Theorem tmslemOLD 23982

Description: Obsolete version of tmslem 23981 as of 28-Oct-2024. Lemma for tmsbas 23983, tmsds 23984, and tmstopn 23985. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsval.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmslemOLD	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Proof of Theorem tmslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6925	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2		tmsval.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
3		df-ds 17215	. . . . 5 ⊢ dist = Slot ;12
4		1nn 12219	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		2nn0 12485	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		1nn0 12484	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 12812	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
8	4, 5, 6, 7	declti 12711	. . . . 5 ⊢ 1 < ;12
9		2nn 12281	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	6, 9	decnncl 12693	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
11	2, 3, 8, 10	2strbas 17163	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → 𝑋 = (Base‘𝑀))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝑀))
13		xmetf 23826	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14		ffn 6714	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15		fnresdm 6666	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
17	2, 3, 8, 10	2strop 17164	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝑀))
18	17	reseq1d 5978	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
19	16, 18	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
20		tmsval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
21	2, 20	tmsval 23980	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
22	12, 19, 21	setsmsbas 23972	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
23	12, 19, 21	setsmsds 23974	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
24	17, 23	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
25		prex 5431	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∈ V
26	2, 25	eqeltri 2829	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ V)
28	12, 19, 21, 27	setsmstopn 23977	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
29	22, 24, 28	3jca 1128	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {cpr 4629  ⟨cop 4633   × cxp 5673  dom cdm 5675   ↾ cres 5677   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  1c1 11107  ℝ^*cxr 11243  2c2 12263  ;cdc 12673  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  distcds 17202  TopOpenctopn 17363  ∞Metcxmet 20921  MetOpencmopn 20926  toMetSpctms 23816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-tset 17212  df-ds 17215  df-rest 17364  df-topn 17365  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-tms 23819

This theorem is referenced by: (None)