MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uvcff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uvcff 21724
Description: Domain and codomain of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
uvcff.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
uvcff ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)

Proof of Theorem uvcff
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uvcff.u . . 3 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 eqid 2728 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 eqid 2728 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
41, 2, 3uvcfval 21717 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈 = (𝑖𝐼 ↦ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))))
5 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
65, 2ringidcl 20201 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
75, 3ring0cl 20202 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
86, 7ifcld 4575 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
98ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
109fmpttd 7125 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
11 fvex 6910 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
12 elmapg 8857 . . . . . 6 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
1311, 12mpan 689 . . . . 5 (𝐼𝑊 → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
1413ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
1510, 14mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
16 mptexg 7233 . . . . 5 (𝐼𝑊 → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V)
1716ad2antlr 726 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V)
18 funmpt 6591 . . . . 5 Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)))
1918a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))))
20 fvex 6910 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (0g𝑅) ∈ V)
22 snfi 9068 . . . . 5 {𝑖} ∈ Fin
2322a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → {𝑖} ∈ Fin)
24 eldifsni 4794 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) → 𝑗𝑖)
2524adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → 𝑗𝑖)
2625neneqd 2942 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → ¬ 𝑗 = 𝑖)
2726iffalsed 4540 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅)) = (0g𝑅))
28 simplr 768 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → 𝐼𝑊)
2927, 28suppss2 8205 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑖})
30 suppssfifsupp 9403 . . . 4 ((((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑖} ∈ Fin ∧ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑖})) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))
3117, 19, 21, 23, 29, 30syl32anc 1376 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))
32 uvcff.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
33 uvcff.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
3432, 5, 3, 33frlmelbas 21689 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))))
3534adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∧ (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) finSupp (0g𝑅))))
3615, 31, 35mpbir2and 712 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑗𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r𝑅), (0g𝑅))) ∈ 𝐵)
374, 36fmpt3d 7126 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑊) → 𝑈:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  Vcvv 3471  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5148  cmpt 5231  Fun wfun 6542  wf 6544  cfv 6548  (class class class)co 7420   supp csupp 8165  m cmap 8844  Fincfn 8963   finSupp cfsupp 9385  Basecbs 17179  0gc0g 17420  1rcur 20120  Ringcrg 20172   freeLMod cfrlm 21679   unitVec cuvc 21715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-mgp 20074  df-ur 20121  df-ring 20174  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-uvc 21716
This theorem is referenced by:  uvcf1  21725  uvcresum  21726  frlmssuvc1  21727  frlmssuvc2  21728  frlmsslsp  21729  frlmlbs  21730  frlmup2  21732  frlmup3  21733  frlmup4  21734  lindsdom  37087  matunitlindflem2  37090  uvccl  41771  aacllem  48234
  Copyright terms: Public domain W3C validator