Theorem uvcvv0 21833

Description: The unit vector is zero at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvv.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
uvcvv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
uvcvv0.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
uvcvv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvv0	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = 0 )

Proof of Theorem uvcvv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvv.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uvcvv.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvv.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
5		uvcvv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		uvcvv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	uvcvval 21829	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
10		uvcvv0.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
11		nesym 3003	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 = 𝐽)
12	10, 11	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = 𝐽)
13	12	iffalsed 4559	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ) = 0 )
14	9, 13	eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ifcif 4548  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0_gc0g 17499  1_rcur 20208   unitVec cuvc 21825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-uvc 21826

This theorem is referenced by:  uvcf1  21835  uvcresum  21836  frlmssuvc1  21837  frlmsslsp  21839  frlmup2  21842