Theorem oppfuprcl 49708

Description: Reverse closure for the class of universal property for opposite functors. (Contributed by Zhi Wang, 14-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
uprcl2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
oppfuprcl.g	⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
oppfuprcl.o	⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐷)
oppfuprcl.p	⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐸)
oppfuprcl.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
oppfuprcl.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
oppfuprcl	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

Proof of Theorem oppfuprcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppfuprcl.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (oppCat‘𝐷)
2		oppfuprcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (oppCat‘𝐸)
3		oppfuprcl.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑈)
4		oppfuprcl.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
5		oppfuprcl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( oppFunc ‘𝐹)
6		uprcl2a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐺(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
7	6	uprcl2a 49707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑂 Func 𝑃))
8	5, 7	eqeltrrid 2846	. 2 ⊢ (𝜑 → ( oppFunc ‘𝐹) ∈ (𝑂 Func 𝑃))
9	1, 2, 3, 4, 8	funcoppc5 49649	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  oppCatcoppc 17672   Func cfunc 17816   oppFunc coppf 49626   UP cup 49677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-hom 17239  df-cco 17240  df-cat 17629  df-cid 17630  df-homf 17631  df-comf 17632  df-oppc 17673  df-func 17820  df-oppf 49627  df-up 49678

This theorem is referenced by:  oppfuprcl2  49709