Theorem uptpos 50035

Description: Rewrite the predicate of universal property in the form of opposite functor. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcuprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
uptpos.h	⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uptpos	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

Proof of Theorem uptpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppcuprcl2.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
2		uptpos.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)
3	1, 2	uptposlem 50034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)
4	3	opeq2d 4847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, tpos 𝐻⟩ = ⟨𝐹, 𝐺⟩)
5	4	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊) = (⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊))
6	5	breqd 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀 ↔ 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀))
7	1, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, tpos 𝐻⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  tpos ctpos 8227   UP cup 50010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-map 8832  df-ixp 8902  df-func 17939  df-up 50011

This theorem is used by:  oppcup3  50046