Theorem mamutpos 20589

Description: Behavior of transposes in matrix products, see also the statement in [Lang] p. 505. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamutpos.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamutpos.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
mamutpos.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamutpos.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
mamutpos.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamutpos.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamutpos.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamutpos.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mamutpos.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamutpos	⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Proof of Theorem mamutpos

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2800	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
2	1	tposmpt2 7628	. . 3 ⊢ tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))))
3		simpl1 1243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝜑)
4		mamutpos.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
6		mamutpos.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
7		elmapi 8118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
9		simpl3 1247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑀)
10		simpr 478	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
11	8, 9, 10	fovrnd 7041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵)
12		mamutpos.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)))
13		elmapi 8118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
14	3, 12, 13	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑌:(𝑁 × 𝑃)⟶𝐵)
15		simpl2 1245	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑃)
16	14, 10, 15	fovrnd 7041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵)
17		mamutpos.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
18		eqid 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	17, 18	crngcom 18877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑗𝑋𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝑘𝑌𝑖) ∈ 𝐵) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
20	5, 11, 16, 19	syl3anc 1491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘)))
21		ovtpos 7606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖tpos 𝑌𝑘) = (𝑘𝑌𝑖)
22		ovtpos 7606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘tpos 𝑋𝑗) = (𝑗𝑋𝑘)
23	21, 22	oveq12i 6891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)) = ((𝑘𝑌𝑖)(.r‘𝑅)(𝑗𝑋𝑘))
24	20, 23	syl6eqr 2852	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)) = ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))
25	24	mpteq2dva 4938	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))
26	25	oveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑃 ∧ 𝑗 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗)))))
27	26	mpt2eq3dva 6954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
28	2, 27	syl5eq 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
29		mamutpos.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
30		mamutpos.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
31		mamutpos.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
32		mamutpos.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
33	29, 17, 18, 4, 30, 31, 32, 6, 12	mamuval 20516	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
34	33	tposeqd 7594	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = tpos (𝑗 ∈ 𝑀, 𝑖 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑗𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑖))))))
35		mamutpos.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝑃, 𝑁, 𝑀⟩)
36		tposmap 20588	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑃)) → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑃 × 𝑁)))
37	12, 36	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑃 × 𝑁)))
38		tposmap 20588	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)) → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
39	6, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝑋 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × 𝑀)))
40	35, 17, 18, 4, 32, 31, 30, 37, 39	mamuval 20516	. 2 ⊢ (𝜑 → (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋) = (𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑀 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖tpos 𝑌𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘tpos 𝑋𝑗))))))
41	28, 34, 40	3eqtr4d 2844	1 ⊢ (𝜑 → tpos (𝑋𝐹𝑌) = (tpos 𝑌𝐺tpos 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ⟨cotp 4377   ↦ cmpt 4923   × cxp 5311  ⟶wf 6098  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879   ↦ cmpt2 6881  tpos ctpos 7590   ↑_𝑚 cmap 8096  Fincfn 8196  Basecbs 16183  ._rcmulr 16267   Σ_g cgsu 16415  CRingccrg 18863   maMul cmmul 20513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-ot 4378  df-uni 4630  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-tpos 7591  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-er 7983  df-map 8098  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-plusg 16279  df-cmn 18509  df-mgp 18805  df-cring 18865  df-mamu 20514

This theorem is referenced by:  mattposm  20590