MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmup2 21689
Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmup.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
frlmup.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
frlmup.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
frlmup.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
frlmup.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
frlmup.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
frlmup.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
Assertion
Ref Expression
frlmup2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)
Proof of Theorem frlmup2
StepHypRef Expression
1 frlmup.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
2 frlmup.t . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
3 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
43lmodring 20711 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
61, 5eqeltrd 2827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 frlmup.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
8 frlmup.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
9 frlmup.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10 frlmup.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
118, 9, 10uvcff 21681 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
126, 7, 11syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
13 frlmup.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
1412, 13ffvelcdmd 7080 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
15 oveq1 7411 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝐴) = ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴))
1615oveq2d 7420 . . . 4 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘Œ) β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
17 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
18 ovex 7437 . . . 4 (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)) ∈ V
1916, 17, 18fvmpt 6991 . . 3 ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
2014, 19syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)))
21 frlmup.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
22 eqid 2726 . . 3 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
23 lmodcmn 20753 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod β†’ 𝑇 ∈ CMnd)
24 cmnmnd 19714 . . . 4 (𝑇 ∈ CMnd β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
252, 23, 243syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
26 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
27 frlmup.v . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
28 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
299, 28, 10frlmbasf 21650 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
307, 14, 29syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
311fveq2d 6888 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
3231feq3d 6697 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))))
3330, 32mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ):𝐼⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
34 frlmup.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
353, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7lcomf 20744 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴):𝐼⟢𝐢)
3630ffnd 6711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼)
3736adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼)
3834ffnd 6711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
3938adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 Fn 𝐼)
407adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
41 eldifi 4121 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
4241adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
43 fnfvof 7683 . . . . . 6 ((((π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
4437, 39, 40, 42, 43syl22anc 836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
456adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4613adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘Œ ∈ 𝐼)
47 eldifsni 4788 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘₯ β‰  π‘Œ)
4847necomd 2990 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘Œ β‰  π‘₯)
4948adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ π‘Œ β‰  π‘₯)
50 eqid 2726 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
518, 45, 40, 46, 42, 49, 50uvcvv0 21680 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘…))
521fveq2d 6888 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5451, 53eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
5554oveq1d 7419 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)))
562adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑇 ∈ LMod)
57 ffvelcdm 7076 . . . . . . 7 ((𝐴:𝐼⟢𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
5834, 41, 57syl2an 595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢)
59 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
6021, 3, 27, 59, 22lmod0vs 20738 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘₯) ∈ 𝐢) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘‡))
6156, 58, 60syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π‘‡))
6244, 55, 613eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘₯) = (0gβ€˜π‘‡))
6335, 62suppss 8176 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴) supp (0gβ€˜π‘‡)) βŠ† {π‘Œ})
6421, 22, 25, 7, 13, 35, 63gsumpt 19879 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑇 Ξ£g ((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ))
65 fnfvof 7683 . . . 4 ((((π‘ˆβ€˜π‘Œ) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ π‘Œ ∈ 𝐼)) β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
6636, 38, 7, 13, 65syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
67 eqid 2726 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
688, 6, 7, 13, 67uvcvv1 21679 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘…))
691fveq2d 6888 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
7068, 69eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
7170oveq1d 7419 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ)β€˜π‘Œ) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)))
7234, 13ffvelcdmd 7080 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐢)
73 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
7421, 3, 27, 73lmodvs1 20733 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ 𝐢) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
752, 72, 74syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) Β· (π΄β€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
7666, 71, 753eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘ˆβ€˜π‘Œ) ∘f Β· 𝐴)β€˜π‘Œ) = (π΄β€˜π‘Œ))
7720, 64, 763eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘Œ)) = (π΄β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664  Basecbs 17150  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664  CMndccmn 19697  1rcur 20083  Ringcrg 20135  LModclmod 20703   freeLMod cfrlm 21636   unitVec cuvc 21672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-uvc 21673
This theorem is referenced by:  frlmup3  21690  frlmup4  21691
  Copyright terms: Public domain W3C validator