MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcvv0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcvv0 21344
Description: The unit vector is zero at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcvv.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r (𝜑𝑅𝑉)
uvcvv.i (𝜑𝐼𝑊)
uvcvv.j (𝜑𝐽𝐼)
uvcvv0.k (𝜑𝐾𝐼)
uvcvv0.jk (𝜑𝐽𝐾)
uvcvv0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
uvcvv0 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = 0 )

Proof of Theorem uvcvv0
StepHypRef Expression
1 uvcvv.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
2 uvcvv.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
3 uvcvv.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
4 uvcvv0.k . . 3 (𝜑𝐾𝐼)
5 uvcvv.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6 eqid 2732 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
7 uvcvv0.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
85, 6, 7uvcvval 21340 . . 3 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐾𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ))
91, 2, 3, 4, 8syl31anc 1373 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ))
10 uvcvv0.jk . . . 4 (𝜑𝐽𝐾)
11 nesym 2997 . . . 4 (𝐽𝐾 ↔ ¬ 𝐾 = 𝐽)
1210, 11sylib 217 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐾 = 𝐽)
1312iffalsed 4539 . 2 (𝜑 → if(𝐾 = 𝐽, (1r𝑅), 0 ) = 0 )
149, 13eqtrd 2772 1 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐾) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  ifcif 4528  cfv 6543  (class class class)co 7408  0gc0g 17384  1rcur 20003   unitVec cuvc 21336
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-uvc 21337
This theorem is referenced by:  uvcf1  21346  uvcresum  21347  frlmssuvc1  21348  frlmsslsp  21350  frlmup2  21353
  Copyright terms: Public domain W3C validator