| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | tmsval.k |
. 2
⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷) |
| 2 | | df-tms 24332 |
. . 3
⊢ toMetSp =
(𝑑 ∈ ∪ ran ∞Met ↦ ({〈(Base‘ndx), dom dom
𝑑〉,
〈(dist‘ndx), 𝑑〉} sSet 〈(TopSet‘ndx),
(MetOpen‘𝑑)〉)) |
| 3 | | dmeq 5914 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑑 = 𝐷 → dom 𝑑 = dom 𝐷) |
| 4 | 3 | dmeqd 5916 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑑 = 𝐷 → dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷) |
| 5 | | xmetf 24339 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*) |
| 6 | 5 | fdmd 6746 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋)) |
| 7 | 6 | dmeqd 5916 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom dom 𝐷 = dom (𝑋 × 𝑋)) |
| 8 | | dmxpid 5941 |
. . . . . . . . 9
⊢ dom
(𝑋 × 𝑋) = 𝑋 |
| 9 | 7, 8 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom dom 𝐷 = 𝑋) |
| 10 | 4, 9 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → dom dom 𝑑 = 𝑋) |
| 11 | 10 | opeq2d 4880 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → 〈(Base‘ndx), dom dom
𝑑〉 =
〈(Base‘ndx), 𝑋〉) |
| 12 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → 𝑑 = 𝐷) |
| 13 | 12 | opeq2d 4880 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → 〈(dist‘ndx), 𝑑〉 = 〈(dist‘ndx),
𝐷〉) |
| 14 | 11, 13 | preq12d 4741 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → {〈(Base‘ndx), dom dom
𝑑〉,
〈(dist‘ndx), 𝑑〉} = {〈(Base‘ndx), 𝑋〉, 〈(dist‘ndx),
𝐷〉}) |
| 15 | | tmsval.m |
. . . . 5
⊢ 𝑀 = {〈(Base‘ndx),
𝑋〉,
〈(dist‘ndx), 𝐷〉} |
| 16 | 14, 15 | eqtr4di 2795 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → {〈(Base‘ndx), dom dom
𝑑〉,
〈(dist‘ndx), 𝑑〉} = 𝑀) |
| 17 | 12 | fveq2d 6910 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → (MetOpen‘𝑑) = (MetOpen‘𝐷)) |
| 18 | 17 | opeq2d 4880 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → 〈(TopSet‘ndx),
(MetOpen‘𝑑)〉 =
〈(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)〉) |
| 19 | 16, 18 | oveq12d 7449 |
. . 3
⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑑 = 𝐷) → ({〈(Base‘ndx), dom dom
𝑑〉,
〈(dist‘ndx), 𝑑〉} sSet 〈(TopSet‘ndx),
(MetOpen‘𝑑)〉) =
(𝑀 sSet
〈(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)〉)) |
| 20 | | fvssunirn 6939 |
. . . 4
⊢
(∞Met‘𝑋)
⊆ ∪ ran ∞Met |
| 21 | 20 | sseli 3979 |
. . 3
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ ∪ ran
∞Met) |
| 22 | | ovexd 7466 |
. . 3
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑀 sSet 〈(TopSet‘ndx),
(MetOpen‘𝐷)〉)
∈ V) |
| 23 | 2, 19, 21, 22 | fvmptd2 7024 |
. 2
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝐷) = (𝑀 sSet 〈(TopSet‘ndx),
(MetOpen‘𝐷)〉)) |
| 24 | 1, 23 | eqtrid 2789 |
1
⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet 〈(TopSet‘ndx),
(MetOpen‘𝐷)〉)) |