Theorem uptposlem 50518

Description: Lemma for uptpos 50519. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcuprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
uptpos.h	⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uptposlem	⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

Proof of Theorem uptposlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uptpos.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)
2	1	tposeqd 8274	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = tpos 𝐻)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
4		oppcuprcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
5	4	uprcl2 50510	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
6	3, 5	funcfn2 18073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
7		fnrel 6663	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) → Rel 𝐺)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐺)
9		relxp 5673	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))
10	6	fndmd 6666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
11	10	releqd 5760	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
12	9, 11	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel dom 𝐺)
13		tpostpos2 8292	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
14	8, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
15	2, 14	eqtr3d 2800	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   × cxp 5653  dom cdm 5655  Rel wrel 5660   Fn wfn 6553  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  tpos ctpos 8270  Basecbs 17416   UP cup 50494

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-map 8877  df-ixp 8954  df-func 18062  df-up 50495

This theorem is used by:  uptpos  50519