Theorem mattpos1 22570

Description: The transposition of the identity matrix is the identity matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattpos1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattpos1.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mattpos1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )

Proof of Theorem mattpos1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
2	1	tposmpo 8247	. . 3 ⊢ tpos (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
3		mattpos1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	3, 4, 5	mat1 22561	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
7	6	tposeqd 8213	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos (1r‘𝐴) = tpos (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
8	3, 4, 5	mat1 22561	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
9		equcom 2041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 ↔ 𝑖 = 𝑗)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 = 𝑖 ↔ 𝑖 = 𝑗))
11	10	ifbid 4507	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
12	11	mpoeq3ia 7478	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
13	8, 12	eqtrdi 2816	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
14	2, 7, 13	3eqtr4a 2826	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴))
15		mattpos1.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16	15	tposeqi 8243	. 2 ⊢ tpos 1 = tpos (1r‘𝐴)
17	14, 16, 15	3eqtr4g 2825	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ifcif 4483  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  tpos ctpos 8209  Fincfn 8931  0_gc0g 17480  1_rcur 20251  Ringcrg 20303   Mat cmat 22521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-dsmm 21839  df-frlm 21854  df-mamu 22505  df-mat 22522

This theorem is referenced by:  madulid  22759