MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmslem 24408
Description: Lemma for tmsbas 24410, tmsds 24411, and tmstopn 24412. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k 𝐾 = (toMetSpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tmslem (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 = (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐷 = (distβ€˜πΎ) ∧ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ)))

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6937 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 tmsval.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩}
3 basendxltdsndx 17374 . . . . 5 (Baseβ€˜ndx) < (distβ€˜ndx)
4 dsndxnn 17373 . . . . 5 (distβ€˜ndx) ∈ β„•
52, 3, 42strbas1 17212 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
61, 5syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
7 xmetf 24253 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
8 ffn 6725 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
9 fnresdm 6677 . . . . 5 (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐷)
107, 8, 93syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐷)
11 dsid 17372 . . . . . 6 dist = Slot (distβ€˜ndx)
122, 3, 4, 112strop1 17213 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = (distβ€˜π‘€))
1312reseq1d 5986 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
1410, 13eqtr3d 2769 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
15 tmsval.k . . . 4 𝐾 = (toMetSpβ€˜π·)
162, 15tmsval 24407 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
176, 14, 16setsmsbas 24399 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜πΎ))
186, 14, 16setsmsds 24401 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
1912, 18eqtrd 2767 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = (distβ€˜πΎ))
20 prex 5436 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩} ∈ V
212, 20eqeltri 2824 . . . 4 𝑀 ∈ V
2221a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ V)
236, 14, 16, 22setsmstopn 24404 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))
2417, 19, 233jca 1125 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 = (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐷 = (distβ€˜πΎ) ∧ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471  {cpr 4632  βŸ¨cop 4636   Γ— cxp 5678  dom cdm 5680   β†Ύ cres 5682   Fn wfn 6546  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  β„*cxr 11283  ndxcnx 17167  Basecbs 17185  distcds 17247  TopOpenctopn 17408  βˆžMetcxmet 21269  MetOpencmopn 21274  toMetSpctms 24243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-fz 13523  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-tset 17257  df-ds 17260  df-rest 17409  df-topn 17410  df-topgen 17430  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-tms 24246
This theorem is referenced by:  tmsbas  24410  tmsds  24411  tmstopn  24412
  Copyright terms: Public domain W3C validator