MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup2 21221
Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmup.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
frlmup.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
frlmup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
frlmup.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
frlmup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
frlmup.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
frlmup.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frlmup2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem frlmup2
StepHypRef Expression
1 frlmup.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
2 frlmup.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
43lmodring 20344 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
61, 5eqeltrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 frlmup.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
9 frlmup.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10 frlmup.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
118, 9, 10uvcff 21213 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
126, 7, 11syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
13 frlmup.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
1412, 13ffvelcdmd 7037 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
15 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝐴) = ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴))
1615oveq2d 7374 . . . 4 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘Œ) β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
17 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
18 ovex 7391 . . . 4 (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6949 . . 3 ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
2014, 19syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
21 frlmup.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
22 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
23 lmodcmn 20385 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
24 cmnmnd 19584 . . . 4 (𝑇 ∈ CMnd β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
252, 23, 243syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
26 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
27 frlmup.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
28 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
299, 28, 10frlmbasf 21182 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
307, 14, 29syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
311fveq2d 6847 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
3231feq3d 6656 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))))
3330, 32mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
34 frlmup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
353, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7lcomf 20376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴):𝐼⟢𝐢)
3630ffnd 6670 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼)
3736adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼)
3834ffnd 6670 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
3938adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
407adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
41 eldifi 4087 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
4241adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
43 fnfvof 7635 . . . . . 6 ((((π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
4437, 39, 40, 42, 43syl22anc 838 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
456adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4613adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
47 eldifsni 4751 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘₯ β‰  π‘Œ)
4847necomd 2996 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘Œ β‰  π‘₯)
4948adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘Œ β‰  π‘₯)
50 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
518, 45, 40, 46, 42, 49, 50uvcvv0 21212 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))
521fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5352adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5451, 53eqtrd 2773 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5554oveq1d 7373 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
562adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
57 ffvelcdm 7033 . . . . . . 7 ((𝐴:𝐼⟢𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
5834, 41, 57syl2an 597 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
59 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
6021, 3, 27, 59, 22lmod0vs 20370 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘‡))
6156, 58, 60syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘‡))
6244, 55, 613eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘‡))
6335, 62suppss 8126 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴) supp (0gβ€˜π‘‡)) βŠ† {π‘Œ})
6421, 22, 25, 7, 13, 35, 63gsumpt 19744 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ))
65 fnfvof 7635 . . . 4 ((((π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
6636, 38, 7, 13, 65syl22anc 838 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
67 eqid 2733 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
688, 6, 7, 13, 67uvcvv1 21211 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
691fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
7068, 69eqtrd 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
7170oveq1d 7373 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
7234, 13ffvelcdmd 7037 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐢)
73 eqid 2733 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
7421, 3, 27, 73lmodvs1 20365 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐢) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
752, 72, 74syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
7666, 71, 753eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (π΄β€˜π‘Œ))
7720, 64, 763eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3908  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  CMndccmn 19567  1rcur 19918  Ringcrg 19969  LModclmod 20336   freeLMod cfrlm 21168   unitVec cuvc 21204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205
This theorem is referenced by:  frlmup3  21222  frlmup4  21223
  Copyright terms: Public domain W3C validator