Theorem uvcvv1 21723

Description: The unit vector is one at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvv.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
uvcvv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvv1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvv1	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = 1 )

Proof of Theorem uvcvv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvv.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uvcvv.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvv.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
5		uvcvv1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	uvcvval 21720	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)))
8	1, 2, 3, 3, 7	syl31anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)))
9		eqid 2728	. . 3 ⊢ 𝐽 = 𝐽
10		iftrue 4535	. . 3 ⊢ (𝐽 = 𝐽 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)) = 1 )
11	9, 10	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)) = 1 )
12	8, 11	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ifcif 4529  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0_gc0g 17421  1_rcur 20121   unitVec cuvc 21716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-uvc 21717

This theorem is referenced by:  uvcf1  21726  uvcresum  21727  frlmssuvc2  21729  frlmup2  21733  uvcn0  41772  0prjspnrel  42051