Theorem fvmptd2 7005

Description: Deduction version of fvmpt 6996 (where the definition of the mapping does not depend on the common antecedent 𝜑). (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptd2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
fvmptd2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
fvmptd2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
fvmptd2.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
fvmptd2	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fvmptd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvmptd2.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵))
3		fvmptd2.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
4		fvmptd2.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
5		fvmptd2.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
6	2, 3, 4, 5	fvmptd 7004	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551

This theorem is used by:  updjudhcoinlf  9937  updjudhcoinrg  9938  lcmf0val  16705  fvprmselelfz  17129  fvprmselgcd1  17130  setcval  18159  catcval  18182  estrcval  18205  hofval  18333  yonval  18342  frmdval  18941  smndex1igid  18996  smndex1igidOLD  18997  smndex1n0mnd  19005  gexval  19679  rngcval  20754  ringcval  20783  frobrhm  21762  pmatcollpw3fi1lem1  22980  chfacfscmul0  23052  chfacfscmulgsum  23054  chfacfpmmul0  23056  chfacfpmmulgsum  23058  lmfval  23426  kgenval  23729  ptval  23764  utopval  24426  ustuqtoplem  24433  utopsnneiplem  24441  tusval  24459  blfvalps  24577  tmsval  24675  metuval  24743  caufval  25471  dchrval  27435  gausslemma2dlem2  27568  gausslemma2dlem3  27569  israg  29014  perpln1  29027  perpln2  29028  isperp  29029  vtxdgfval  29854  crctcsh  30210  clwlkclwwlklem2fv1  30383  clwlkclwwlklem2fv2  30384  cofmpt2  33016  pwrssmgc  33351  gsumfs2d  33412  elrgspnlem2  33594  elrgspnlem3  33595  elrgspnlem4  33596  rlocf1  33625  fracval  33656  qusima  33748  elrspunidl  33767  elrspunsn  33768  zringfrac  33875  r1pquslmic  33931  0mplrim  33935  selvply1rhmlemb  33940  selvply1rhmlem2  33942  selvply1rhmlem4  33944  mplvrpmmhm  33967  mplvrpmrhm  33968  psrmonprod  33973  esplyfvaln  33995  fldextrspunlsp  34095  constrsuc  34159  madjusmdetlem2  34249  metidval  34311  pstmval  34316  carsgval  34725  dfttc3gw  37075  bj-rdg0gALT  37748  bj-finsumval0  37970  cdleme31fv2  41208  fiabv  43345  iunrelexpmin1  44475  iunrelexpmin2  44479  rfovcnvf1od  44771  limsup10exlem  46527  dvnprodlem1  46701  prproropf1olem3  48295  prprval  48304  isuspgrim0lem  48699  clintopval  49010  1arymaptfo  49464  2arymptfv  49471  2arymaptfo  49475  ackval42  49517