Theorem frlmsslsp 21705

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslsp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslsp.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmsslsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
frlmsslsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslsp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslsp.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslsp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslsp

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslsp.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2	1	frlmlmod 21658	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
5		frlmsslsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		frlmsslsp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		frlmsslsp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
8	1, 4, 5, 6, 7	frlmsslss2 21684	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌))
9		frlmsslsp.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
10	9, 1, 5	uvcff 21700	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
11	10	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
13		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
14	13	sselda 3946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐼)
15	12, 14	ffvelcdmd 7057	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐵)
16		simpl2 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	1, 17, 5	frlmbasf 21669	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
19	16, 15, 18	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
20		simpll1 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
21		simpll2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
23		eldifi 4094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
24	23	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
25		elneeldif 3928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
26	25	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
27	9, 20, 21, 22, 24, 26, 6	uvcvv0 21699	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → ((𝑈‘𝑦)‘𝑥) = 0 )
28	19, 27	suppss 8173	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑈‘𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
29		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑦) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈‘𝑦) supp 0 ))
30	29	sseq1d 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑦) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈‘𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
31	30, 7	elrab2 3662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈‘𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
32	15, 28, 31	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶)
33	32	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶)
34	11	ffund 6692	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Fun 𝑈)
35	11	fdmd 6698	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → dom 𝑈 = 𝐼)
36	13, 35	sseqtrrd 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
37		funimass4 6925	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ 𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶))
38	34, 36, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ((𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶))
39	33, 38	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐶)
40		frlmsslsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
41	4, 40	lspssp 20894	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌) ∧ (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐶) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ⊆ 𝐶)
42	3, 8, 39, 41	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ⊆ 𝐶)
43		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
44		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝐼 ∈ 𝑉)
45	7	ssrab3 4045	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
46	45	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
47	46	sselda 3946	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
48		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
49	9, 1, 5, 48	uvcresum 21702	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)))
50	43, 44, 47, 49	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)))
51		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
52		lmodabl 20815	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
53	3, 52	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑌 ∈ Abel)
54	53	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ Abel)
55		imassrn 6042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 “ 𝐽) ⊆ ran 𝑈
56	11	frnd 6696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ran 𝑈 ⊆ 𝐵)
57	55, 56	sstrid 3958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐵)
58	5, 4, 40	lspcl 20882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
59	3, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
60	4	lsssubg 20863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
61	3, 59, 60	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
62	61	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
63	1, 17, 5	frlmbasf 21669	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
64	63	3ad2antl2 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
65	64	ffnd 6689	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 Fn 𝐼)
66	11	ffnd 6689	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
67	66	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑈 Fn 𝐼)
68		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
69		inidm 4190	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
70	65, 67, 68, 68, 69	offn 7666	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
71	47, 70	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
72	47, 65	syldan 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
73	72	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
74	66	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑈 Fn 𝐼)
75		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
76		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
77		fnfvof 7670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 Fn 𝐼 ∧ 𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)))
78	73, 74, 75, 76, 77	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)))
79	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → 𝑌 ∈ LMod)
80	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
81	45	sseli 3942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵)
82	81, 64	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
83	82	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
84	13	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → 𝑧 ∈ 𝐼)
85	84	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
86	83, 85	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑦‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
87	1	frlmsca 21662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
88	87	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
89	88	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
91	86, 90	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑦‘𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
92	5, 40	lspssid 20891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
93	3, 57, 92	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
95		funfvima2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ 𝐽 ⊆ dom 𝑈) → (𝑧 ∈ 𝐽 → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝑈 “ 𝐽)))
96	34, 36, 95	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑧 ∈ 𝐽 → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝑈 “ 𝐽)))
97	96	imp 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝑈 “ 𝐽))
98	97	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝑈 “ 𝐽))
99	94, 98	sseldd 3947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
100		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
101		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
102	100, 48, 101, 4	lssvscl 20861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) ∧ ((𝑦‘𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
103	79, 80, 91, 99, 102	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
104	103	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
105	104	adantlrr 721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
106		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
107	106	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
109		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → 𝑧 ∈ 𝐼)
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐽)
111	109, 110	eldifd 3925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
112		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 supp 0 ) = (𝑦 supp 0 ))
113	112	sseq1d 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
114	113, 7	elrab2 3662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
115	114	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
116	115	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
117	6	fvexi 6872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 0 ∈ V)
119	82, 116, 44, 118	suppssr 8174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → (𝑦‘𝑧) = 0 )
120	108, 111, 119	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑦‘𝑧) = 0 )
121	88	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
122	6, 121	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
123	122	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
124	120, 123	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑦‘𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
125	124	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)))
126	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ LMod)
127	11	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑧) ∈ 𝐵)
128	127	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈‘𝑧) ∈ 𝐵)
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑧) ∈ 𝐵)
130		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
131	5, 100, 48, 130, 51	lmod0vs 20801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑧) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) = (0g‘𝑌))
132	126, 129, 131	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) = (0g‘𝑌))
133	125, 132	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) = (0g‘𝑌))
134	59	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
135	51, 4	lss0cl 20853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (0g‘𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
136	126, 134, 135	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (0g‘𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
137	133, 136	eqeltrd 2828	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
138	105, 137	pm2.61dan 812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
139	78, 138	eqeltrd 2828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
140	139	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑧 ∈ 𝐼 → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽))))
141	140	ralrimiv 3124	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
142		ffnfv 7091	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ↔ ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽))))
143	71, 141, 142	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
144	1, 6, 5	frlmbasfsupp 21667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 finSupp 0 )
145	144	fsuppimpd 9320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
146	44, 47, 145	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
147		dffn2 6690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
148	70, 147	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
149	65	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑦 Fn 𝐼)
150	66	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑈 Fn 𝐼)
151		simpll2 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
152		eldifi 4094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 )) → 𝑥 ∈ 𝐼)
153	152	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑥 ∈ 𝐼)
154		fnfvof 7670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 Fn 𝐼 ∧ 𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)))
155	149, 150, 151, 153, 154	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)))
156		ssidd 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
157	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
158	64, 156, 68, 157	suppssr 8174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦‘𝑥) = 0 )
159	122	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
160	158, 159	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
161	160	oveq1d 7402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)))
162	3	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑌 ∈ LMod)
163	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
164		ffvelcdm 7053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈:𝐼⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝐵)
165	163, 152, 164	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝐵)
166	5, 100, 48, 130, 51	lmod0vs 20801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
167	162, 165, 166	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
168	155, 161, 167	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑥) = (0g‘𝑌))
169	148, 168	suppss 8173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
170	47, 169	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
171	146, 170	ssfid 9212	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ∈ Fin)
172		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
173	1, 17, 5	frlmbasmap 21668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
174	172, 81, 173	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
175		elmapfn 8838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
176	174, 175	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
177	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
178	177	ffnd 6689	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
179	176, 178, 44, 44	offun 7667	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → Fun (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈))
180		ovexd 7422	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) ∈ V)
181		fvexd 6873	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑌) ∈ V)
182		funisfsupp 9318	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) ∧ (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) ∈ V ∧ (0g‘𝑌) ∈ V) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) finSupp (0g‘𝑌) ↔ ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ∈ Fin))
183	179, 180, 181, 182	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) finSupp (0g‘𝑌) ↔ ((𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ∈ Fin))
184	171, 183	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) finSupp (0g‘𝑌))
185	51, 54, 44, 62, 143, 184	gsumsubgcl 19850	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑌 Σg (𝑦 ∘f ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
186	50, 185	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
187	42, 186	eqelssd 3968	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ran crn 5639   “ cima 5641  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   supp csupp 8139   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  SubGrpcsubg 19052  Abelcabl 19711  Ringcrg 20142  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSpanclspn 20877   freeLMod cfrlm 21655   unitVec cuvc 21691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-subrg 20479  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lmhm 20929  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-uvc 21692

This theorem is referenced by:  frlmlbs  21706