Theorem tmslemOLD 24495

Description: Obsolete version of tmslem 24494 as of 28-Oct-2024. Lemma for tmsbas 24496, tmsds 24497, and tmstopn 24498. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsval.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmslemOLD	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Proof of Theorem tmslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6943	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2		tmsval.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
3		df-ds 17319	. . . . 5 ⊢ dist = Slot ;12
4		1nn 12277	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		2nn0 12543	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		1nn0 12542	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 12872	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
8	4, 5, 6, 7	declti 12771	. . . . 5 ⊢ 1 < ;12
9		2nn 12339	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	6, 9	decnncl 12753	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
11	2, 3, 8, 10	2strbas 17268	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → 𝑋 = (Base‘𝑀))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝑀))
13		xmetf 24339	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14		ffn 6736	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15		fnresdm 6687	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
17	2, 3, 8, 10	2strop 17269	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝑀))
18	17	reseq1d 5996	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
19	16, 18	eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
20		tmsval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
21	2, 20	tmsval 24493	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
22	12, 19, 21	setsmsbas 24485	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
23	12, 19, 21	setsmsds 24487	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
24	17, 23	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
25		prex 5437	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∈ V
26	2, 25	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ V)
28	12, 19, 21, 27	setsmstopn 24490	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
29	22, 24, 28	3jca 1129	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  {cpr 4628  ⟨cop 4632   × cxp 5683  dom cdm 5685   ↾ cres 5687   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  1c1 11156  ℝ^*cxr 11294  2c2 12321  ;cdc 12733  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  distcds 17306  TopOpenctopn 17466  ∞Metcxmet 21349  MetOpencmopn 21354  toMetSpctms 24329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-tset 17316  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-tms 24332

This theorem is referenced by: (None)