Theorem uptposlem 49308

Description: Lemma for uptpos 49309. (Contributed by Zhi Wang, 4-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppcuprcl2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
uptpos.h	⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
uptposlem	⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

Proof of Theorem uptposlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uptpos.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐺 = 𝐻)
2	1	tposeqd 8159	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = tpos 𝐻)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
4		oppcuprcl2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋(⟨𝐹, 𝐺⟩(𝑂 UP 𝑃)𝑊)𝑀)
5	4	uprcl2 49300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑂 Func 𝑃)𝐺)
6	3, 5	funcfn2 17776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
7		fnrel 6583	. . . 4 ⊢ (𝐺 Fn ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)) → Rel 𝐺)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐺)
9		relxp 5632	. . . 4 ⊢ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))
10	6	fndmd 6586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 = ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂)))
11	10	releqd 5718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rel dom 𝐺 ↔ Rel ((Base‘𝑂) × (Base‘𝑂))))
12	9, 11	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel dom 𝐺)
13		tpostpos2 8177	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐺 ∧ Rel dom 𝐺) → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
14	8, 12, 13	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → tpos tpos 𝐺 = 𝐺)
15	2, 14	eqtr3d 2768	1 ⊢ (𝜑 → tpos 𝐻 = 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ⟨cop 4579   class class class wbr 5089   × cxp 5612  dom cdm 5614  Rel wrel 5619   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  tpos ctpos 8155  Basecbs 17120   UP cup 49284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-map 8752  df-ixp 8822  df-func 17765  df-up 49285

This theorem is referenced by:  uptpos  49309