Theorem uvcff 20455

Description: Domain and range of the unit vector generator; ring condition required to be sure 1 and 0 are actually in the ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcff.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
uvcff.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
uvcff.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
uvcff	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem uvcff

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 18884	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4		eqid 2799	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	1, 4	ring0cl 18885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
6	3, 5	ifcld 4322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
7	6	ad3antrrr 722	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
8	7	fmpttd 6611	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
9		fvex 6424	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
10		elmapg 8108	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
11	9, 10	mpan 682	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
12	11	ad2antlr 719	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ↔ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
13	8, 12	mpbird 249	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
14		mptexg 6713	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
15	14	ad2antlr 719	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V)
16		funmpt 6139	. . . . . 6 ⊢ Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
17	16	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
18		fvex 6424	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
19	18	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (0g‘𝑅) ∈ V)
20		snfi 8280	. . . . . 6 ⊢ {𝑖} ∈ Fin
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → {𝑖} ∈ Fin)
22		eldifsni 4510	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) → 𝑗 ≠ 𝑖)
23	22	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → 𝑗 ≠ 𝑖)
24	23	neneqd 2976	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → ¬ 𝑗 = 𝑖)
25	24	iffalsed 4288	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})) → if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
26		simplr 786	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑊)
27	25, 26	suppss2 7567	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑖})
28		suppssfifsupp 8532	. . . . 5 ⊢ ((((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑖} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑖})) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
29	15, 17, 19, 21, 27, 28	syl32anc 1498	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
30		uvcff.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
31		uvcff.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
32	30, 1, 4, 31	frlmelbas 20425	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))))
33	32	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∧ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))))
34	13, 29, 33	mpbir2and 705	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ 𝐵)
35	34	fmpttd 6611	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))):𝐼⟶𝐵)
36		uvcff.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
37	36, 2, 4	uvcfval 20448	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈 = (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))))
38	37	feq1d 6241	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑈:𝐼⟶𝐵 ↔ (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))):𝐼⟶𝐵))
39	35, 38	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  Vcvv 3385   ∖ cdif 3766   ⊆ wss 3769  ifcif 4277  {csn 4368   class class class wbr 4843   ↦ cmpt 4922  Fun wfun 6095  ⟶wf 6097  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878   supp csupp 7532   ↑_𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195   finSupp cfsupp 8517  Basecbs 16184  0_gc0g 16415  1_rcur 18817  Ringcrg 18863   freeLMod cfrlm 20415   unitVec cuvc 20446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-dsmm 20401  df-frlm 20416  df-uvc 20447

This theorem is referenced by:  uvcf1  20456  uvcresum  20457  frlmssuvc1  20458  frlmssuvc2  20459  frlmsslsp  20460  frlmlbs  20461  frlmup2  20463  frlmup3  20464  frlmup4  20465  lindsdom  33892  matunitlindflem2  33895  aacllem  43349