MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcvv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcvv1 20532
Description: The unit vector is one at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcvv.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r (𝜑𝑅𝑉)
uvcvv.i (𝜑𝐼𝑊)
uvcvv.j (𝜑𝐽𝐼)
uvcvv1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
uvcvv1 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐽) = 1 )

Proof of Theorem uvcvv1
StepHypRef Expression
1 uvcvv.r . . 3 (𝜑𝑅𝑉)
2 uvcvv.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
3 uvcvv.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
4 uvcvv.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
5 uvcvv1.o . . . 4 1 = (1r𝑅)
6 eqid 2777 . . . 4 (0g𝑅) = (0g𝑅)
74, 5, 6uvcvval 20529 . . 3 (((𝑅𝑉𝐼𝑊𝐽𝐼) ∧ 𝐽𝐼) → ((𝑈𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g𝑅)))
81, 2, 3, 3, 7syl31anc 1441 . 2 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g𝑅)))
9 eqid 2777 . . 3 𝐽 = 𝐽
10 iftrue 4312 . . 3 (𝐽 = 𝐽 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g𝑅)) = 1 )
119, 10mp1i 13 . 2 (𝜑 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g𝑅)) = 1 )
128, 11eqtrd 2813 1 (𝜑 → ((𝑈𝐽)‘𝐽) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  ifcif 4306  cfv 6135  (class class class)co 6922  0gc0g 16486  1rcur 18888   unitVec cuvc 20525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-uvc 20526
This theorem is referenced by:  uvcf1  20535  uvcresum  20536  frlmssuvc2  20538  frlmup2  20542
  Copyright terms: Public domain W3C validator