MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmslem 22500
Description: Lemma for tmsbas 22501, tmsds 22502, and tmstopn 22503. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tmslem (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6359 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 tmsval.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
3 df-ds 16165 . . . . 5 dist = Slot 12
4 1nn 11231 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
5 2nn0 11509 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
6 1nn0 11508 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
7 1lt10 11880 . . . . . 6 1 < 10
84, 5, 6, 7declti 11746 . . . . 5 1 < 12
9 2nn 11385 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
106, 9decnncl 11718 . . . . 5 12 ∈ ℕ
112, 3, 8, 102strbas 16185 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met → 𝑋 = (Base‘𝑀))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝑀))
13 xmetf 22347 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14 ffn 6183 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnresdm 6138 . . . . 5 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
172, 3, 8, 102strop 16186 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝑀))
1817reseq1d 5531 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
1916, 18eqtr3d 2807 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
20 tmsval.k . . . 4 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
212, 20tmsval 22499 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
2212, 19, 21setsmsbas 22493 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
2312, 19, 21setsmsds 22494 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
2417, 23eqtrd 2805 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
25 prex 5037 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∈ V
262, 25eqeltri 2846 . . . 4 𝑀 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ V)
2812, 19, 21, 27setsmstopn 22496 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
2922, 24, 283jca 1122 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  {cpr 4318  cop 4322   × cxp 5247  dom cdm 5249  cres 5251   Fn wfn 6024  wf 6025  cfv 6029  1c1 10137  *cxr 10273  2c2 11270  cdc 11693  ndxcnx 16054  Basecbs 16057  distcds 16151  TopOpenctopn 16283  ∞Metcxmt 19939  MetOpencmopn 19944  toMetSpctmt 22337
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12144  df-xadd 12145  df-xmul 12146  df-fz 12527  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-tset 16161  df-ds 16165  df-rest 16284  df-topn 16285  df-topgen 16305  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-tms 22340
This theorem is referenced by:  tmsbas  22501  tmsds  22502  tmstopn  22503
  Copyright terms: Public domain W3C validator