Theorem fvssunirn 6912

Description: The result of a function value is always a subset of the union of the range, even if it is invalid and thus empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.) (Proof shortened by SN, 13-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fvssunirn	⊢ (𝐹‘𝑋) ⊆ ∪ ran 𝐹

Proof of Theorem fvssunirn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvunirn 6911	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐹‘𝑋) → 𝑥 ∈ ∪ ran 𝐹)
2	1	ssriv 3940	1 ⊢ (𝐹‘𝑋) ⊆ ∪ ran 𝐹

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4871  ran crn 5661  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-cnv 5668  df-dm 5670  df-rn 5671  df-iota 6492  df-fv 6544

This theorem is used by:  ovssunirn  7448  marypha2lem1  9393  acnlem  10039  fin23lem29  10331  itunitc  10411  hsmexlem5  10420  wunfv  10723  wunex2  10729  strfvss  17253  prdsvallem  17513  prdsval  17514  prdsbas  17516  prdsplusg  17517  prdsmulr  17518  prdsvsca  17519  prdshom  17526  mreunirn  17659  mrcfval  17670  mrcssv  17676  mrisval  17692  sscpwex  17878  wunfunc  17964  catcxpccl  18269  comppfsc  23700  filunirn  24050  elflim  24139  flffval  24157  fclsval  24176  isfcls  24177  fcfval  24201  tsmsxplem1  24321  xmetunirn  24505  mopnval  24606  tmsval  24649  cfilfval  25434  caufval  25445  issgon  34522  elrnsiga  34525  volmeas  34630  omssubadd  34699  neibastop2lem  36899  ctbssinf  38080  ismtyval  38479  dicval  41978  prjcrv0  43393  ismrc  43460  nacsfix  43471  hbt  43885