Theorem frlmup2 21842

Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
frlmup.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
frlmup.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
2		frlmup.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
4	3	lmodring 20888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
6	1, 5	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		frlmup.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
9		frlmup.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10		frlmup.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	8, 9, 10	uvcff 21834	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
12	6, 7, 11	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
13		frlmup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
14	12, 13	ffvelcdmd 7119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7455	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴))
16	15	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
17		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
18		ovex 7481	. . . 4 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 7029	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
20	14, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
21		frlmup.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
22		eqid 2740	. . 3 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
23		lmodcmn 20930	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
24		cmnmnd 19839	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
25	2, 23, 24	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
26		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
27		frlmup.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
28		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	9, 28, 10	frlmbasf 21803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
30	7, 14, 29	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
31	1	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
32	31	feq3d 6734	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇))))
33	30, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇)))
34		frlmup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
35	3, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7	lcomf 20921	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
36	30	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
38	34	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
39	38	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐴 Fn 𝐼)
40	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐼 ∈ 𝑋)
41		eldifi 4154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	41	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑥 ∈ 𝐼)
43		fnfvof 7731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
44	37, 39, 40, 42, 43	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
45	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑅 ∈ Ring)
46	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝐼)
47		eldifsni 4815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ≠ 𝑌)
48	47	necomd 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑌 ≠ 𝑥)
49	48	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ≠ 𝑥)
50		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
51	8, 45, 40, 46, 42, 49, 50	uvcvv0 21833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
52	1	fveq2d 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
54	51, 53	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
55	54	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)))
56	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑇 ∈ LMod)
57		ffvelcdm 7115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
58	34, 41, 57	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
59		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
60	21, 3, 27, 59, 22	lmod0vs 20915	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
61	56, 58, 60	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
62	44, 55, 61	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (0g‘𝑇))
63	35, 62	suppss 8235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ {𝑌})
64	21, 22, 25, 7, 13, 35, 63	gsumpt 20004	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) = (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌))
65		fnfvof 7731	. . . 4 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
66	36, 38, 7, 13, 65	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
67		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
68	8, 6, 7, 13, 67	uvcvv1 21832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘𝑅))
69	1	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
70	68, 69	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
71	70	oveq1d 7463	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)) = ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)))
72	34, 13	ffvelcdmd 7119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶)
73		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑇)) = (1r‘(Scalar‘𝑇))
74	21, 3, 27, 73	lmodvs1 20910	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶) → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
75	2, 72, 74	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
76	66, 71, 75	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
77	20, 64, 76	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  Mndcmnd 18772  CMndccmn 19822  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  LModclmod 20880   freeLMod cfrlm 21789   unitVec cuvc 21825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-uvc 21826

This theorem is referenced by:  frlmup3  21843  frlmup4  21844