Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  topjoin Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem topjoin 35250
Description: Two equivalent formulations of the join of a collection of topologies. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
topjoin ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) = ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜})
Distinct variable groups:   𝑗,π‘˜,𝑆   𝑗,𝑉,π‘˜   𝑗,𝑋,π‘˜
Proof of Theorem topjoin
StepHypRef Expression
1 topontop 22415 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘˜ ∈ Top)
21ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ π‘˜ ∈ Top)
3 toponmax 22428 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ π‘˜)
43ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ 𝑋 ∈ π‘˜)
54snssd 4813 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ {𝑋} βŠ† π‘˜)
6 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)
7 unissb 4944 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑆 βŠ† π‘˜ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)
86, 7sylibr 233 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† π‘˜)
95, 8unssd 4187 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) βŠ† π‘˜)
10 tgfiss 22494 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ Top ∧ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) βŠ† π‘˜) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜)
112, 9, 10syl2anc 585 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜)
1211expr 458 . . . 4 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜))
1312ralrimiva 3147 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)(βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜))
14 ssintrab 4976 . . 3 ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹)(βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜ β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† π‘˜))
1513, 14sylibr 233 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) βŠ† ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜})
16 fibas 22480 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) ∈ TopBases
17 tgtopon 22474 . . . . . 6 ((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
1816, 17ax-mp 5 . . . . 5 (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
19 uniun 4935 . . . . . . . 8 βˆͺ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) = (βˆͺ {𝑋} βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆)
20 unisng 4930 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ βˆͺ {𝑋} = 𝑋)
2120adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ {𝑋} = 𝑋)
2221uneq1d 4163 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆͺ {𝑋} βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆) = (𝑋 βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆))
2319, 22eqtr2id 2786 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆) = βˆͺ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))
24 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹))
25 toponuni 22416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘˜)
26 eqimss2 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 = βˆͺ π‘˜ β†’ βˆͺ π‘˜ βŠ† 𝑋)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆͺ π‘˜ βŠ† 𝑋)
28 sspwuni 5104 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ π‘˜ βŠ† 𝑋)
2927, 28sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘˜ βŠ† 𝒫 𝑋)
30 velpw 4608 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ π‘˜ βŠ† 𝒫 𝑋)
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 𝒫 𝑋)
3231ssriv 3987 . . . . . . . . . . 11 (TopOnβ€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋
3324, 32sstrdi 3995 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋)
34 sspwuni 5104 . . . . . . . . . 10 (𝑆 βŠ† 𝒫 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋)
3533, 34sylib 217 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋)
36 sspwuni 5104 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋 ↔ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3735, 36sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋)
38 ssequn2 4184 . . . . . . . 8 (βˆͺ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆) = 𝑋)
3937, 38sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (𝑋 βˆͺ βˆͺ βˆͺ 𝑆) = 𝑋)
40 snex 5432 . . . . . . . . 9 {𝑋} ∈ V
41 fvex 6905 . . . . . . . . . . . 12 (TopOnβ€˜π‘‹) ∈ V
4241ssex 5322 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑆 ∈ V)
4342adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑆 ∈ V)
4443uniexd 7732 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
45 unexg 7736 . . . . . . . . 9 (({𝑋} ∈ V ∧ βˆͺ 𝑆 ∈ V) β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) ∈ V)
4640, 44, 45sylancr 588 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) ∈ V)
47 fiuni 9423 . . . . . . . 8 (({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) ∈ V β†’ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆͺ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) = βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
4923, 39, 483eqtr3d 2781 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ 𝑋 = βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
5049fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (TopOnβ€˜π‘‹) = (TopOnβ€˜βˆͺ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
5118, 50eleqtrrid 2841 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
52 elssuni 4942 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑆 β†’ 𝑗 βŠ† βˆͺ 𝑆)
53 ssun2 4174 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑆 βŠ† ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)
5452, 53sstrdi 3995 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ 𝑆 β†’ 𝑗 βŠ† ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))
55 ssfii 9414 . . . . . . . 8 (({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) ∈ V β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) βŠ† (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
5646, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ ({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆) βŠ† (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
5754, 56sylan9ssr 3997 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝑗 βŠ† (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
58 bastg 22469 . . . . . . 7 ((fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) ∈ TopBases β†’ (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
5916, 58ax-mp 5 . . . . . 6 (fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))
6057, 59sstrdi 3995 . . . . 5 (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) ∧ 𝑗 ∈ 𝑆) β†’ 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
6160ralrimiva 3147 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
62 sseq2 4009 . . . . . 6 (π‘˜ = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) β†’ (𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))))
6362ralbidv 3178 . . . . 5 (π‘˜ = (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜ ↔ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))))
6463elrab 3684 . . . 4 ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} ↔ ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆)))))
6551, 61, 64sylanbrc 584 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜})
66 intss1 4968 . . 3 ((topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) ∈ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} β†’ ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
6765, 66syl 17 . 2 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜} βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))))
6815, 67eqssd 4000 1 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 βŠ† (TopOnβ€˜π‘‹)) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜({𝑋} βˆͺ βˆͺ 𝑆))) = ∩ {π‘˜ ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∣ βˆ€π‘— ∈ 𝑆 𝑗 βŠ† π‘˜})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909  βˆ© cint 4951  β€˜cfv 6544  ficfi 9405  topGenctg 17383  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  TopBasesctb 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-topgen 17389  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator