MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustinvel Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ustinvel 24134
Description: If 𝑉 is an entourage, so is its inverse. Condition UII of [BourbakiTop1] p. II.1. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ustinvel ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem ustinvel
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6940 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ V)
2 isust 24128 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ V β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
31, 2syl 17 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
43ibi 266 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
54simp3d 1141 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
6 sseq1 4007 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 βŠ† 𝑀 ↔ 𝑉 βŠ† 𝑀))
76imbi1d 340 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ (𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
87ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ)))
9 ineq1 4207 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ (𝑣 ∩ 𝑀) = (𝑉 ∩ 𝑀))
109eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ↔ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ))
1110ralbidv 3175 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ))
12 sseq2 4008 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ↔ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉))
13 cnveq 5880 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ ◑𝑣 = ◑𝑉)
1413eleq1d 2814 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ (◑𝑣 ∈ π‘ˆ ↔ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ))
15 sseq2 4008 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 ↔ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))
1615rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣 ↔ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))
1712, 14, 163anbi123d 1432 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣) ↔ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉)))
188, 11, 173anbi123d 1432 . . . . 5 (𝑣 = 𝑉 β†’ ((βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))))
1918rspcv 3607 . . . 4 (𝑉 ∈ π‘ˆ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ π‘ˆ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))))
205, 19mpan9 505 . . 3 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑉 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ π‘ˆ) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘ˆ (𝑉 ∩ 𝑀) ∈ π‘ˆ ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉)))
2120simp3d 1141 . 2 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑉 ∧ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ ∧ βˆƒπ‘€ ∈ π‘ˆ (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑉))
2221simp2d 1140 1 ((π‘ˆ ∈ (UnifOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑉 ∈ π‘ˆ) β†’ ◑𝑉 ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606   I cid 5579   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  UnifOncust 24124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-res 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ust 24125
This theorem is referenced by:  ustexsym  24140  trust  24154
  Copyright terms: Public domain W3C validator