MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ustval 23698
Description: The class of all uniform structures for a base 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ustval (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (UnifOnβ€˜π‘‹) = {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
Distinct variable group:   𝑣,𝑒,𝑀,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑀,𝑣,𝑒)
Proof of Theorem ustval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ust 23696 . 2 UnifOn = (π‘₯ ∈ V ↦ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ (π‘₯ Γ— π‘₯) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
2 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ π‘₯ = 𝑋)
32sqxpeqd 5707 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ Γ— π‘₯) = (𝑋 Γ— 𝑋))
43pweqd 4618 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) = 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
54sseq2d 4013 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑒 βŠ† 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) ↔ 𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
63eleq1d 2818 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ Γ— π‘₯) ∈ 𝑒 ↔ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒))
74raleqdv 3325 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)))
8 reseq2 5974 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ( I β†Ύ π‘₯) = ( I β†Ύ 𝑋))
98sseq1d 4012 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ↔ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣))
1093anbi1d 1440 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣) ↔ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
117, 103anbi13d 1438 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
1211ralbidv 3177 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
135, 6, 123anbi123d 1436 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑒 βŠ† 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ (π‘₯ Γ— π‘₯) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))) ↔ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
1413abbidv 2801 . 2 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ (π‘₯ Γ— π‘₯) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} = {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
15 elex 3492 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ V)
16 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))) β†’ 𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1716ss2abi 4062 . . . 4 {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} βŠ† {𝑒 ∣ 𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)}
18 df-pw 4603 . . . 4 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) = {𝑒 ∣ 𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)}
1917, 18sseqtrri 4018 . . 3 {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} βŠ† 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)
20 sqxpexg 7738 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
21 pwexg 5375 . . . 4 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V β†’ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
22 pwexg 5375 . . . 4 (𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V β†’ 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
2320, 21, 223syl 18 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
24 ssexg 5322 . . 3 (({𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} βŠ† 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V) β†’ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} ∈ V)
2519, 23, 24sylancr 587 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} ∈ V)
261, 14, 15, 25fvmptd3 7018 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (UnifOnβ€˜π‘‹) = {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   I cid 5572   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  UnifOncust 23695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-res 5687  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ust 23696
This theorem is referenced by:  isust  23699
  Copyright terms: Public domain W3C validator