Theorem uvcff 22152

Description: Domain and codomain of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcff	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem uvcff

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcff.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	uvcfval 22145	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
5		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	5, 2	ringidcl 20545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
7	5, 3	ring0cl 20547	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
8	6, 7	ifcld 4532	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
9	8	ad3antrrr 743	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	fmpttd 7147	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
11		fvex 6929	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
12		elmapg 8897	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
13	11, 12	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
14	13	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
15	10, 14	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
16		mptexg 7258	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
17	16	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
18		funmpt 6606	. . . . 5 ⊢ Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
20		fvex 6929	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (0g‘𝑅) ∈ V)
22		snfi 9109	. . . . 5 ⊢ {𝑖} ∈ Fin
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → {𝑖} ∈ Fin)
24		eldifsni 4755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) → 𝑗 ≠ 𝑖)
25	24	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → 𝑗 ≠ 𝑖)
26	25	neneqd 2964	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → ¬ 𝑗 = 𝑖)
27	26	iffalsed 4496	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
29	27, 28	suppss2 8255	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑖})
30		suppssfifsupp 9409	. . . 4 ⊢ ((((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑖} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑖})) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
31	17, 19, 21, 23, 29, 30	syl32anc 1406	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
32		uvcff.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
33		uvcff.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
34	32, 5, 3, 33	frlmelbas 22117	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))))
35	34	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))))
36	15, 31, 35	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵)
37	4, 36	fmpt3d 7148	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  Fun wfun 6560  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   supp csupp 8214   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391  Basecbs 17431  0_gc0g 17660  1_rcur 20458  Ringcrg 20510   freeLMod cfrlm 22107   unitVec cuvc 22143

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-sra 21499  df-rgmod 21500  df-dsmm 22093  df-frlm 22108  df-uvc 22144

This theorem is used by:  uvcf1  22153  uvcresum  22154  frlmssuvc1  22155  frlmssuvc2  22156  frlmsslsp  22157  frlmlbs  22158  frlmup2  22160  frlmup3  22161  frlmup4  22162  lindsdom  22211  matunitlindflem2  23050  uvccl  43871  aacllem  51367