MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcvv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcvv0 21828
Description: The unit vector is zero at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcvv.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r (𝜑𝑅𝑉)
uvcvv.i (𝜑𝐼𝑊)
uvcvv.j (𝜑𝐽𝐼)
uvcvv0.k (𝜑𝐾𝐼)
uvcvv0.jk (𝜑𝐽𝐾)
uvcvv0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
uvcvv0 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = 0 )

Proof of Theorem uvcvv0
StepHypRef Expression
1 uvcvv.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
2 uvcvv.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
3 uvcvv.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
4 uvcvv0.k . . 3 (𝜑𝐾𝐼)
5 uvcvv.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6 eqid 2735 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7 uvcvv0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
85, 6, 7uvcvval 21824 . . 3 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ))
91, 2, 3, 4, 8syl31anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ))
10 uvcvv0.jk . . . 4 (𝜑𝐽𝐾)
11 nesym 2995 . . . 4 (𝐽𝐾 ↔ ¬ 𝐾 = 𝐽)
1210, 11sylib 218 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐾 = 𝐽)
1312iffalsed 4542 . 2 (𝜑 → if(𝐾 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ) = 0 )
149, 13eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  ifcif 4531  cfv 6563  (class class class)co 7431  0gc0g 17486  1rcur 20199   unitVec cuvc 21820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-uvc 21821
This theorem is referenced by:  uvcf1  21830  uvcresum  21831  frlmssuvc1  21832  frlmsslsp  21834  frlmup2  21837
  Copyright terms: Public domain W3C validator