Theorem mamutpos 22773

Description: Behavior of transposes in matrix products, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamutpos.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamutpos.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
mamutpos.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamutpos.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mamutpos.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamutpos.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamutpos.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamutpos.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamutpos.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamutpos	⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Proof of Theorem mamutpos

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
2	1	tposmpo 8280	. . 3 ⊢ tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
3		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝜑)
4		mamutpos.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
6		mamutpos.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
7		elmapi 8869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
9		simpl3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑀)
10		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
11	8, 9, 10	fovcdmd 7593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
12		mamutpos.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
13		elmapi 8869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
14	3, 12, 13	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
15		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑃)
16	14, 10, 15	fovcdmd 7593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵)
17		mamutpos.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	17, 18	crngcom 20478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
20	5, 11, 16, 19	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
21		ovtpos 8258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖tpos 𝑌𝑘) = (𝑘𝑌𝑖)
22		ovtpos 8258	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘tpos 𝑋𝑗) = (𝑗𝑋𝑘)
23	21, 22	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘))
24	20, 23	eqtr4di 2813	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))
25	24	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))
26	25	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))))
27	26	mpoeq3dva 7497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
28	2, 27	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
29		mamutpos.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
30		mamutpos.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
31		mamutpos.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
32		mamutpos.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
33	29, 17, 18, 4, 30, 31, 32, 6, 12	mamuval 22708	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
34	33	tposeqd 8246	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
35		mamutpos.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
36		tposmap 22772	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑃 × 𝑁)))
37	12, 36	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑃 × 𝑁)))
38		tposmap 22772	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
39	6, 38	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
40	35, 17, 18, 4, 32, 31, 30, 37, 39	mamuval 22708	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
41	28, 34, 40	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cotp 4591   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  tpos ctpos 8242   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429   Σ_g cgsu 17611  CRingccrg 20460   maMul cmmul 22705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-cmn 19996  df-mgp 20361  df-cring 20462  df-mamu 22706

This theorem is used by:  mattposm  22774