Theorem uvcvv1 21343

Description: The unit vector is one at its designated coordinate. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcvv.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcvv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
uvcvv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
uvcvv.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
uvcvv1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
uvcvv1	⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = 1 )

Proof of Theorem uvcvv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcvv.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
2		uvcvv.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
3		uvcvv.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
4		uvcvv.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
5		uvcvv1.o	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
6		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	4, 5, 6	uvcvval 21340	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) ∧ 𝐽 ∈ 𝐼) → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)))
8	1, 2, 3, 3, 7	syl31anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)))
9		eqid 2732	. . 3 ⊢ 𝐽 = 𝐽
10		iftrue 4534	. . 3 ⊢ (𝐽 = 𝐽 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)) = 1 )
11	9, 10	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 = 𝐽, 1 , (0g‘𝑅)) = 1 )
12	8, 11	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐽)‘𝐽) = 1 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4528  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0_gc0g 17384  1_rcur 20003   unitVec cuvc 21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-uvc 21337

This theorem is referenced by:  uvcf1  21346  uvcresum  21347  frlmssuvc2  21349  frlmup2  21353  uvcn0  41114  0prjspnrel  41370