Theorem mamutpos 22378

Description: Behavior of transposes in matrix products, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamutpos.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamutpos.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
mamutpos.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamutpos.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mamutpos.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamutpos.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamutpos.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamutpos.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamutpos.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamutpos	⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Proof of Theorem mamutpos

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
2	1	tposmpo 8219	. . 3 ⊢ tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
3		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝜑)
4		mamutpos.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
6		mamutpos.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
7		elmapi 8799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
9		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑀)
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
11	8, 9, 10	fovcdmd 7541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
12		mamutpos.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
13		elmapi 8799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
14	3, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
15		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑃)
16	14, 10, 15	fovcdmd 7541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵)
17		mamutpos.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	17, 18	crngcom 20171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
20	5, 11, 16, 19	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
21		ovtpos 8197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖tpos 𝑌𝑘) = (𝑘𝑌𝑖)
22		ovtpos 8197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘tpos 𝑋𝑗) = (𝑗𝑋𝑘)
23	21, 22	oveq12i 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘))
24	20, 23	eqtr4di 2782	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))
25	24	mpteq2dva 5195	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))
26	25	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))))
27	26	mpoeq3dva 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
28	2, 27	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
29		mamutpos.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
30		mamutpos.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
31		mamutpos.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
32		mamutpos.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
33	29, 17, 18, 4, 30, 31, 32, 6, 12	mamuval 22313	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
34	33	tposeqd 8185	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
35		mamutpos.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
36		tposmap 22377	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑃 × 𝑁)))
37	12, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑃 × 𝑁)))
38		tposmap 22377	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
39	6, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
40	35, 17, 18, 4, 32, 31, 30, 37, 39	mamuval 22313	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
41	28, 34, 40	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cotp 4593   ↦ cmpt 5183   × cxp 5629  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  tpos ctpos 8181   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197   Σ_g cgsu 17379  CRingccrg 20154   maMul cmmul 22310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-cmn 19696  df-mgp 20061  df-cring 20156  df-mamu 22311

This theorem is referenced by:  mattposm  22379