Theorem frlmup2 21706

Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
frlmup.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
frlmup.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
2		frlmup.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
4	3	lmodring 20771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
6	1, 5	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		frlmup.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
9		frlmup.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10		frlmup.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	8, 9, 10	uvcff 21698	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
12	6, 7, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
13		frlmup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
14	12, 13	ffvelcdmd 7019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴))
16	15	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
17		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
18		ovex 7382	. . . 4 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6930	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
20	14, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
21		frlmup.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
22		eqid 2729	. . 3 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
23		lmodcmn 20813	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
24		cmnmnd 19676	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
25	2, 23, 24	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
26		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
27		frlmup.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
28		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	9, 28, 10	frlmbasf 21667	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
30	7, 14, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
31	1	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
32	31	feq3d 6637	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇))))
33	30, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇)))
34		frlmup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
35	3, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7	lcomf 20804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
36	30	ffnd 6653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
38	34	ffnd 6653	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐴 Fn 𝐼)
40	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐼 ∈ 𝑋)
41		eldifi 4082	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑥 ∈ 𝐼)
43		fnfvof 7630	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
44	37, 39, 40, 42, 43	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
45	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑅 ∈ Ring)
46	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝐼)
47		eldifsni 4741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ≠ 𝑌)
48	47	necomd 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑌 ≠ 𝑥)
49	48	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ≠ 𝑥)
50		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
51	8, 45, 40, 46, 42, 49, 50	uvcvv0 21697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
52	1	fveq2d 6826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
54	51, 53	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
55	54	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)))
56	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑇 ∈ LMod)
57		ffvelcdm 7015	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
58	34, 41, 57	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
59		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
60	21, 3, 27, 59, 22	lmod0vs 20798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
61	56, 58, 60	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
62	44, 55, 61	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (0g‘𝑇))
63	35, 62	suppss 8127	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ {𝑌})
64	21, 22, 25, 7, 13, 35, 63	gsumpt 19841	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) = (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌))
65		fnfvof 7630	. . . 4 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
66	36, 38, 7, 13, 65	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
67		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
68	8, 6, 7, 13, 67	uvcvv1 21696	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘𝑅))
69	1	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
70	68, 69	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
71	70	oveq1d 7364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)) = ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)))
72	34, 13	ffvelcdmd 7019	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶)
73		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑇)) = (1r‘(Scalar‘𝑇))
74	21, 3, 27, 73	lmodvs1 20793	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶) → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
75	2, 72, 74	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
76	66, 71, 75	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
77	20, 64, 76	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3900  {csn 4577   ↦ cmpt 5173   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18608  CMndccmn 19659  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  LModclmod 20763   freeLMod cfrlm 21653   unitVec cuvc 21689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-uvc 21690

This theorem is referenced by:  frlmup3  21707  frlmup4  21708