Theorem uvcff 21811

Description: Domain and codomain of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcff	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem uvcff

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcff.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	uvcfval 21804	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5, 2	ringidcl 20262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7	5, 3	ring0cl 20264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
8	6, 7	ifcld 4572	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	ad3antrrr 730	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	fmpttd 7135	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
11		fvex 6919	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12		elmapg 8879	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
13	11, 12	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
14	13	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
15	10, 14	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
16		mptexg 7241	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
17	16	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
18		funmpt 6604	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20		fvex 6919	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (0g‘𝑅) ∈ V)
22		snfi 9083	. . . . 5 ⊢ {𝑖} ∈ Fin
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → {𝑖} ∈ Fin)
24		eldifsni 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) → 𝑗 ≠ 𝑖)
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → 𝑗 ≠ 𝑖)
26	25	neneqd 2945	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → ¬ 𝑗 = 𝑖)
27	26	iffalsed 4536	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
29	27, 28	suppss2 8225	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑖})
30		suppssfifsupp 9420	. . . 4 ⊢ ((((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑖} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑖})) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
31	17, 19, 21, 23, 29, 30	syl32anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
32		uvcff.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
33		uvcff.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
34	32, 5, 3, 33	frlmelbas 21776	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))))
36	15, 31, 35	mpbir2and 713	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵)
37	4, 36	fmpt3d 7136	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  1_rcur 20178  Ringcrg 20230   freeLMod cfrlm 21766   unitVec cuvc 21802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803

This theorem is referenced by:  uvcf1  21812  uvcresum  21813  frlmssuvc1  21814  frlmssuvc2  21815  frlmsslsp  21816  frlmlbs  21817  frlmup2  21819  frlmup3  21820  frlmup4  21821  lindsdom  37621  matunitlindflem2  37624  uvccl  42551  aacllem  49320