Theorem uptposlem 49585

Description: Lemma for uptpos 49586. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcuprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
uptpos.h	⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uptposlem	⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

Proof of Theorem uptposlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uptpos.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)
2	1	tposeqd 8183	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = tpos 𝐻)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
4		oppcuprcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
5	4	uprcl2 49577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
6	3, 5	funcfn2 17807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
7		fnrel 6604	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) → Rel 𝐺)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐺)
9		relxp 5652	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))
10	6	fndmd 6607	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
11	10	releqd 5738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
12	9, 11	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel dom 𝐺)
13		tpostpos2 8201	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
14	8, 12, 13	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
15	2, 14	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   × cxp 5632  dom cdm 5634  Rel wrel 5639   Fn wfn 6497  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  tpos ctpos 8179  Basecbs 17150   UP cup 49561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-map 8779  df-ixp 8850  df-func 17796  df-up 49562

This theorem is referenced by:  uptpos  49586