MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsms 23833
Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m (𝜑𝑀𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsms (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))

Proof of Theorem setsms
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . . 4 (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
2 setsms.d . . . 4 (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3 setsms.k . . . 4 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4 setsms.m . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
51, 2, 3, 4setsxms 23832 . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
61, 2, 3setsmsds 23828 . . . . . 6 (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
71, 2, 3setsmsbas 23826 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))
87sqxpeqd 5665 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
96, 8reseq12d 5938 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
102, 9eqtr2d 2777 . . . 4 (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = 𝐷)
117fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝐾)))
1211eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (Met‘(Base‘𝐾)) = (Met‘𝑋))
1310, 12eleq12d 2832 . . 3 (𝜑 → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
145, 13anbi12d 631 . 2 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
15 eqid 2736 . . 3 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
16 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17 eqid 2736 . . 3 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
1815, 16, 17isms 23800 . 2 (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
19 metxmet 23685 . . 3 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2019pm4.71ri 561 . 2 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
2114, 18, 203bitr4g 313 1 (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4592   × cxp 5631  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7356   sSet csts 17034  ndxcnx 17064  Basecbs 17082  TopSetcts 17138  distcds 17141  TopOpenctopn 17302  ∞Metcxmet 20779  Metcmet 20780  MetOpencmopn 20784  ∞MetSpcxms 23668  MetSpcms 23669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9377  df-inf 9378  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-q 12873  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-tset 17151  df-ds 17154  df-rest 17303  df-topn 17304  df-topgen 17324  df-psmet 20786  df-xmet 20787  df-met 20788  df-bl 20789  df-mopn 20790  df-top 22241  df-topon 22258  df-topsp 22280  df-bases 22294  df-xms 23671  df-ms 23672
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator