MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mopntopon 23041
Description: The set of open sets of a metric space 𝑋 is a topology on 𝑋. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
mopntopon (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
21mopnval 23040 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
3 blbas 23032 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
4 tgtopon 21571 . . . 4 (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)))
53, 4syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)))
6 unirnbl 23022 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
76fveq2d 6667 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOn‘ ran (ball‘𝐷)) = (TopOn‘𝑋))
85, 7eleqtrd 2913 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘𝑋))
92, 8eqeltrd 2911 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107   cuni 4830  ran crn 5549  cfv 6348  topGenctg 16703  ∞Metcxmet 20522  ballcbl 20524  MetOpencmopn 20527  TopOnctopon 21510  TopBasesctb 21545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-topgen 16709  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546
This theorem is referenced by:  mopntop  23042  mopnuni  23043  mopnm  23046  mopnss  23048  isxms2  23050  methaus  23122  prdsxmslem2  23131  metcnp3  23142  metcn  23145  metcnpi3  23148  txmetcn  23150  cnfldms  23376  cnfldtopn  23382  metdseq0  23454  metdscn2  23457  iitopon  23479  lebnumlem2  23558  lmmbr  23853  cfilfcls  23869  cmetcaulem  23883  iscmet3lem2  23887  lmle  23896  nglmle  23897  caublcls  23904  metcnp4  23905  metcn4  23906  metsscmetcld  23910  cmetss  23911  relcmpcmet  23913  bcth2  23925  vmcn  28468  dipcn  28489  blocni  28574  ipasslem7  28605  ubthlem1  28639  ubthlem2  28640  minvecolem4b  28647  minvecolem4  28649  axhcompl-zf  28767  hlimadd  28962  hlim0  29004  occllem  29072  hmopidmchi  29920  fmcncfil  31167  ismtyhmeolem  35074  heiborlem9  35089  bfplem2  35093
  Copyright terms: Public domain W3C validator