Theorem frlmsslsp 20503

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslsp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslsp.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmsslsp.k	⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
frlmsslsp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslsp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslsp.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslsp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslsp

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslsp.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2	1	frlmlmod 20457	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)
3	2	3adant3 1168	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
4		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
5		frlmsslsp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
6		frlmsslsp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
7		frlmsslsp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
8	1, 4, 5, 6, 7	frlmsslss2 20482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌))
9		frlmsslsp.u	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
10	9, 1, 5	uvcff 20498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
11	10	3adant3 1168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
12	11	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
13		simp3 1174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
14	13	sselda 3828	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ 𝐼)
15	12, 14	ffvelrnd 6610	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐵)
16		simpl2 1250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		eqid 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
18	1, 17, 5	frlmbasf 20468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
19	16, 15, 18	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
20		simpll1 1275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
21		simpll2 1277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	14	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
23		eldifi 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
24	23	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
25		disjdif 4264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅
26		disjne 4247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅ ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
27	25, 26	mp3an1 1578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
28	27	adantll 707	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
29	9, 20, 21, 22, 24, 28, 6	uvcvv0 20497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → ((𝑈‘𝑦)‘𝑥) = 0 )
30	19, 29	suppss 7591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → ((𝑈‘𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
31		oveq1 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑦) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈‘𝑦) supp 0 ))
32	31	sseq1d 3858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑈‘𝑦) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈‘𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
33	32, 7	elrab2 3590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈‘𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
34	15, 30, 33	sylanbrc 580	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶)
35	34	ralrimiva 3176	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶)
36	11	ffnd 6280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
37		fnfun 6222	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 Fn 𝐼 → Fun 𝑈)
38	36, 37	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Fun 𝑈)
39		fndm 6224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 Fn 𝐼 → dom 𝑈 = 𝐼)
40	36, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → dom 𝑈 = 𝐼)
41	13, 40	sseqtr4d 3868	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
42		funimass4 6495	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ 𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶))
43	38, 41, 42	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ((𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑈‘𝑦) ∈ 𝐶))
44	35, 43	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐶)
45		frlmsslsp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
46	4, 45	lspssp 19348	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌) ∧ (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐶) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ⊆ 𝐶)
47	3, 8, 44, 46	syl3anc 1496	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ⊆ 𝐶)
48		simpl1 1248	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
49		simpl2 1250	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝐼 ∈ 𝑉)
50		ssrab2 3913	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽} ⊆ 𝐵
51	7, 50	eqsstri 3861	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝐵
52	51	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
53	52	sselda 3828	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
54		eqid 2826	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘𝑌)
55	9, 1, 5, 54	uvcresum 20500	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)))
56	48, 49, 53, 55	syl3anc 1496	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)))
57		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑌) = (0g‘𝑌)
58		lmodabl 19267	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
59	3, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑌 ∈ Abel)
60	59	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑌 ∈ Abel)
61		imassrn 5719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 “ 𝐽) ⊆ ran 𝑈
62	11	frnd 6286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ran 𝑈 ⊆ 𝐵)
63	61, 62	syl5ss 3839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐵)
64	5, 4, 45	lspcl 19336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
65	3, 63, 64	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
66	4	lsssubg 19317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
67	3, 65, 66	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
68	67	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
69	1, 17, 5	frlmbasf 20468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
70	69	3ad2antl2 1243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
71	70	ffnd 6280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 Fn 𝐼)
72	36	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑈 Fn 𝐼)
73		simpl2 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
74		inidm 4048	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
75	71, 72, 73, 73, 74	offn 7169	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
76	53, 75	syldan 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
77	53, 71	syldan 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
78	77	adantrr 710	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
79	36	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑈 Fn 𝐼)
80		simpl2 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
81		simprr 791	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
82		fnfvof 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 Fn 𝐼 ∧ 𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)))
83	78, 79, 80, 81, 82	syl22anc 874	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)))
84	3	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → 𝑌 ∈ LMod)
85	65	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
86	51	sseli 3824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 → 𝑦 ∈ 𝐵)
87	86, 70	sylan2 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
88	87	adantrr 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
89	13	sselda 3828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → 𝑧 ∈ 𝐼)
90	89	adantrl 709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
91	88, 90	ffvelrnd 6610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑦‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
92	1	frlmsca 20461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
93	92	3adant3 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
94	93	fveq2d 6438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
95	94	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
96	91, 95	eleqtrd 2909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑦‘𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
97	5, 45	lspssid 19345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈 “ 𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
98	3, 63, 97	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
99	98	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑈 “ 𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
100		funfvima2 6750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun 𝑈 ∧ 𝐽 ⊆ dom 𝑈) → (𝑧 ∈ 𝐽 → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝑈 “ 𝐽)))
101	38, 41, 100	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝑧 ∈ 𝐽 → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝑈 “ 𝐽)))
102	101	imp 397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝑈 “ 𝐽))
103	102	adantrl 709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝑈 “ 𝐽))
104	99, 103	sseldd 3829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → (𝑈‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
105		eqid 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
106		eqid 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
107	105, 54, 106, 4	lssvscl 19315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) ∧ ((𝑦‘𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
108	84, 85, 96, 104, 107	syl22anc 874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐽)) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
109	108	anassrs 461	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
110	109	adantlrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
111		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
112	111	adantrr 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
113	112	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶))
114		simplrr 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → 𝑧 ∈ 𝐼)
115		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐽)
116	114, 115	eldifd 3810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
117		oveq1 6913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 supp 0 ) = (𝑦 supp 0 ))
118	117	sseq1d 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
119	118, 7	elrab2 3590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
120	119	simprbi 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
121	120	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
122	6	fvexi 6448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 0 ∈ V)
124	87, 121, 49, 123	suppssr 7592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽)) → (𝑦‘𝑧) = 0 )
125	113, 116, 124	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑦‘𝑧) = 0 )
126	93	fveq2d 6438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
127	6, 126	syl5eq 2874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
128	127	ad2antrr 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
129	125, 128	eqtrd 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑦‘𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
130	129	oveq1d 6921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)))
131	3	ad2antrr 719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → 𝑌 ∈ LMod)
132	11	ffvelrnda 6609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑧) ∈ 𝐵)
133	132	adantrl 709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → (𝑈‘𝑧) ∈ 𝐵)
134	133	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝑈‘𝑧) ∈ 𝐵)
135		eqid 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
136	5, 105, 54, 135, 57	lmod0vs 19253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑧) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) = (0g‘𝑌))
137	131, 134, 136	syl2anc 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) = (0g‘𝑌))
138	130, 137	eqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) = (0g‘𝑌))
139	65	ad2antrr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
140	57, 4	lss0cl 19304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (0g‘𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
141	131, 139, 140	syl2anc 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → (0g‘𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
142	138, 141	eqeltrd 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝐽) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
143	110, 142	pm2.61dan 849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑦‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
144	83, 143	eqeltrd 2907	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
145	144	expr 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑧 ∈ 𝐼 → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽))))
146	145	ralrimiv 3175	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
147		ffnfv 6638	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) ↔ ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽))))
148	76, 146, 147	sylanbrc 580	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
149	1, 6, 5	frlmbasfsupp 20466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 finSupp 0 )
150	149	fsuppimpd 8552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
151	49, 53, 150	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
152		dffn2 6281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ↔ (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
153	75, 152	sylib 210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
154	71	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑦 Fn 𝐼)
155	36	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑈 Fn 𝐼)
156		simpll2 1277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
157		eldifi 3960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 )) → 𝑥 ∈ 𝐼)
158	157	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑥 ∈ 𝐼)
159		fnfvof 7172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 Fn 𝐼 ∧ 𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)))
160	154, 155, 156, 158, 159	syl22anc 874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)))
161		ssidd 3850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
162	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
163	70, 161, 73, 162	suppssr 7592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦‘𝑥) = 0 )
164	127	ad2antrr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
165	163, 164	eqtrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦‘𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
166	165	oveq1d 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦‘𝑥)( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)))
167	3	ad2antrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑌 ∈ LMod)
168	11	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
169		ffvelrn 6607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈:𝐼⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝐵)
170	168, 157, 169	syl2an 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝐵)
171	5, 105, 54, 135, 57	lmod0vs 19253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
172	167, 170, 171	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠 ‘𝑌)(𝑈‘𝑥)) = (0g‘𝑌))
173	160, 166, 172	3eqtrd 2866	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)‘𝑥) = (0g‘𝑌))
174	153, 173	suppss 7591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
175	53, 174	syldan 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
176		ssfi 8450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 )) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ∈ Fin)
177	151, 175, 176	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ∈ Fin)
178		simp2 1173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
179	1, 17, 5	frlmbasmap 20467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
180	178, 86, 179	syl2an 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
181		elmapfn 8146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
182	180, 181	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
183	11	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
184	183	ffnd 6280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
185	182, 184, 49, 49, 74	offn 7169	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
186		fnfun 6222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) Fn 𝐼 → Fun (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈))
187	185, 186	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → Fun (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈))
188		ovexd 6940	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) ∈ V)
189		fvex 6447	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑌) ∈ V
190	189	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑌) ∈ V)
191		funisfsupp 8550	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) ∧ (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) ∈ V ∧ (0g‘𝑌) ∈ V) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) finSupp (0g‘𝑌) ↔ ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ∈ Fin))
192	187, 188, 190, 191	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) finSupp (0g‘𝑌) ↔ ((𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) supp (0g‘𝑌)) ∈ Fin))
193	177, 192	mpbird 249	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈) finSupp (0g‘𝑌))
194	57, 60, 49, 68, 148, 193	gsumsubgcl 18674	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑌 Σg (𝑦 ∘𝑓 ( ·𝑠 ‘𝑌)𝑈)) ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
195	56, 194	eqeltrd 2907	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)))
196	47, 195	eqelssd 3848	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐾‘(𝑈 “ 𝐽)) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118  {crab 3122  Vcvv 3415   ∖ cdif 3796   ∩ cin 3798   ⊆ wss 3799  ∅c0 4145   class class class wbr 4874  dom cdm 5343  ran crn 5344   “ cima 5346  Fun wfun 6118   Fn wfn 6119  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906   ∘_𝑓 cof 7156   supp csupp 7560   ↑_𝑚 cmap 8123  Fincfn 8223   finSupp cfsupp 8545  Basecbs 16223  Scalarcsca 16309   ·_𝑠 cvsca 16310  0_gc0g 16454   Σ_g cgsu 16455  SubGrpcsubg 17940  Abelcabl 18548  Ringcrg 18902  LModclmod 19220  LSubSpclss 19289  LSpanclspn 19331   freeLMod cfrlm 20454   unitVec cuvc 20489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-hash 13412  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-hom 16330  df-cco 16331  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-prds 16462  df-pws 16464  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-mhm 17689  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-mulg 17896  df-subg 17943  df-ghm 18010  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-subrg 19135  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-lmhm 19382  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-dsmm 20440  df-frlm 20455  df-uvc 20490

This theorem is referenced by:  frlmlbs  20504