Theorem mopntopon 22652

Description: The set of open sets of a metric space 𝑋 is a topology on 𝑋. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mopnval.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mopntopon	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem mopntopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mopnval.1	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2	1	mopnval 22651	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 = (topGen‘ran (ball‘𝐷)))
3		blbas 22643	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases)
4		tgtopon 21183	. . . 4 ⊢ (ran (ball‘𝐷) ∈ TopBases → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)))
6		unirnbl 22633	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ∪ ran (ball‘𝐷) = 𝑋)
7	6	fveq2d 6450	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (TopOn‘∪ ran (ball‘𝐷)) = (TopOn‘𝑋))
8	5, 7	eleqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (topGen‘ran (ball‘𝐷)) ∈ (TopOn‘𝑋))
9	2, 8	eqeltrd 2858	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4671  ran crn 5356  ‘cfv 6135  topGenctg 16484  ∞Metcxmet 20127  ballcbl 20129  MetOpencmopn 20132  TopOnctopon 21122  TopBasesctb 21157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-topgen 16490  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158

This theorem is referenced by:  mopntop  22653  mopnuni  22654  mopnm  22657  mopnss  22659  isxms2  22661  methaus  22733  prdsxmslem2  22742  metcnp3  22753  metcn  22756  metcnpi3  22759  txmetcn  22761  cnfldms  22987  cnfldtopn  22993  metdseq0  23065  metdscn2  23068  iitopon  23090  lebnumlem2  23169  lmmbr  23464  cfilfcls  23480  cmetcaulem  23494  iscmet3lem2  23498  lmle  23507  nglmle  23508  caublcls  23515  metcnp4  23516  metcn4  23517  metsscmetcld  23521  cmetss  23522  relcmpcmet  23524  bcth2  23536  vmcn  28140  dipcn  28161  blocni  28246  ipasslem7  28277  ubthlem1  28312  ubthlem2  28313  minvecolem4b  28320  minvecolem4  28322  axhcompl-zf  28441  hlimadd  28636  hlim0  28678  occllem  28748  hmopidmchi  29596  fmcncfil  30589  ismtyhmeolem  34221  heiborlem9  34236  bfplem2  34240