Theorem tmslemOLD 24409

Description: Obsolete version of tmslem 24408 as of 28-Oct-2024. Lemma for tmsbas 24410, tmsds 24411, and tmstopn 24412. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsval.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmslemOLD	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Proof of Theorem tmslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6929	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2		tmsval.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}
3		df-ds 17254	. . . . 5 ⊢ dist = Slot ;12
4		1nn 12253	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		2nn0 12519	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
6		1nn0 12518	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		1lt10 12846	. . . . . 6 ⊢ 1 < ;10
8	4, 5, 6, 7	declti 12745	. . . . 5 ⊢ 1 < ;12
9		2nn 12315	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	6, 9	decnncl 12727	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℕ
11	2, 3, 8, 10	2strbas 17202	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ dom ∞Met → 𝑋 = (Base‘𝑀))
12	1, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝑀))
13		xmetf 24253	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14		ffn 6717	. . . . 5 ⊢ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* → 𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15		fnresdm 6669	. . . . 5 ⊢ (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
16	13, 14, 15	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = 𝐷)
17	2, 3, 8, 10	2strop 17203	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝑀))
18	17	reseq1d 5978	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
19	16, 18	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
20		tmsval.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
21	2, 20	tmsval 24407	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
22	12, 19, 21	setsmsbas 24399	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
23	12, 19, 21	setsmsds 24401	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
24	17, 23	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
25		prex 5428	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} ∈ V
26	2, 25	eqeltri 2821	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ V
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ V)
28	12, 19, 21, 27	setsmstopn 24404	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
29	22, 24, 28	3jca 1125	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑋 = (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 = (dist‘𝐾) ∧ (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {cpr 4626  ⟨cop 4630   × cxp 5670  dom cdm 5672   ↾ cres 5674   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  1c1 11139  ℝ^*cxr 11277  2c2 12297  ;cdc 12707  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  distcds 17241  TopOpenctopn 17402  ∞Metcxmet 21268  MetOpencmopn 21273  toMetSpctms 24243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-tset 17251  df-ds 17254  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-tms 24246

This theorem is referenced by: (None)