MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamutpos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamutpos 21059
Description: Behavior of transposes in matrix products, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mamutpos.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamutpos.g 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
mamutpos.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamutpos.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
mamutpos.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamutpos.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamutpos.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamutpos.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamutpos.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
mamutpos (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Proof of Theorem mamutpos
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . . 4 (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
21tposmpo 7921 . . 3 tpos (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
3 simpl1 1185 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝜑)
4 mamutpos.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
6 mamutpos.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
7 elmapi 8420 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
83, 6, 73syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
9 simpl3 1187 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑀)
10 simpr 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
118, 9, 10fovrnd 7312 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
12 mamutpos.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
13 elmapi 8420 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
143, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
15 simpl2 1186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑃)
1614, 10, 15fovrnd 7312 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵)
17 mamutpos.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
18 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1917, 18crngcom 19304 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
205, 11, 16, 19syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
21 ovtpos 7899 . . . . . . . 8 (𝑖tpos 𝑌𝑘) = (𝑘𝑌𝑖)
22 ovtpos 7899 . . . . . . . 8 (𝑘tpos 𝑋𝑗) = (𝑗𝑋𝑘)
2321, 22oveq12i 7160 . . . . . . 7 ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r𝑅)(𝑗𝑋𝑘))
2420, 23syl6eqr 2872 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))
2524mpteq2dva 5152 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))
2625oveq2d 7164 . . . 4 ((𝜑𝑖𝑃𝑗𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))))
2726mpoeq3dva 7223 . . 3 (𝜑 → (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
282, 27syl5eq 2866 . 2 (𝜑 → tpos (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
29 mamutpos.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
30 mamutpos.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
31 mamutpos.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
32 mamutpos.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
3329, 17, 18, 4, 30, 31, 32, 6, 12mamuval 20989 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
3433tposeqd 7887 . 2 (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = tpos (𝑗𝑀, 𝑖𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
35 mamutpos.g . . 3 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
36 tposmap 21058 . . . 4 (𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)) → tpos 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑃 × 𝑁)))
3712, 36syl 17 . . 3 (𝜑 → tpos 𝑌 ∈ (𝐵m (𝑃 × 𝑁)))
38 tposmap 21058 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → tpos 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
396, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → tpos 𝑋 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑀)))
4035, 17, 18, 4, 32, 31, 30, 37, 39mamuval 20989 . 2 (𝜑 → (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋) = (𝑖𝑃, 𝑗𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
4128, 34, 403eqtr4d 2864 1 (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cotp 4567  cmpt 5137   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  cmpo 7150  tpos ctpos 7883  m cmap 8398  Fincfn 8501  Basecbs 16475  .rcmulr 16558   Σg cgsu 16706  CRingccrg 19290   maMul cmmul 20986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-ot 4568  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-cring 19292  df-mamu 20987
This theorem is referenced by:  mattposm  21060
  Copyright terms: Public domain W3C validator