Theorem frlmup2 21016

Description: The evaluation map has the intended behavior on the unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmup.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
frlmup.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
frlmup.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
frlmup.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
frlmup.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
frlmup.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmup2	⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝑇

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmup.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
2		frlmup.t	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
4	3	lmodring 20141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
5	2, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
6	1, 5	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		frlmup.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
8		frlmup.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
9		frlmup.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
10		frlmup.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	8, 9, 10	uvcff 21008	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
12	6, 7, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
13		frlmup.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐼)
14	12, 13	ffvelrnd 6954	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵)
15		oveq1 7274	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑥 ∘f · 𝐴) = ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴))
16	15	oveq2d 7283	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑌) → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
17		frlmup.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
18		ovex 7300	. . . 4 ⊢ (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) ∈ V
19	16, 17, 18	fvmpt 6867	. . 3 ⊢ ((𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
20	14, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)))
21		frlmup.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
22		eqid 2738	. . 3 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
23		lmodcmn 20181	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
24		cmnmnd 19412	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ CMnd → 𝑇 ∈ Mnd)
25	2, 23, 24	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
26		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
27		frlmup.v	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
28		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
29	9, 28, 10	frlmbasf 20977	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑋 ∧ (𝑈‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
30	7, 14, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅))
31	1	fveq2d 6770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
32	31	feq3d 6579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇))))
33	30, 32	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌):𝐼⟶(Base‘(Scalar‘𝑇)))
34		frlmup.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
35	3, 26, 27, 21, 2, 33, 34, 7	lcomf 20172	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴):𝐼⟶𝐶)
36	30	ffnd 6593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
37	36	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝑈‘𝑌) Fn 𝐼)
38	34	ffnd 6593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn 𝐼)
39	38	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐴 Fn 𝐼)
40	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝐼 ∈ 𝑋)
41		eldifi 4060	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ∈ 𝐼)
42	41	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑥 ∈ 𝐼)
43		fnfvof 7540	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
44	37, 39, 40, 42, 43	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)))
45	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑅 ∈ Ring)
46	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ∈ 𝐼)
47		eldifsni 4723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑥 ≠ 𝑌)
48	47	necomd 2999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌}) → 𝑌 ≠ 𝑥)
49	48	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑌 ≠ 𝑥)
50		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
51	8, 45, 40, 46, 42, 49, 50	uvcvv0 21007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘𝑅))
52	1	fveq2d 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
53	52	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
54	51, 53	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((𝑈‘𝑌)‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
55	54	oveq1d 7282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌)‘𝑥) · (𝐴‘𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)))
56	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → 𝑇 ∈ LMod)
57		ffvelrn 6951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴:𝐼⟶𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
58	34, 41, 57	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶)
59		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
60	21, 3, 27, 59, 22	lmod0vs 20166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
61	56, 58, 60	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑥)) = (0g‘𝑇))
62	44, 55, 61	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑌})) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑥) = (0g‘𝑇))
63	35, 62	suppss 7997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴) supp (0g‘𝑇)) ⊆ {𝑌})
64	21, 22, 25, 7, 13, 35, 63	gsumpt 19573	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 Σg ((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)) = (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌))
65		fnfvof 7540	. . . 4 ⊢ ((((𝑈‘𝑌) Fn 𝐼 ∧ 𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
66	36, 38, 7, 13, 65	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)))
67		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
68	8, 6, 7, 13, 67	uvcvv1 21006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘𝑅))
69	1	fveq2d 6770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
70	68, 69	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝑌)‘𝑌) = (1r‘(Scalar‘𝑇)))
71	70	oveq1d 7282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌)‘𝑌) · (𝐴‘𝑌)) = ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)))
72	34, 13	ffvelrnd 6954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶)
73		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑇)) = (1r‘(Scalar‘𝑇))
74	21, 3, 27, 73	lmodvs1 20161	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝐴‘𝑌) ∈ 𝐶) → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
75	2, 72, 74	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘(Scalar‘𝑇)) · (𝐴‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))
76	66, 71, 75	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑈‘𝑌) ∘f · 𝐴)‘𝑌) = (𝐴‘𝑌))
77	20, 64, 76	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘(𝑈‘𝑌)) = (𝐴‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3883  {csn 4561   ↦ cmpt 5156   Fn wfn 6421  ⟶wf 6422  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267   ∘_f cof 7521  Basecbs 16922  Scalarcsca 16975   ·_𝑠 cvsca 16976  0_gc0g 17160   Σ_g cgsu 17161  Mndcmnd 18395  CMndccmn 19396  1_rcur 19747  Ringcrg 19793  LModclmod 20133   freeLMod cfrlm 20963   unitVec cuvc 20999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-se 5540  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-isom 6435  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-of 7523  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-supp 7965  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-fsupp 9116  df-sup 9188  df-oi 9256  df-card 9707  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-fzo 13393  df-seq 13732  df-hash 14055  df-struct 16858  df-sets 16875  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-ress 16952  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-hom 16996  df-cco 16997  df-0g 17162  df-gsum 17163  df-prds 17168  df-pws 17170  df-mre 17305  df-mrc 17306  df-acs 17308  df-mgm 18336  df-sgrp 18385  df-mnd 18396  df-submnd 18441  df-grp 18590  df-minusg 18591  df-mulg 18711  df-cntz 18933  df-cmn 19398  df-abl 19399  df-mgp 19731  df-ur 19748  df-ring 19795  df-lmod 20135  df-sra 20444  df-rgmod 20445  df-dsmm 20949  df-frlm 20964  df-uvc 21000

This theorem is referenced by:  frlmup3  21017  frlmup4  21018