Theorem uprcl2a 49705

Description: Reverse closure for the class of universal property. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
uprcl2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uprcl2a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Proof of Theorem uprcl2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uprcl2a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
2		df-br 5075	. . . 4 ⊢ (𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
3	1, 2	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
4		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	4	uprcl 49686	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊) → (𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑃)))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑃)))
7	6	simpld 496	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ⟨cop 4563   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174   Func cfunc 17816   UP cup 49675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-func 17820  df-up 49676

This theorem is referenced by:  oppfuprcl  49706  uptrai  49719