Theorem uprcl2a 49303

Description: Reverse closure for the class of universal property. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
uprcl2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Assertion

Ref	Expression
uprcl2a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Proof of Theorem uprcl2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uprcl2a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
2		df-br 5090	. . . 4 ⊢ (𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀 ↔ ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
3	1, 2	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
5	4	uprcl 49284	. . 3 ⊢ (⟨𝑋, 𝑀⟩ ∈ (𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊) → (𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑃)))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝑃)))
7	6	simpld 494	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120   Func cfunc 17761   UP cup 49273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-func 17765  df-up 49274

This theorem is referenced by:  oppfuprcl  49304  uptrai  49317