Theorem mopntopon 24327

Description: The set of open sets of a metric space 𝑋 is a topology on 𝑋. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopntopon	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem mopntopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnval 24326	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
3		blbas 24318	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
4		tgtopon 22858	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)))
6		unirnbl 24308	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
7	6	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)) = (TopOn‘𝑋))
8	5, 7	eleqtrd 2830	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘𝑋))
9	2, 8	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∪ cuni 4871  ran crn 5639  ‘cfv 6511  topGenctg 17400  ∞Metcxmet 21249  ballcbl 21251  MetOpencmopn 21254  TopOnctopon 22797  TopBasesctb 22832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833

This theorem is referenced by:  mopntop  24328  mopnuni  24329  mopnm  24332  mopnss  24334  isxms2  24336  methaus  24408  prdsxmslem2  24417  metcnp3  24428  metcn  24431  metcnpi3  24434  txmetcn  24436  cnfldms  24663  cnfldtopn  24669  metdseq0  24743  metdscn2  24746  iitopon  24772  lebnumlem2  24861  lmmbr  25158  cfilfcls  25174  cmetcaulem  25188  iscmet3lem2  25192  lmle  25201  nglmle  25202  caublcls  25209  metcnp4  25210  metcn4  25211  metsscmetcld  25215  cmetss  25216  relcmpcmet  25218  bcth2  25230  vmcn  30628  dipcn  30649  blocni  30734  ipasslem7  30765  ubthlem1  30799  ubthlem2  30800  minvecolem4b  30807  minvecolem4  30809  axhcompl-zf  30927  hlimadd  31122  hlim0  31164  occllem  31232  hmopidmchi  32080  fmcncfil  33921  ismtyhmeolem  37798  heiborlem9  37813  bfplem2  37817