Theorem uvcvv1 21809

Description: The unit vector is one at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvv.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
uvcvv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvv1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvv1	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = 1 )

Proof of Theorem uvcvv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvv.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uvcvv.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvv.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
5		uvcvv1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	uvcvval 21806	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)))
8	1, 2, 3, 3, 7	syl31anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)))
9		eqid 2737	. . 3 ⊢ 𝐽 = 𝐽
10		iftrue 4531	. . 3 ⊢ (𝐽 = 𝐽 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)) = 1 )
11	9, 10	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)) = 1 )
12	8, 11	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0_gc0g 17484  1_rcur 20178   unitVec cuvc 21802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-uvc 21803

This theorem is referenced by:  uvcf1  21812  uvcresum  21813  frlmssuvc2  21815  frlmup2  21819  uvcn0  42552  0prjspnrel  42637