Theorem setsms 24854

Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsms	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))

Proof of Theorem setsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsxms 24853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))
6	1, 2, 3	setsmsds 24850	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
7	1, 2, 3	setsmsbas 24849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
8	7	sqxpeqd 5690	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
9	6, 8	reseq12d 5987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
10	2, 9	eqtr2d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = 𝐷)
11	7	fveq2d 6920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝐾)))
12	11	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Met‘(Base‘𝐾)) = (Met‘𝑋))
13	10, 12	eleq12d 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
14	5, 13	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))))
15		eqid 2763	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
18	15, 16, 17	isms 24823	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
19		metxmet 24708	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
20	19	pm4.71ri 570	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))
21	14, 18, 20	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ MetSp ↔ 𝐷 ∈ (Met‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4840   × cxp 5656   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   sSet csts 17385  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  TopSetcts 17478  distcds 17481  TopOpenctopn 17642  ∞Metcxmet 21714  Metcmet 21715  MetOpencmopn 21719  ∞MetSpcxms 24691  MetSpcms 24692

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-tset 17492  df-ds 17495  df-rest 17643  df-topn 17644  df-topgen 17664  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-xms 24694  df-ms 24695

This theorem is used by: (None)