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Theorem txindislem 23007
Description: Lemma for txindis 23008. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
txindislem (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem txindislem
StepHypRef Expression
1 0xp 5734 . . 3 (∅ × ( I ‘𝐵)) = ∅
2 fvprc 6838 . . . 4 𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = ∅)
32xpeq1d 5666 . . 3 𝐴 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (∅ × ( I ‘𝐵)))
4 simpr 486 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
54xpeq2d 5667 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
6 xp0 6114 . . . . . . 7 (𝐴 × ∅) = ∅
75, 6eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
87fveq2d 6850 . . . . 5 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ( I ‘∅))
9 0ex 5268 . . . . . 6 ∅ ∈ V
10 fvi 6921 . . . . . 6 (∅ ∈ V → ( I ‘∅) = ∅)
119, 10ax-mp 5 . . . . 5 ( I ‘∅) = ∅
128, 11eqtrdi 2789 . . . 4 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
13 dmexg 7844 . . . . . . . 8 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
14 dmxp 5888 . . . . . . . . 9 (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
1514eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝐵 ≠ ∅ → (dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
1613, 15imbitrid 243 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
1716con3d 152 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
1817impcom 409 . . . . 5 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19 fvprc 6838 . . . . 5 (¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
2112, 20pm2.61dane 3029 . . 3 𝐴 ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
221, 3, 213eqtr4a 2799 . 2 𝐴 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
23 xp0 6114 . . 3 (( I ‘𝐴) × ∅) = ∅
24 fvprc 6838 . . . 4 𝐵 ∈ V → ( I ‘𝐵) = ∅)
2524xpeq2d 5667 . . 3 𝐵 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (( I ‘𝐴) × ∅))
26 simpr 486 . . . . . . . 8 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
2726xpeq1d 5666 . . . . . . 7 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
28 0xp 5734 . . . . . . 7 (∅ × 𝐵) = ∅
2927, 28eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
3029fveq2d 6850 . . . . 5 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ( I ‘∅))
3130, 11eqtrdi 2789 . . . 4 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
32 rnexg 7845 . . . . . . . 8 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
33 rnxp 6126 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
3433eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (𝐴 ≠ ∅ → (ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
3532, 34imbitrid 243 . . . . . . 7 (𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
3635con3d 152 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
3736impcom 409 . . . . 5 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
3837, 19syl 17 . . . 4 ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
3931, 38pm2.61dane 3029 . . 3 𝐵 ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
4023, 25, 393eqtr4a 2799 . 2 𝐵 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
41 fvi 6921 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = 𝐴)
42 fvi 6921 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ( I ‘𝐵) = 𝐵)
43 xpeq12 5662 . . . 4 ((( I ‘𝐴) = 𝐴 ∧ ( I ‘𝐵) = 𝐵) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
4441, 42, 43syl2an 597 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
45 xpexg 7688 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
46 fvi 6921 . . . 4 ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
4844, 47eqtr4d 2776 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
4922, 40, 48ecase 1032 1 (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  Vcvv 3447  c0 4286   I cid 5534   × cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638  cfv 6500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fv 6508
This theorem is referenced by:  txindis  23008
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