
2923, 28elind 4168 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)))
30 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
3130, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
32 f1ofn 6609 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹 Fn 𝑌)
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹 Fn 𝑌)
345ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑥𝑌)
3525, 34sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧𝑌)
36 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
37 fnfvima 6986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn 𝑌𝑧𝑌𝑦𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧))
3833, 35, 36, 37syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧))
39 eleq2 2898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) ∈ 𝑤 ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)))
4039rspcev 3620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑧) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ (𝐹𝑧)) → ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤)
4129, 38, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦𝑧)) → ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤)
4241rexlimdvaa 3282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧 → ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤))
43 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
44 f1ofun 6610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → Fun 𝐹)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → Fun 𝐹)
46 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)))
4746elin2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤 ∈ 𝒫 (𝐹𝑥))
4847elpwid 4549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤 ⊆ (𝐹𝑥))
49 funimass2 6430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝐹𝑤 ⊆ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑥)
5045, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑥)
515ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑥𝑌)
5250, 51sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ⊆ 𝑌)
53 f1of1 6607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
5443, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝐹:𝑋1-1𝑌)
5546elin1d 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤𝐽)
56 elssuni 4859 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐽𝑤 𝐽)
5756, 18sseqtrrdi 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝐽𝑤𝑋)
5855, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑤𝑋)
59 f1imacnv 6624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝑋1-1𝑌𝑤𝑋) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
6054, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) = 𝑤)
6160, 55eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)
6218elqtop2 22237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
637, 62sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
6463ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → ((𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ ((𝐹𝑤) ⊆ 𝑌 ∧ (𝐹 “ (𝐹𝑤)) ∈ 𝐽)))
6552, 61, 64mpbir2and 709 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ (𝐽 qTop 𝐹))
66 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
6766elpw2 5239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑤) ∈ 𝒫 𝑥 ↔ (𝐹𝑤) ⊆ 𝑥)
6850, 67sylibr 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ 𝒫 𝑥)
6965, 68elind 4168 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥))
705sselda 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑌)
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑦𝑌)
72 f1ocnvfv2 7025 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝑦𝑌) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) = 𝑦)
7343, 71, 72syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) = 𝑦)
74 f1ofn 6609 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 Fn 𝑋)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → 𝐹 Fn 𝑋)
7675ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝐹 Fn 𝑋)
77 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)
78 fnfvima 6986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn 𝑋𝑤𝑋 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) ∈ (𝐹𝑤))
7976, 58, 77, 78syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → (𝐹‘(𝐹𝑦)) ∈ (𝐹𝑤))
8073, 79eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → 𝑦 ∈ (𝐹𝑤))
81 eleq2 2898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (𝐹𝑤) → (𝑦𝑧𝑦 ∈ (𝐹𝑤)))
8281rspcev 3620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑤) ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧)
8369, 80, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) ∧ (𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑤)) → ∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧)
8483rexlimdvaa 3282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤 → ∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧))
8542, 84impbid 213 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧 ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤))
86 eluni2 4834 . . . . . . . . 9 (𝑦 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ ∃𝑧 ∈ ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)𝑦𝑧)
87 eluni2 4834 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ↔ ∃𝑤 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))(𝐹𝑦) ∈ 𝑤)
8885, 86, 873bitr4g 315 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
8988ralbidva 3193 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (∀𝑦𝑥 𝑦 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
9015, 89syl5bb 284 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
9114, 90bitr4d 283 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥)) ↔ 𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)))
92 eltg 21493 . . . . . 6 (𝐽 ∈ TopBases → ((𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽) ↔ (𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
9392ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽) ↔ (𝐹𝑥) ⊆ (𝐽 ∩ 𝒫 (𝐹𝑥))))
94 ovex 7178 . . . . . 6 (𝐽 qTop 𝐹) ∈ V
95 eltg 21493 . . . . . 6 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ 𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)))
9694, 95mp1i 13 . . . . 5 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ 𝑥 ((𝐽 qTop 𝐹) ∩ 𝒫 𝑥)))
9791, 93, 963bitr4d 312 . . . 4 (((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) ∧ 𝑥𝑌) → ((𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹))))
9897pm5.32da 579 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽)) ↔ (𝑥𝑌𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)))))
99 tgtopon 21507 . . . . . 6 (𝐽 ∈ TopBases → (topGen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
10099adantr 481 . . . . 5 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (topGen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
10118fveq2i 6666 . . . . 5 (TopOn‘𝑋) = (TopOn‘ 𝐽)
102100, 101eleqtrrdi 2921 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (topGen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋))
1037adantl 482 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → 𝐹:𝑋onto𝑌)
104 elqtop3 22239 . . . 4 (((topGen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽))))
105102, 103, 104syl2anc 584 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (topGen‘𝐽))))
106 unitg 21503 . . . . . . . . 9 ((𝐽 qTop 𝐹) ∈ V → (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) = (𝐽 qTop 𝐹))
10794, 106ax-mp 5 . . . . . . . 8 (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) = (𝐽 qTop 𝐹)
10818elqtop2 22237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
1097, 108sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) ↔ (𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽)))
110 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥𝑌)
111 velpw 4543 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑌𝑥𝑌)
112110, 111sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝑌 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌)
113109, 112syl6bi 254 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (𝐽 qTop 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
114113ssrdv 3970 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌)
115 sspwuni 5013 . . . . . . . . 9 ((𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝒫 𝑌 (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
116114, 115sylib 219 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝐽 qTop 𝐹) ⊆ 𝑌)
117107, 116eqsstrid 4012 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ 𝑌)
118 sspwuni 5013 . . . . . . 7 ((topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ 𝒫 𝑌 (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ 𝑌)
119117, 118sylibr 235 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ⊆ 𝒫 𝑌)
120119sseld 3963 . . . . 5 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑌))
121120, 111syl6ib 252 . . . 4 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) → 𝑥𝑌))
122121pm4.71rd 563 . . 3 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)) ↔ (𝑥𝑌𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)))))
12398, 105, 1223bitr4d 312 . 2 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → (𝑥 ∈ ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹))))
124123eqrdv 2816 1 ((𝐽 ∈ TopBases ∧ 𝐹:𝑋1-1-onto𝑌) → ((topGen‘𝐽) qTop 𝐹) = (topGen‘(𝐽 qTop 𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535   cuni 4830  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cima 5551  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  1-1wf1 6345  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  topGenctg 16699   qTop cqtop 16764  TopOnctopon 21446  TopBasesctb 21481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-topgen 16705  df-qtop 16768  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482
This theorem is referenced by:  imasf1oxms  23026
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