Theorem uptposlem 50227

Description: Lemma for uptpos 50228. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcuprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
uptpos.h	⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uptposlem	⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

Proof of Theorem uptposlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uptpos.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)
2	1	tposeqd 8224	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = tpos 𝐻)
3		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
4		oppcuprcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
5	4	uprcl2 50219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
6	3, 5	funcfn2 18006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
7		fnrel 6629	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) → Rel 𝐺)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐺)
9		relxp 5665	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))
10	6	fndmd 6632	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
11	10	releqd 5751	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
12	9, 11	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel dom 𝐺)
13		tpostpos2 8242	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
14	8, 12, 13	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
15	2, 14	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102   × cxp 5645  dom cdm 5647  Rel wrel 5652   Fn wfn 6522  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  tpos ctpos 8220  Basecbs 17349   UP cup 50203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-map 8827  df-ixp 8904  df-func 17995  df-up 50204

This theorem is used by:  uptpos  50228