MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmup2 21740
Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmup.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
frlmup.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
frlmup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
frlmup.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
frlmup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
frlmup.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
frlmup.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frlmup2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)
Proof of Theorem frlmup2
StepHypRef Expression
1 frlmup.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
2 frlmup.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
3 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
43lmodring 20758 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
61, 5eqeltrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 frlmup.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
9 frlmup.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10 frlmup.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
118, 9, 10uvcff 21732 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
126, 7, 11syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
13 frlmup.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
1412, 13ffvelcdmd 7100 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
15 oveq1 7433 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝐴) = ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴))
1615oveq2d 7442 . . . 4 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘Œ) β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
17 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
18 ovex 7459 . . . 4 (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 7010 . . 3 ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
2014, 19syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
21 frlmup.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
22 eqid 2728 . . 3 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
23 lmodcmn 20800 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
24 cmnmnd 19759 . . . 4 (𝑇 ∈ CMnd β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
252, 23, 243syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
26 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
27 frlmup.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
28 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
299, 28, 10frlmbasf 21701 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
307, 14, 29syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
311fveq2d 6906 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
3231feq3d 6714 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))))
3330, 32mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
34 frlmup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
353, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7lcomf 20791 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴):𝐼⟢𝐢)
3630ffnd 6728 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼)
3736adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼)
3834ffnd 6728 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
3938adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
407adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
41 eldifi 4127 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
4241adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
43 fnfvof 7708 . . . . . 6 ((((π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
4437, 39, 40, 42, 43syl22anc 837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
456adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4613adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
47 eldifsni 4798 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘₯ β‰  π‘Œ)
4847necomd 2993 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘Œ β‰  π‘₯)
4948adantl 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘Œ β‰  π‘₯)
50 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
518, 45, 40, 46, 42, 49, 50uvcvv0 21731 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))
521fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5352adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5451, 53eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5554oveq1d 7441 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
562adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
57 ffvelcdm 7096 . . . . . . 7 ((𝐴:𝐼⟢𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
5834, 41, 57syl2an 594 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
59 eqid 2728 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
6021, 3, 27, 59, 22lmod0vs 20785 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘‡))
6156, 58, 60syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘‡))
6244, 55, 613eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘‡))
6335, 62suppss 8205 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴) supp (0gβ€˜π‘‡)) βŠ† {π‘Œ})
6421, 22, 25, 7, 13, 35, 63gsumpt 19924 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ))
65 fnfvof 7708 . . . 4 ((((π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
6636, 38, 7, 13, 65syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
67 eqid 2728 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
688, 6, 7, 13, 67uvcvv1 21730 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
691fveq2d 6906 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
7068, 69eqtrd 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
7170oveq1d 7441 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
7234, 13ffvelcdmd 7100 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐢)
73 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
7421, 3, 27, 73lmodvs1 20780 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐢) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
752, 72, 74syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
7666, 71, 753eqtrd 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (π΄β€˜π‘Œ))
7720, 64, 763eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3946  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  CMndccmn 19742  1rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20750   freeLMod cfrlm 21687   unitVec cuvc 21723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-uvc 21724
This theorem is referenced by:  frlmup3  21741  frlmup4  21742
  Copyright terms: Public domain W3C validator