Theorem txindislem 23657

Description: Lemma for txindis 23658. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txindislem	⊢ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem txindislem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5787	. . 3 ⊢ (∅ × ( I ‘𝐵)) = ∅
2		fvprc 6899	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = ∅)
3	2	xpeq1d 5718	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (∅ × ( I ‘𝐵)))
4		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
5	4	xpeq2d 5719	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
6		xp0 6180	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
8	7	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ( I ‘∅))
9		0ex 5313	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
10		fvi 6985	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → ( I ‘∅) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ‘∅) = ∅
12	8, 11	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
13		dmexg 7924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
14		dmxp 5942	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
15	14	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
16	13, 15	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
17	16	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
18	17	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		fvprc 6899	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
21	12, 20	pm2.61dane 3027	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
22	1, 3, 21	3eqtr4a 2801	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
23		xp0 6180	. . 3 ⊢ (( I ‘𝐴) × ∅) = ∅
24		fvprc 6899	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ( I ‘𝐵) = ∅)
25	24	xpeq2d 5719	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (( I ‘𝐴) × ∅))
26		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
27	26	xpeq1d 5718	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
28		0xp 5787	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
29	27, 28	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
30	29	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ( I ‘∅))
31	30, 11	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
32		rnexg 7925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
33		rnxp 6192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
34	33	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
35	32, 34	imbitrid 244	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
36	35	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
37	36	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
38	37, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
39	31, 38	pm2.61dane 3027	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
40	23, 25, 39	3eqtr4a 2801	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
41		fvi 6985	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = 𝐴)
42		fvi 6985	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( I ‘𝐵) = 𝐵)
43		xpeq12 5714	. . . 4 ⊢ ((( I ‘𝐴) = 𝐴 ∧ ( I ‘𝐵) = 𝐵) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
44	41, 42, 43	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
45		xpexg 7769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
46		fvi 6985	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
47	45, 46	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
48	44, 47	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
49	22, 40, 48	ecase 1033	1 ⊢ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  ∅c0 4339   I cid 5582   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  ‘cfv 6563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571

This theorem is referenced by:  txindis  23658