Theorem txindislem 23952

Description: Lemma for txindis 23953. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txindislem	⊢ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))

Proof of Theorem txindislem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5749	. . 3 ⊢ (∅ × ( I ‘𝐵)) = ∅
2		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = ∅)
3	2	xpeq1d 5679	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (∅ × ( I ‘𝐵)))
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
5	4	xpeq2d 5680	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (𝐴 × ∅))
6		xp0 5750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 × ∅) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
8	7	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ( I ‘∅))
9		0ex 5260	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
10		fvi 6961	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ V → ( I ‘∅) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ‘∅) = ∅
12	8, 11	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
13		dmexg 7913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
14		dmxp 5910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐵) = 𝐴)
15	14	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (dom (𝐴 × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐴 ∈ V))
16	13, 15	imbitrid 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐴 ∈ V))
17	16	con3d 153	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
18	17	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
19		fvprc 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
21	12, 20	pm2.61dane 3042	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
22	1, 3, 21	3eqtr4a 2821	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
23		xp0 5750	. . 3 ⊢ (( I ‘𝐴) × ∅) = ∅
24		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ( I ‘𝐵) = ∅)
25	24	xpeq2d 5680	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (( I ‘𝐴) × ∅))
26		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → 𝐴 = ∅)
27	26	xpeq1d 5679	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = (∅ × 𝐵))
28		0xp 5749	. . . . . . 7 ⊢ (∅ × 𝐵) = ∅
29	27, 28	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → (𝐴 × 𝐵) = ∅)
30	29	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ( I ‘∅))
31	30, 11	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 = ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
32		rnexg 7914	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
33		rnxp 6161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ran (𝐴 × 𝐵) = 𝐵)
34	33	eleq1d 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (ran (𝐴 × 𝐵) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
35	32, 34	imbitrid 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → 𝐵 ∈ V))
36	35	con3d 153	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (¬ 𝐵 ∈ V → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V))
37	36	impcom 413	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ¬ (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
38	37, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
39	31, 38	pm2.61dane 3042	. . 3 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = ∅)
40	23, 25, 39	3eqtr4a 2821	. 2 ⊢ (¬ 𝐵 ∈ V → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
41		fvi 6961	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ( I ‘𝐴) = 𝐴)
42		fvi 6961	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ( I ‘𝐵) = 𝐵)
43		xpeq12 5675	. . . 4 ⊢ ((( I ‘𝐴) = 𝐴 ∧ ( I ‘𝐵) = 𝐵) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
44	41, 42, 43	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
45		xpexg 7764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
46		fvi 6961	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × 𝐵) ∈ V → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
47	45, 46	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ( I ‘(𝐴 × 𝐵)) = (𝐴 × 𝐵))
48	44, 47	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵)))
49	22, 40, 48	ecase 1049	1 ⊢ (( I ‘𝐴) × ( I ‘𝐵)) = ( I ‘(𝐴 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ∅c0 4278   I cid 5544   × cxp 5648  dom cdm 5650  ran crn 5651  ‘cfv 6538

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546

This theorem is used by:  txindis  23953