Theorem frlmup2 21792

Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
frlmup.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
frlmup.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
2		frlmup.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
4	3	lmodring 20857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
6	1, 5	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		frlmup.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
9		frlmup.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10		frlmup.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	8, 9, 10	uvcff 21784	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
12	6, 7, 11	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
13		frlmup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
14	12, 13	ffvelcdmd 7032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7368	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴))
16	15	oveq2d 7377	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
17		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
18		ovex 7394	. . . 4 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6942	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
20	14, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
21		frlmup.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
22		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
23		lmodcmn 20899	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
24		cmnmnd 19766	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
25	2, 23, 24	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
26		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
27		frlmup.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
28		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	9, 28, 10	frlmbasf 21753	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
30	7, 14, 29	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
31	1	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
32	31	feq3d 6648	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇))))
33	30, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇)))
34		frlmup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
35	3, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7	lcomf 20890	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
36	30	ffnd 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
38	34	ffnd 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐴 Fn 𝐼)
40	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐼 ∈ 𝑋)
41		eldifi 4072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑥 ∈ 𝐼)
43		fnfvof 7642	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
44	37, 39, 40, 42, 43	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
45	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑅 ∈ Ring)
46	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝐼)
47		eldifsni 4734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ≠ 𝑌)
48	47	necomd 2988	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑌 ≠ 𝑥)
49	48	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ≠ 𝑥)
50		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
51	8, 45, 40, 46, 42, 49, 50	uvcvv0 21783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
52	1	fveq2d 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
54	51, 53	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
55	54	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)))
56	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑇 ∈ LMod)
57		ffvelcdm 7028	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
58	34, 41, 57	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
59		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
60	21, 3, 27, 59, 22	lmod0vs 20884	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
61	56, 58, 60	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
62	44, 55, 61	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (0g‘𝑇))
63	35, 62	suppss 8138	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ {𝑌})
64	21, 22, 25, 7, 13, 35, 63	gsumpt 19931	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) = (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌))
65		fnfvof 7642	. . . 4 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
66	36, 38, 7, 13, 65	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
67		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
68	8, 6, 7, 13, 67	uvcvv1 21782	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘𝑅))
69	1	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
70	68, 69	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
71	70	oveq1d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)) = ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)))
72	34, 13	ffvelcdmd 7032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶)
73		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑇)) = (1r‘(Scalar‘𝑇))
74	21, 3, 27, 73	lmodvs1 20879	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶) → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
75	2, 72, 74	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
76	66, 71, 75	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
77	20, 64, 76	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   ∘_f cof 7623  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  0_gc0g 17396   Σ_g cgsu 17397  Mndcmnd 18696  CMndccmn 19749  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  LModclmod 20849   freeLMod cfrlm 21739   unitVec cuvc 21775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-mulg 19038  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20851  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-uvc 21776

This theorem is referenced by:  frlmup3  21793  frlmup4  21794