Theorem uvcvv0 21921

Description: The unit vector is zero at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvv.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
uvcvv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvv0.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
uvcvv0.jk	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
uvcvv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvv0	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = 0 )

Proof of Theorem uvcvv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvv.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uvcvv.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvv.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvv0.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐼)
5		uvcvv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
6		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7		uvcvv0.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	5, 6, 7	uvcvval 21917	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐾 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
9	1, 2, 3, 4, 8	syl31anc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ))
10		uvcvv0.jk	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
11		nesym 3014	. . . 4 ⊢ (𝐽 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 = 𝐽)
12	10, 11	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 = 𝐽)
13	12	iffalsed 4499	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐾 = 𝐽, (1r‘𝑅), 0 ) = 0 )
14	9, 13	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐾) = 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4488  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0_gc0g 17493  1_rcur 20264   unitVec cuvc 21913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-uvc 21914

This theorem is referenced by:  uvcf1  21923  uvcresum  21924  frlmssuvc1  21925  frlmsslsp  21927  frlmup2  21930