MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmslemOLD 24409
Description: Obsolete version of tmslem 24408 as of 28-Oct-2024. Lemma for tmsbas 24410, tmsds 24411, and tmstopn 24412. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsval.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩}
tmsval.k 𝐾 = (toMetSpβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
tmslemOLD (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 = (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐷 = (distβ€˜πΎ) ∧ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ)))

Proof of Theorem tmslemOLD
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6929 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 tmsval.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩}
3 df-ds 17254 . . . . 5 dist = Slot 12
4 1nn 12253 . . . . . 6 1 ∈ β„•
5 2nn0 12519 . . . . . 6 2 ∈ β„•0
6 1nn0 12518 . . . . . 6 1 ∈ β„•0
7 1lt10 12846 . . . . . 6 1 < 10
84, 5, 6, 7declti 12745 . . . . 5 1 < 12
9 2nn 12315 . . . . . 6 2 ∈ β„•
106, 9decnncl 12727 . . . . 5 12 ∈ β„•
112, 3, 8, 102strbas 17202 . . . 4 (𝑋 ∈ dom ∞Met β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
121, 11syl 17 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜π‘€))
13 xmetf 24253 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
14 ffn 6717 . . . . 5 (𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
15 fnresdm 6669 . . . . 5 (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐷)
1613, 14, 153syl 18 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = 𝐷)
172, 3, 8, 102strop 17203 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = (distβ€˜π‘€))
1817reseq1d 5978 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐷 β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
1916, 18eqtr3d 2767 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = ((distβ€˜π‘€) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
20 tmsval.k . . . 4 𝐾 = (toMetSpβ€˜π·)
212, 20tmsval 24407 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜π·)⟩))
2212, 19, 21setsmsbas 24399 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜πΎ))
2312, 19, 21setsmsds 24401 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (distβ€˜π‘€) = (distβ€˜πΎ))
2417, 23eqtrd 2765 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 = (distβ€˜πΎ))
25 prex 5428 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‹βŸ©, ⟨(distβ€˜ndx), 𝐷⟩} ∈ V
262, 25eqeltri 2821 . . . 4 𝑀 ∈ V
2726a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ V)
2812, 19, 21, 27setsmstopn 24404 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ))
2922, 24, 283jca 1125 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 = (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐷 = (distβ€˜πΎ) ∧ (MetOpenβ€˜π·) = (TopOpenβ€˜πΎ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  1c1 11139  β„*cxr 11277  2c2 12297  cdc 12707  ndxcnx 17161  Basecbs 17179  distcds 17241  TopOpenctopn 17402  βˆžMetcxmet 21268  MetOpencmopn 21273  toMetSpctms 24243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-tset 17251  df-ds 17254  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-tms 24246
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator