Theorem uprcl2a 50116

Description: Reverse closure for the class of universal property. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
uprcl2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uprcl2a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Proof of Theorem uprcl2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uprcl2a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
2		df-br 5108	. . . 4 ⊢ (𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	4	uprcl 50097	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊) → (𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑃)))
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑃)))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305   Func cfunc 17947   UP cup 50086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-func 17951  df-up 50087

This theorem is used by:  oppfuprcl  50117  uptrai  50130