Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmslem 23092
 Description: Lemma for tmsbas 23093, tmsds 23094, and tmstopn 23095. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
tmslem (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Proof of Theorem tmslem
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6693 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 tmsval.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
3 df-ds 16587 . . . . 5 dist = Slot 12
4 1nn 11645 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
5 2nn0 11911 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
6 1nn0 11910 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
7 1lt10 12234 . . . . . 6 1 < 10
84, 5, 6, 7declti 12133 . . . . 5 1 < 12
9 2nn 11707 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
106, 9decnncl 12115 . . . . 5 12 ∈ ℕ
112, 3, 8, 102strbas 16603 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met → 𝑋 = (Base‘𝑀))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝑀))
13 xmetf 22939 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14 ffn 6503 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnresdm 6455 . . . . 5 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
172, 3, 8, 102strop 16604 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝑀))
1817reseq1d 5839 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
1916, 18eqtr3d 2861 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
20 tmsval.k . . . 4 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
212, 20tmsval 23091 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
2212, 19, 21setsmsbas 23085 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
2312, 19, 21setsmsds 23086 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
2417, 23eqtrd 2859 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
25 prex 5320 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∈ V
262, 25eqeltri 2912 . . . 4 𝑀 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ V)
2812, 19, 21, 27setsmstopn 23088 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
2922, 24, 283jca 1125 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  {cpr 4552  ⟨cop 4556   × cxp 5540  dom cdm 5542   ↾ cres 5544   Fn wfn 6338  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  1c1 10536  ℝ*cxr 10672  2c2 11689  ;cdc 12095  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  distcds 16574  TopOpenctopn 16695  ∞Metcxmet 20530  MetOpencmopn 20535  toMetSpctms 22929 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-tset 16584  df-ds 16587  df-rest 16696  df-topn 16697  df-topgen 16717  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-top 21502  df-topon 21519  df-bases 21554  df-tms 22932 This theorem is referenced by:  tmsbas  23093  tmsds  23094  tmstopn  23095
 Copyright terms: Public domain W3C validator