Theorem uprcl2a 50353

Description: Reverse closure for the class of universal property. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
uprcl2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uprcl2a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Proof of Theorem uprcl2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uprcl2a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
2		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
3	1, 2	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	4	uprcl 50334	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊) → (𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑃)))
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑃)))
7	6	simpld 500	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   Func cfunc 18029   UP cup 50323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-func 18033  df-up 50324

This theorem is used by:  oppfuprcl  50354  uptrai  50367