Theorem mattpos1 22178

Description: The transposition of the identity matrix is the identity matrix. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mattpos1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mattpos1.o	⊢ 1 = (1r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mattpos1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )

Proof of Theorem mattpos1

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
2	1	tposmpo 8250	. . 3 ⊢ tpos (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
3		mattpos1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
5		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6	3, 4, 5	mat1 22169	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
7	6	tposeqd 8216	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos (1r‘𝐴) = tpos (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
8	3, 4, 5	mat1 22169	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
9		equcom 2021	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 ↔ 𝑖 = 𝑗)
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝑗 = 𝑖 ↔ 𝑖 = 𝑗))
11	10	ifbid 4551	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
12	11	mpoeq3ia 7489	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) = (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
13	8, 12	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r‘𝐴) = (𝑗 ∈ 𝑁, 𝑖 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑗, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
14	2, 7, 13	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos (1r‘𝐴) = (1r‘𝐴))
15		mattpos1.o	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
16	15	tposeqi 8246	. 2 ⊢ tpos 1 = tpos (1r‘𝐴)
17	14, 16, 15	3eqtr4g 2797	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → tpos 1 = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4528  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  tpos ctpos 8212  Fincfn 8941  0_gc0g 17389  1_rcur 20075  Ringcrg 20127   Mat cmat 22127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-mamu 22106  df-mat 22128

This theorem is referenced by:  madulid  22367