Theorem uvcvv1 21764

Description: The unit vector is one at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvv.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
uvcvv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvv1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvv1	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = 1 )

Proof of Theorem uvcvv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvv.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uvcvv.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvv.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
5		uvcvv1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	uvcvval 21761	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)))
8	1, 2, 3, 3, 7	syl31anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)))
9		eqid 2739	. . 3 ⊢ 𝐽 = 𝐽
10		iftrue 4460	. . 3 ⊢ (𝐽 = 𝐽 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)) = 1 )
11	9, 10	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)) = 1 )
12	8, 11	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4454  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  0_gc0g 17393  1_rcur 20153   unitVec cuvc 21757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-uvc 21758

This theorem is referenced by:  uvcf1  21767  uvcresum  21768  frlmssuvc2  21770  frlmup2  21774  uvcn0  43028  0prjspnrel  43077