MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmup2 21345
Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmup.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
frlmup.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
frlmup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
frlmup.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
frlmup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
frlmup.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
frlmup.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frlmup2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)
Proof of Theorem frlmup2
StepHypRef Expression
1 frlmup.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
2 frlmup.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
43lmodring 20471 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
61, 5eqeltrd 2833 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 frlmup.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
9 frlmup.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10 frlmup.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
118, 9, 10uvcff 21337 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
126, 7, 11syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
13 frlmup.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
1412, 13ffvelcdmd 7084 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
15 oveq1 7412 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝐴) = ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴))
1615oveq2d 7421 . . . 4 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘Œ) β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
17 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
18 ovex 7438 . . . 4 (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6995 . . 3 ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
2014, 19syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
21 frlmup.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
22 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
23 lmodcmn 20512 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
24 cmnmnd 19659 . . . 4 (𝑇 ∈ CMnd β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
252, 23, 243syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
26 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
27 frlmup.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
28 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
299, 28, 10frlmbasf 21306 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
307, 14, 29syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
311fveq2d 6892 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
3231feq3d 6701 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))))
3330, 32mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
34 frlmup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
353, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7lcomf 20503 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴):𝐼⟢𝐢)
3630ffnd 6715 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼)
3736adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼)
3834ffnd 6715 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
3938adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
407adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
41 eldifi 4125 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
4241adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
43 fnfvof 7683 . . . . . 6 ((((π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
4437, 39, 40, 42, 43syl22anc 837 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
456adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4613adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
47 eldifsni 4792 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘₯ β‰  π‘Œ)
4847necomd 2996 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘Œ β‰  π‘₯)
4948adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘Œ β‰  π‘₯)
50 eqid 2732 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
518, 45, 40, 46, 42, 49, 50uvcvv0 21336 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))
521fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5352adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5451, 53eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5554oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
562adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
57 ffvelcdm 7080 . . . . . . 7 ((𝐴:𝐼⟢𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
5834, 41, 57syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
59 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
6021, 3, 27, 59, 22lmod0vs 20497 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘‡))
6156, 58, 60syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘‡))
6244, 55, 613eqtrd 2776 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘‡))
6335, 62suppss 8175 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴) supp (0gβ€˜π‘‡)) βŠ† {π‘Œ})
6421, 22, 25, 7, 13, 35, 63gsumpt 19824 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ))
65 fnfvof 7683 . . . 4 ((((π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
6636, 38, 7, 13, 65syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
67 eqid 2732 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
688, 6, 7, 13, 67uvcvv1 21335 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
691fveq2d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
7068, 69eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
7170oveq1d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
7234, 13ffvelcdmd 7084 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐢)
73 eqid 2732 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
7421, 3, 27, 73lmodvs1 20492 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐢) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
752, 72, 74syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
7666, 71, 753eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (π΄β€˜π‘Œ))
7720, 64, 763eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3944  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  CMndccmn 19642  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463   freeLMod cfrlm 21292   unitVec cuvc 21328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329
This theorem is referenced by:  frlmup3  21346  frlmup4  21347
  Copyright terms: Public domain W3C validator