Theorem frlmup2 22016

Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
frlmup.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
frlmup.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
2		frlmup.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
4	3	lmodring 21056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
6	1, 5	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		frlmup.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
9		frlmup.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10		frlmup.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	8, 9, 10	uvcff 22008	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
12	6, 7, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
13		frlmup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
14	12, 13	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴))
16	15	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
17		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
18		ovex 7449	. . . 4 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6990	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
20	14, 19	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
21		frlmup.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
22		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
23		lmodcmn 21098	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
24		cmnmnd 19928	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
25	2, 23, 24	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
26		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
27		frlmup.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
28		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	9, 28, 10	frlmbasf 21977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
30	7, 14, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
31	1	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
32	31	feq3d 6691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇))))
33	30, 32	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇)))
34		frlmup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
35	3, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7	lcomf 21089	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
36	30	ffnd 6707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
37	36	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
38	34	ffnd 6707	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
39	38	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐴 Fn 𝐼)
40	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐼 ∈ 𝑋)
41		eldifi 4081	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	41	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑥 ∈ 𝐼)
43		fnfvof 7698	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
44	37, 39, 40, 42, 43	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
45	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑅 ∈ Ring)
46	13	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝐼)
47		eldifsni 4756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ≠ 𝑌)
48	47	necomd 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑌 ≠ 𝑥)
49	48	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ≠ 𝑥)
50		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
51	8, 45, 40, 46, 42, 49, 50	uvcvv0 22007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
52	1	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
53	52	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
54	51, 53	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
55	54	oveq1d 7431	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)))
56	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑇 ∈ LMod)
57		ffvelcdm 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
58	34, 41, 57	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
59		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
60	21, 3, 27, 59, 22	lmod0vs 21083	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
61	56, 58, 60	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
62	44, 55, 61	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (0g‘𝑇))
63	35, 62	suppss 8195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ {𝑌})
64	21, 22, 25, 7, 13, 35, 63	gsumpt 20093	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) = (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌))
65		fnfvof 7698	. . . 4 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
66	36, 38, 7, 13, 65	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
67		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
68	8, 6, 7, 13, 67	uvcvv1 22006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘𝑅))
69	1	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
70	68, 69	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
71	70	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)) = ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)))
72	34, 13	ffvelcdmd 7081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶)
73		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑇)) = (1r‘(Scalar‘𝑇))
74	21, 3, 27, 73	lmodvs1 21078	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶) → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
75	2, 72, 74	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
76	66, 71, 75	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
77	20, 64, 76	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3899  {csn 4587   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7679  Basecbs 17305  Scalarcsca 17349   ·_𝑠 cvsca 17350  0_gc0g 17528   Σ_g cgsu 17529  Mndcmnd 18840  CMndccmn 19911  1_rcur 20324  Ringcrg 20376  LModclmod 21048   freeLMod cfrlm 21963   unitVec cuvc 21999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-mulg 19195  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-ur 20325  df-ring 20378  df-lmod 21050  df-sra 21361  df-rgmod 21362  df-dsmm 21949  df-frlm 21964  df-uvc 22000

This theorem is used by:  frlmup3  22017  frlmup4  22018