Theorem uvcff 21070

Description: Domain and codomain of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcff	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem uvcff

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcff.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	uvcfval 21063	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5, 2	ringidcl 19875	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7	5, 3	ring0cl 19876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
8	6, 7	ifcld 4517	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	ad3antrrr 727	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	fmpttd 7028	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
11		fvex 6824	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12		elmapg 8676	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
13	11, 12	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
14	13	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
15	10, 14	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
16		mptexg 7136	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
17	16	ad2antlr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
18		funmpt 6508	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20		fvex 6824	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (0g‘𝑅) ∈ V)
22		snfi 8886	. . . . 5 ⊢ {𝑖} ∈ Fin
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → {𝑖} ∈ Fin)
24		eldifsni 4735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) → 𝑗 ≠ 𝑖)
25	24	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → 𝑗 ≠ 𝑖)
26	25	neneqd 2946	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → ¬ 𝑗 = 𝑖)
27	26	iffalsed 4482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
29	27, 28	suppss2 8063	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑖})
30		suppssfifsupp 9213	. . . 4 ⊢ ((((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑖} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑖})) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
31	17, 19, 21, 23, 29, 30	syl32anc 1377	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
32		uvcff.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
33		uvcff.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
34	32, 5, 3, 33	frlmelbas 21035	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))))
35	34	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))))
36	15, 31, 35	mpbir2and 710	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵)
37	4, 36	fmpt3d 7029	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  Vcvv 3441   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  ifcif 4471  {csn 4571   class class class wbr 5087   ↦ cmpt 5170  Fun wfun 6459  ⟶wf 6461  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315   supp csupp 8024   ↑_m cmap 8663  Fincfn 8781   finSupp cfsupp 9198  Basecbs 16982  0_gc0g 17220  1_rcur 19805  Ringcrg 19851   freeLMod cfrlm 21025   unitVec cuvc 21061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-sup 9271  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-fz 13313  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-hom 17056  df-cco 17057  df-0g 17222  df-prds 17228  df-pws 17230  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-grp 18649  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-sra 20506  df-rgmod 20507  df-dsmm 21011  df-frlm 21026  df-uvc 21062

This theorem is referenced by:  uvcf1  21071  uvcresum  21072  frlmssuvc1  21073  frlmssuvc2  21074  frlmsslsp  21075  frlmlbs  21076  frlmup2  21078  frlmup3  21079  frlmup4  21080  lindsdom  35827  matunitlindflem2  35830  uvccl  40467  aacllem  46757