Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcff 20910
 Description: Domain and range of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcff ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)

Proof of Theorem uvcff
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcff.u . . 3 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 eqid 2821 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2821 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
41, 2, 3uvcfval 20903 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈 = (𝑖𝐼 ↦ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
5 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
65, 2ringidcl 19296 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
75, 3ring0cl 19297 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
86, 7ifcld 4485 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
98ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
109fmpttd 6852 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
11 fvex 6656 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
12 elmapg 8394 . . . . . 6 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
1311, 12mpan 689 . . . . 5 (𝐼𝑊 → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
1413ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
1510, 14mpbird 260 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
16 mptexg 6957 . . . . 5 (𝐼𝑊 → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V)
1716ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V)
18 funmpt 6366 . . . . 5 Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))
1918a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))))
20 fvex 6656 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (0g𝑅) ∈ V)
22 snfi 8569 . . . . 5 {𝑖} ∈ Fin
2322a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → {𝑖} ∈ Fin)
24 eldifsni 4695 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) → 𝑗𝑖)
2524adantl 485 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → 𝑗𝑖)
2625neneqd 3012 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → ¬ 𝑗 = 𝑖)
2726iffalsed 4451 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
28 simplr 768 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
2927, 28suppss2 7839 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑖})
30 suppssfifsupp 8824 . . . 4 ((((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑖} ∈ Fin ∧ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑖})) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))
3117, 19, 21, 23, 29, 30syl32anc 1375 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))
32 uvcff.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
33 uvcff.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3432, 5, 3, 33frlmelbas 20875 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))))
3534adantr 484 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))))
3615, 31, 35mpbir2and 712 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵)
374, 36fmpt3d 6853 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  Vcvv 3471   ∖ cdif 3907   ⊆ wss 3910  ifcif 4440  {csn 4540   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5119  Fun wfun 6322  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   supp csupp 7805   ↑m cmap 8381  Fincfn 8484   finSupp cfsupp 8809  Basecbs 16461  0gc0g 16691  1rcur 19229  Ringcrg 19275   freeLMod cfrlm 20865   unitVec cuvc 20901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-hom 16567  df-cco 16568  df-0g 16693  df-prds 16699  df-pws 16701  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-grp 18084  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-sra 19919  df-rgmod 19920  df-dsmm 20851  df-frlm 20866  df-uvc 20902 This theorem is referenced by:  uvcf1  20911  uvcresum  20912  frlmssuvc1  20913  frlmssuvc2  20914  frlmsslsp  20915  frlmlbs  20916  frlmup2  20918  frlmup3  20919  frlmup4  20920  lindsdom  34931  matunitlindflem2  34934  uvccl  39274  aacllem  45091
 Copyright terms: Public domain W3C validator