Theorem mamutpos 22485

Description: Behavior of transposes in matrix products, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamutpos.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamutpos.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
mamutpos.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamutpos.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mamutpos.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamutpos.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamutpos.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamutpos.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamutpos.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamutpos	⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Proof of Theorem mamutpos

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
2	1	tposmpo 8304	. . 3 ⊢ tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
3		simpl1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝜑)
4		mamutpos.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
6		mamutpos.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
7		elmapi 8907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
9		simpl3 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑀)
10		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
11	8, 9, 10	fovcdmd 7622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
12		mamutpos.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
13		elmapi 8907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
14	3, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
15		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑃)
16	14, 10, 15	fovcdmd 7622	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵)
17		mamutpos.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	17, 18	crngcom 20278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
20	5, 11, 16, 19	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
21		ovtpos 8282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖tpos 𝑌𝑘) = (𝑘𝑌𝑖)
22		ovtpos 8282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘tpos 𝑋𝑗) = (𝑗𝑋𝑘)
23	21, 22	oveq12i 7460	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘))
24	20, 23	eqtr4di 2798	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))
25	24	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))
26	25	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))))
27	26	mpoeq3dva 7527	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
28	2, 27	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
29		mamutpos.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
30		mamutpos.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
31		mamutpos.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
32		mamutpos.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
33	29, 17, 18, 4, 30, 31, 32, 6, 12	mamuval 22418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
34	33	tposeqd 8270	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
35		mamutpos.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
36		tposmap 22484	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)) → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑃 × 𝑁)))
37	12, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑃 × 𝑁)))
38		tposmap 22484	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
39	6, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑀)))
40	35, 17, 18, 4, 32, 31, 30, 37, 39	mamuval 22418	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
41	28, 34, 40	3eqtr4d 2790	1 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ⟨cotp 4656   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  tpos ctpos 8266   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17500  CRingccrg 20261   maMul cmmul 22415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-cmn 19824  df-mgp 20162  df-cring 20263  df-mamu 22416

This theorem is referenced by:  mattposm  22486