Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsms 23085
 Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m (𝜑𝑀𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsms (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))

Proof of Theorem setsms
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . . 4 (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
2 setsms.d . . . 4 (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3 setsms.k . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4 setsms.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
51, 2, 3, 4setsxms 23084 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
61, 2, 3setsmsds 23081 . . . . . 6 (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
71, 2, 3setsmsbas 23080 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))
87sqxpeqd 5564 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
96, 8reseq12d 5832 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
102, 9eqtr2d 2858 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = 𝐷)
117fveq2d 6656 . . . . 5 (𝜑 → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝐾)))
1211eqcomd 2828 . . . 4 (𝜑 → (Met‘(Base‘𝐾)) = (Met‘𝑋))
1310, 12eleq12d 2908 . . 3 (𝜑 → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
145, 13anbi12d 633 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
15 eqid 2822 . . 3 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
16 eqid 2822 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17 eqid 2822 . . 3 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1815, 16, 17isms 23054 . 2 (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
19 metxmet 22939 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2019pm4.71ri 564 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
2114, 18, 203bitr4g 317 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4545   × cxp 5530   ↾ cres 5534  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  ndxcnx 16471   sSet csts 16472  Basecbs 16474  TopSetcts 16562  distcds 16565  TopOpenctopn 16686  ∞Metcxmet 20074  Metcmet 20075  MetOpencmopn 20079  ∞MetSpcxms 22922  MetSpcms 22923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-tset 16575  df-ds 16578  df-rest 16687  df-topn 16688  df-topgen 16708  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-xms 22925  df-ms 22926 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator