Theorem mopntopon 24666

Description: The set of open sets of a metric space 𝑋 is a topology on 𝑋. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopntopon	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem mopntopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnval 24665	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
3		blbas 24657	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
4		tgtopon 23197	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)))
5	3, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)))
6		unirnbl 24647	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
7	6	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)) = (TopOn‘𝑋))
8	5, 7	eleqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘𝑋))
9	2, 8	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ran crn 5656  ‘cfv 6533  topGenctg 17523  ∞Metcxmet 21571  ballcbl 21573  MetOpencmopn 21576  TopOnctopon 23136  TopBasesctb 23171

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-q 12999  df-rp 13044  df-xneg 13164  df-xadd 13165  df-xmul 13166  df-topgen 17529  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172

This theorem is used by:  mopntop  24667  mopnuni  24668  mopnm  24671  mopnss  24673  isxms2  24675  methaus  24747  prdsxmslem2  24756  metcnp3  24767  metcn  24770  metcnpi3  24773  txmetcn  24775  cnfldms  25002  cnfldtopn  25008  metdseq0  25082  metdscn2  25085  iitopon  25108  lebnumlem2  25191  lmmbr  25487  cfilfcls  25503  cmetcaulem  25517  iscmet3lem2  25521  lmle  25530  nglmle  25531  caublcls  25538  metcnp4  25539  metcn4  25540  metsscmetcld  25544  cmetss  25545  relcmpcmet  25547  bcth2  25559  vmcn  31181  dipcn  31202  blocni  31287  ipasslem7  31318  ubthlem1  31352  ubthlem2  31353  minvecolem4b  31360  minvecolem4  31362  axhcompl-zf  31480  hlimadd  31675  hlim0  31717  occllem  31785  hmopidmchi  32633  fmcncfil  34442  ismtyhmeolem  38555  heiborlem9  38570  bfplem2  38574