MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ustval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ustval 23570
Description: The class of all uniform structures for a base 𝑋. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Nov-2017.) (Revised by AV, 17-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ustval (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (UnifOnβ€˜π‘‹) = {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
Distinct variable group:   𝑣,𝑒,𝑀,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑀,𝑣,𝑒)

Proof of Theorem ustval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ust 23568 . 2 UnifOn = (π‘₯ ∈ V ↦ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ (π‘₯ Γ— π‘₯) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
2 id 22 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ π‘₯ = 𝑋)
32sqxpeqd 5666 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ Γ— π‘₯) = (𝑋 Γ— 𝑋))
43pweqd 4578 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) = 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
54sseq2d 3977 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑒 βŠ† 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) ↔ 𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)))
63eleq1d 2819 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ Γ— π‘₯) ∈ 𝑒 ↔ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒))
74raleqdv 3312 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ↔ βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)))
8 reseq2 5933 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ( I β†Ύ π‘₯) = ( I β†Ύ 𝑋))
98sseq1d 3976 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ↔ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣))
1093anbi1d 1441 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣) ↔ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))
117, 103anbi13d 1439 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
1211ralbidv 3171 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)) ↔ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))))
135, 6, 123anbi123d 1437 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑒 βŠ† 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ (π‘₯ Γ— π‘₯) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))) ↔ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))))
1413abbidv 2802 . 2 (π‘₯ = 𝑋 β†’ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯) ∧ (π‘₯ Γ— π‘₯) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (π‘₯ Γ— π‘₯)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ π‘₯) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} = {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
15 elex 3462 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ V)
16 simp1 1137 . . . . 5 ((𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣))) β†’ 𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋))
1716ss2abi 4024 . . . 4 {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} βŠ† {𝑒 ∣ 𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)}
18 df-pw 4563 . . . 4 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) = {𝑒 ∣ 𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)}
1917, 18sseqtrri 3982 . . 3 {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} βŠ† 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)
20 sqxpexg 7690 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
21 pwexg 5334 . . . 4 ((𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V β†’ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
22 pwexg 5334 . . . 4 (𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V β†’ 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
2320, 21, 223syl 18 . . 3 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V)
24 ssexg 5281 . . 3 (({𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} βŠ† 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ V) β†’ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} ∈ V)
2519, 23, 24sylancr 588 . 2 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))} ∈ V)
261, 14, 15, 25fvmptd3 6972 1 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (UnifOnβ€˜π‘‹) = {𝑒 ∣ (𝑒 βŠ† 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋) ∧ (𝑋 Γ— 𝑋) ∈ 𝑒 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑒 (βˆ€π‘€ ∈ 𝒫 (𝑋 Γ— 𝑋)(𝑣 βŠ† 𝑀 β†’ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑒 (𝑣 ∩ 𝑀) ∈ 𝑒 ∧ (( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝑣 ∧ ◑𝑣 ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘€ ∈ 𝑒 (𝑀 ∘ 𝑀) βŠ† 𝑣)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561   I cid 5531   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  UnifOncust 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-res 5646  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ust 23568
This theorem is referenced by:  isust  23571
  Copyright terms: Public domain W3C validator