Theorem uptpos 49688

Description: Rewrite the predicate of universal property in the form of opposite functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcuprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
uptpos.h	⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uptpos	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Proof of Theorem uptpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcuprcl2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
2		uptpos.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)
3	1, 2	uptposlem 49687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)
4	3	opeq2d 4824	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, tpos 𝐻⟩ = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
5	4	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊) = (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
6	5	breqd 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀 ↔ 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀))
7	1, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  tpos ctpos 8169   UP cup 49663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-map 8769  df-ixp 8840  df-func 17819  df-up 49664

This theorem is referenced by:  oppcup3  49699