Theorem fvmptd2 6998

Description: Deduction version of fvmpt 6989 (where the definition of the mapping does not depend on the common antecedent 𝜑). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd2.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd2	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵))
3		fvmptd2.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
4		fvmptd2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5		fvmptd2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
6	2, 3, 4, 5	fvmptd 6997	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544

This theorem is used by:  updjudhcoinlf  9923  updjudhcoinrg  9924  lcmf0val  16684  fvprmselelfz  17108  fvprmselgcd1  17109  setcval  18138  catcval  18161  estrcval  18184  hofval  18312  yonval  18321  frmdval  18914  smndex1igid  18969  smndex1igidOLD  18970  smndex1n0mnd  18978  gexval  19652  rngcval  20726  ringcval  20755  frobrhm  21734  pmatcollpw3fi1lem1  22952  chfacfscmul0  23024  chfacfscmulgsum  23026  chfacfpmmul0  23028  chfacfpmmulgsum  23030  lmfval  23398  kgenval  23701  ptval  23736  utopval  24398  ustuqtoplem  24405  utopsnneiplem  24413  tusval  24431  blfvalps  24549  tmsval  24647  metuval  24715  caufval  25443  dchrval  27407  gausslemma2dlem2  27540  gausslemma2dlem3  27541  israg  28986  perpln1  28999  perpln2  29000  isperp  29001  vtxdgfval  29826  crctcsh  30182  clwlkclwwlklem2fv1  30355  clwlkclwwlklem2fv2  30356  cofmpt2  32988  pwrssmgc  33329  gsumfs2d  33390  elrgspnlem2  33572  elrgspnlem3  33573  elrgspnlem4  33574  rlocf1  33603  fracval  33634  qusima  33726  elrspunidl  33745  elrspunsn  33746  zringfrac  33853  r1pquslmic  33909  0mplrim  33913  selvply1rhmlemb  33918  selvply1rhmlem2  33920  selvply1rhmlem4  33922  mplvrpmmhm  33945  mplvrpmrhm  33946  psrmonprod  33951  esplyfvaln  33973  fldextrspunlsp  34073  constrsuc  34137  madjusmdetlem2  34227  metidval  34289  pstmval  34294  carsgval  34702  dfttc3gw  37062  bj-rdg0gALT  37735  bj-finsumval0  37957  cdleme31fv2  41195  fiabv  43332  iunrelexpmin1  44462  iunrelexpmin2  44466  rfovcnvf1od  44758  limsup10exlem  46514  dvnprodlem1  46688  prproropf1olem3  48282  prprval  48291  isuspgrim0lem  48686  clintopval  48997  1arymaptfo  49451  2arymptfv  49458  2arymaptfo  49462  ackval42  49504