MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmslem 22785
Description: Lemma for tmsbas 22786, tmsds 22787, and tmstopn 22788. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tmslem (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6525 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 tmsval.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
3 df-ds 16433 . . . . 5 dist = Slot 12
4 1nn 11444 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
5 2nn0 11719 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
6 1nn0 11718 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
7 1lt10 12045 . . . . . 6 1 < 10
84, 5, 6, 7declti 11943 . . . . 5 1 < 12
9 2nn 11506 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
106, 9decnncl 11925 . . . . 5 12 ∈ ℕ
112, 3, 8, 102strbas 16449 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met → 𝑋 = (Base‘𝑀))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝑀))
13 xmetf 22632 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14 ffn 6338 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnresdm 6293 . . . . 5 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
172, 3, 8, 102strop 16450 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝑀))
1817reseq1d 5687 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
1916, 18eqtr3d 2810 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
20 tmsval.k . . . 4 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
212, 20tmsval 22784 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
2212, 19, 21setsmsbas 22778 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
2312, 19, 21setsmsds 22779 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
2417, 23eqtrd 2808 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
25 prex 5183 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∈ V
262, 25eqeltri 2856 . . . 4 𝑀 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ V)
2812, 19, 21, 27setsmstopn 22781 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
2922, 24, 283jca 1108 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2048  Vcvv 3409  {cpr 4437  cop 4441   × cxp 5398  dom cdm 5400  cres 5402   Fn wfn 6177  wf 6178  cfv 6182  1c1 10328  *cxr 10465  2c2 11488  cdc 11904  ndxcnx 16326  Basecbs 16329  distcds 16420  TopOpenctopn 16541  ∞Metcxmet 20222  MetOpencmopn 20227  toMetSpctms 22622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-map 8200  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xneg 12317  df-xadd 12318  df-xmul 12319  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-sets 16336  df-tset 16430  df-ds 16433  df-rest 16542  df-topn 16543  df-topgen 16563  df-psmet 20229  df-xmet 20230  df-bl 20232  df-mopn 20233  df-top 21196  df-topon 21213  df-bases 21248  df-tms 22625
This theorem is referenced by:  tmsbas  22786  tmsds  22787  tmstopn  22788
  Copyright terms: Public domain W3C validator