Theorem mamutpos 22520

Description: Behavior of transposes in matrix products, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamutpos.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamutpos.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
mamutpos.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamutpos.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mamutpos.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamutpos.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamutpos.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamutpos.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamutpos.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamutpos	⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Proof of Theorem mamutpos

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
2	1	tposmpo 8245	. . 3 ⊢ tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
3		simpl1 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝜑)
4		mamutpos.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
6		mamutpos.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
7		elmapi 8832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
9		simpl3 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑀)
10		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
11	8, 9, 10	fovcdmd 7570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
12		mamutpos.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
13		elmapi 8832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
14	3, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
15		simpl2 1207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑃)
16	14, 10, 15	fovcdmd 7570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵)
17		mamutpos.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	17, 18	crngcom 20303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
20	5, 11, 16, 19	syl3anc 1392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
21		ovtpos 8223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖tpos 𝑌𝑘) = (𝑘𝑌𝑖)
22		ovtpos 8223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘tpos 𝑋𝑗) = (𝑗𝑋𝑘)
23	21, 22	oveq12i 7410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘))
24	20, 23	eqtr4di 2817	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))
25	24	mpteq2dva 5195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))
26	25	oveq2d 7414	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))))
27	26	mpoeq3dva 7475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
28	2, 27	eqtrid 2811	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
29		mamutpos.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
30		mamutpos.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
31		mamutpos.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
32		mamutpos.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
33	29, 17, 18, 4, 30, 31, 32, 6, 12	mamuval 22455	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
34	33	tposeqd 8211	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
35		mamutpos.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
36		tposmap 22519	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑃 × 𝑁)))
37	12, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑃 × 𝑁)))
38		tposmap 22519	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
39	6, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
40	35, 17, 18, 4, 32, 31, 30, 37, 39	mamuval 22455	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
41	28, 34, 40	3eqtr4d 2809	1 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ⟨cotp 4592   ↦ cmpt 5183   × cxp 5647  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400  tpos ctpos 8207   ↑_m cmap 8810  Fincfn 8929  Basecbs 17247  ._rcmulr 17289   Σ_g cgsu 17471  CRingccrg 20286   maMul cmmul 22452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-cmn 19824  df-mgp 20189  df-cring 20288  df-mamu 22453

This theorem is referenced by:  mattposm  22521