Theorem uptposlem 50003

Description: Lemma for uptpos 50004. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcuprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
uptpos.h	⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uptposlem	⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

Proof of Theorem uptposlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uptpos.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)
2	1	tposeqd 8223	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = tpos 𝐻)
3		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
4		oppcuprcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
5	4	uprcl2 49995	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
6	3, 5	funcfn2 17932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
7		fnrel 6637	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) → Rel 𝐺)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐺)
9		relxp 5678	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))
10	6	fndmd 6640	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
11	10	releqd 5764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
12	9, 11	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel dom 𝐺)
13		tpostpos2 8241	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
14	8, 12, 13	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
15	2, 14	eqtr3d 2799	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108   × cxp 5658  dom cdm 5660  Rel wrel 5665   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  tpos ctpos 8219  Basecbs 17275   UP cup 49979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-map 8824  df-ixp 8894  df-func 17921  df-up 49980

This theorem is used by:  uptpos  50004