Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  istoprelowl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istoprelowl 33753
Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals generate a topology on the reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
istoprelowl.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
istoprelowl (topGen‘𝐼) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem istoprelowl
StepHypRef Expression
1 istoprelowl.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
21isbasisrelowl 33751 . 2 𝐼 ∈ TopBases
3 tgtopon 21146 . . 3 (𝐼 ∈ TopBases → (topGen‘𝐼) ∈ (TopOn‘ 𝐼))
41icoreunrn 33752 . . . . 5 ℝ = 𝐼
54eqcomi 2834 . . . 4 𝐼 = ℝ
65fveq2i 6436 . . 3 (TopOn‘ 𝐼) = (TopOn‘ℝ)
73, 6syl6eleq 2916 . 2 (𝐼 ∈ TopBases → (topGen‘𝐼) ∈ (TopOn‘ℝ))
82, 7ax-mp 5 1 (topGen‘𝐼) ∈ (TopOn‘ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1658  wcel 2166   cuni 4658   × cxp 5340  cima 5345  cfv 6123  cr 10251  [,)cico 12465  topGenctg 16451  TopOnctopon 21085  TopBasesctb 21120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-ico 12469  df-topgen 16457  df-top 21069  df-topon 21086  df-bases 21121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator