Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  topjoin Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem topjoin 35553
Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
topjoin ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) = ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜})
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝑆   𝑗,𝑉,π‘˜   𝑗,𝑋,π‘˜
Proof of Theorem topjoin
StepHypRef Expression
1 topontop 22635 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘˜ ∈ Top)
21ad2antrl 726 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ Top)
3 toponmax 22648 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ π‘˜)
43ad2antrl 726 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ 𝑋 ∈ π‘˜)
54snssd 4812 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ {𝑋} βŠ† π‘˜)
6 simprr 771 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)
7 unissb 4943 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑆 βŠ† π‘˜ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)
86, 7sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† π‘˜)
95, 8unssd 4186 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) βŠ† π‘˜)
10 tgfiss 22714 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ Top ∧ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) βŠ† π‘˜) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜)
112, 9, 10syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜)
1211expr 457 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜))
1312ralrimiva 3146 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)(βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜))
14 ssintrab 4975 . . 3 ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)(βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜))
1513, 14sylibr 233 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜})
16 fibas 22700 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) ∈ TopBases
17 tgtopon 22694 . . . . . 6 ((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5 (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
19 uniun 4934 . . . . . . . 8 βˆͺ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) = (βˆͺ {𝑋} βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆)
20 unisng 4929 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {𝑋} = 𝑋)
2120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ {𝑋} = 𝑋)
2221uneq1d 4162 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆͺ {𝑋} βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆) = (𝑋 βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆))
2319, 22eqtr2id 2785 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆) = βˆͺ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))
24 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹))
25 toponuni 22636 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘˜)
26 eqimss2 4041 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 = βˆͺ π‘˜ β†’ βˆͺ π‘˜ βŠ† 𝑋)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ π‘˜ βŠ† 𝑋)
28 sspwuni 5103 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ π‘˜ βŠ† 𝑋)
2927, 28sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘˜ βŠ† 𝒫 𝑋)
30 velpw 4607 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ π‘˜ βŠ† 𝒫 𝑋)
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
3231ssriv 3986 . . . . . . . . . . 11 (TopOnβ€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋
3324, 32sstrdi 3994 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋)
34 sspwuni 5103 . . . . . . . . . 10 (𝑆 βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋)
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋)
36 sspwuni 5103 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3735, 36sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋)
38 ssequn2 4183 . . . . . . . 8 (βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆) = 𝑋)
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆) = 𝑋)
40 snex 5431 . . . . . . . . 9 {𝑋} ∈ V
41 fvex 6904 . . . . . . . . . . . 12 (TopOnβ€˜π‘‹) ∈ V
4241ssex 5321 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑆 ∈ V)
4342adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑆 ∈ V)
4443uniexd 7734 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
45 unexg 7738 . . . . . . . . 9 (({𝑋} ∈ V ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ V) β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) ∈ V)
4640, 44, 45sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) ∈ V)
47 fiuni 9425 . . . . . . . 8 (({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) ∈ V β†’ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
4923, 39, 483eqtr3d 2780 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 = βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
5049fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (TopOnβ€˜π‘‹) = (TopOnβ€˜βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
5118, 50eleqtrrid 2840 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
52 elssuni 4941 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑆 β†’ 𝑗 βŠ† βˆͺ 𝑆)
53 ssun2 4173 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑆 βŠ† ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)
5452, 53sstrdi 3994 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ 𝑆 β†’ 𝑗 βŠ† ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))
55 ssfii 9416 . . . . . . . 8 (({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) ∈ V β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) βŠ† (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
5646, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) βŠ† (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
5754, 56sylan9ssr 3996 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝑗 βŠ† (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
58 bastg 22689 . . . . . . 7 ((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) ∈ TopBases β†’ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
5916, 58ax-mp 5 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
6057, 59sstrdi 3994 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
6160ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
62 sseq2 4008 . . . . . 6 (π‘˜ = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) β†’ (𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))))
6362ralbidv 3177 . . . . 5 (π‘˜ = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))))
6463elrab 3683 . . . 4 ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} ↔ ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))))
6551, 61, 64sylanbrc 583 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜})
66 intss1 4967 . . 3 ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} β†’ ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
6765, 66syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
6815, 67eqssd 3999 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) = ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950  β€˜cfv 6543  ficfi 9407  topGenctg 17387  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  TopBasesctb 22668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator