Theorem tmslem 24377

Description: Lemma for tmsbas 24378, tmsds 24379, and tmstopn 24380. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsval.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmslem	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Proof of Theorem tmslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6898	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2		tmsval.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
3		basendxltdsndx 17358	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) < (dist‘ndx)
4		dsndxnn 17357	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) ∈ ℕ
5	2, 3, 4	2strbas 17205	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → 𝑋 = (Base‘𝑀))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝑀))
7		xmetf 24224	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
8		ffn 6691	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
9		fnresdm 6640	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
11		dsid 17356	. . . . . 6 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
12	2, 3, 4, 11	2strop 17206	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝑀))
13	12	reseq1d 5952	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
14	10, 13	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
15		tmsval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
16	2, 15	tmsval 24376	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
17	6, 14, 16	setsmsbas 24370	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
18	6, 14, 16	setsmsds 24371	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
19	12, 18	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
20		prex 5395	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∈ V
21	2, 20	eqeltri 2825	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ V
22	21	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ V)
23	6, 14, 16, 22	setsmstopn 24373	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
24	17, 19, 23	3jca 1128	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  {cpr 4594  ⟨cop 4598   × cxp 5639  dom cdm 5641   ↾ cres 5643   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℝ^*cxr 11214  ndxcnx 17170  Basecbs 17186  distcds 17236  TopOpenctopn 17391  ∞Metcxmet 21256  MetOpencmopn 21261  toMetSpctms 24214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-tset 17246  df-ds 17249  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-tms 24217

This theorem is referenced by:  tmsbas  24378  tmsds  24379  tmstopn  24380