MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmslemOLD 23854
Description: Obsolete version of tmslem 23853 as of 28-Oct-2024. Lemma for tmsbas 23855, tmsds 23856, and tmstopn 23857. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k 𝐾 = (toMetSpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tmslemOLD (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 = (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐷 = (distβ€˜πΎ) ∧ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ)))

Proof of Theorem tmslemOLD
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6880 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 tmsval.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩}
3 df-ds 17160 . . . . 5 dist = Slot 12
4 1nn 12169 . . . . . 6 1 ∈ β„•
5 2nn0 12435 . . . . . 6 2 ∈ β„•0
6 1nn0 12434 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
7 1lt10 12762 . . . . . 6 1 < 10
84, 5, 6, 7declti 12661 . . . . 5 1 < 12
9 2nn 12231 . . . . . 6 2 ∈ β„•
106, 9decnncl 12643 . . . . 5 12 ∈ β„•
112, 3, 8, 102strbas 17111 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
13 xmetf 23698 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
14 ffn 6669 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
15 fnresdm 6621 . . . . 5 (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐷)
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐷)
172, 3, 8, 102strop 17112 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = (distβ€˜π‘€))
1817reseq1d 5937 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
1916, 18eqtr3d 2775 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
20 tmsval.k . . . 4 𝐾 = (toMetSpβ€˜π·)
212, 20tmsval 23852 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
2212, 19, 21setsmsbas 23844 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜πΎ))
2312, 19, 21setsmsds 23846 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
2417, 23eqtrd 2773 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = (distβ€˜πΎ))
25 prex 5390 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩} ∈ V
262, 25eqeltri 2830 . . . 4 𝑀 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ V)
2812, 19, 21, 27setsmstopn 23849 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))
2922, 24, 283jca 1129 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 = (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐷 = (distβ€˜πΎ) ∧ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  {cpr 4589  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634   β†Ύ cres 5636   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  1c1 11057  β„*cxr 11193  2c2 12213  cdc 12623  ndxcnx 17070  Basecbs 17088  distcds 17147  TopOpenctopn 17308  βˆžMetcxmet 20797  MetOpencmopn 20802  toMetSpctms 23688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-tset 17157  df-ds 17160  df-rest 17309  df-topn 17310  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-tms 23691
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator