MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamutpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamutpos 21807
Description: Behavior of transposes in matrix products, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mamutpos.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamutpos.g 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
mamutpos.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamutpos.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mamutpos.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamutpos.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamutpos.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamutpos.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamutpos.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
mamutpos (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Proof of Theorem mamutpos
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
21tposmpo 8194 . . 3 tpos (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
3 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝜑)
4 mamutpos.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
6 mamutpos.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7 elmapi 8787 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
83, 6, 73syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
9 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑀)
10 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
118, 9, 10fovcdmd 7526 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
12 mamutpos.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
13 elmapi 8787 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
143, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
15 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑃)
1614, 10, 15fovcdmd 7526 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵)
17 mamutpos.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
18 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1917, 18crngcom 19982 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
205, 11, 16, 19syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
21 ovtpos 8172 . . . . . . . 8 (𝑖tpos 𝑌𝑘) = (𝑘𝑌𝑖)
22 ovtpos 8172 . . . . . . . 8 (𝑘tpos 𝑋𝑗) = (𝑗𝑋𝑘)
2321, 22oveq12i 7369 . . . . . . 7 ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r𝑅)(𝑗𝑋𝑘))
2420, 23eqtr4di 2794 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))
2524mpteq2dva 5205 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))
2625oveq2d 7373 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))))
2726mpoeq3dva 7434 . . 3 (𝜑 → (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
282, 27eqtrid 2788 . 2 (𝜑 → tpos (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
29 mamutpos.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
30 mamutpos.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
31 mamutpos.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
32 mamutpos.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
3329, 17, 18, 4, 30, 31, 32, 6, 12mamuval 21735 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
3433tposeqd 8160 . 2 (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = tpos (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
35 mamutpos.g . . 3 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
36 tposmap 21806 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)) → tpos 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑃 × 𝑁)))
3712, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → tpos 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑃 × 𝑁)))
38 tposmap 21806 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → tpos 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
396, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → tpos 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
4035, 17, 18, 4, 32, 31, 30, 37, 39mamuval 21735 . 2 (𝜑 → (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋) = (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
4128, 34, 403eqtr4d 2786 1 (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cotp 4594  cmpt 5188   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  tpos ctpos 8156  m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  .rcmulr 17134   Σg cgsu 17322  CRingccrg 19965   maMul cmmul 21732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-cring 19967  df-mamu 21733
This theorem is referenced by:  mattposm  21808
  Copyright terms: Public domain W3C validator