Theorem uptpos 49819

Description: Rewrite the predicate of universal property in the form of opposite functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcuprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
uptpos.h	⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uptpos	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Proof of Theorem uptpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcuprcl2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
2		uptpos.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)
3	1, 2	uptposlem 49818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)
4	3	opeq2d 4838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, tpos 𝐻⟩ = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
5	4	oveq1d 7411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊) = (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
6	5	breqd 5111	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀 ↔ 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀))
7	1, 6	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  tpos ctpos 8205   UP cup 49794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-map 8810  df-ixp 8880  df-func 17891  df-up 49795

This theorem is referenced by:  oppcup3  49830