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Theorem frlmsslsp 20349
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslsp.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmsslsp.k 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
frlmsslsp.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslsp.z 0 = (0g𝑅)
frlmsslsp.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
21frlmlmod 20307 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)
323adant3 1155 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
4 eqid 2813 . . . 4 (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
5 frlmsslsp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 frlmsslsp.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
7 frlmsslsp.c . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 20328 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌))
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
109, 1, 5uvcff 20344 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
11103adant3 1155 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑈:𝐼𝐵)
1211adantr 468 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈:𝐼𝐵)
13 simp3 1161 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽𝐼)
1413sselda 3805 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝐼)
1512, 14ffvelrnd 6585 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦) ∈ 𝐵)
16 simpl2 1237 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
17 eqid 2813 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
181, 17, 5frlmbasf 20318 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑈𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
1916, 15, 18syl2anc 575 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
20 simpll1 1262 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
21 simpll2 1264 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐼𝑉)
2214adantr 468 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝐼)
23 eldifi 3938 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑥𝐼)
2423adantl 469 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥𝐼)
25 disjdif 4243 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅
26 disjne 4226 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅ ∧ 𝑦𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
2725, 26mp3an1 1565 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
2827adantll 696 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
299, 20, 21, 22, 24, 28, 6uvcvv0 20343 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑈𝑦)‘𝑥) = 0 )
3019, 29suppss 7563 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
31 oveq1 6884 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑈𝑦) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈𝑦) supp 0 ))
3231sseq1d 3836 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑈𝑦) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
3332, 7elrab2 3569 . . . . . 6 ((𝑈𝑦) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
3415, 30, 33sylanbrc 574 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦) ∈ 𝐶)
3534ralrimiva 3161 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶)
3611ffnd 6260 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
37 fnfun 6202 . . . . . 6 (𝑈 Fn 𝐼 → Fun 𝑈)
3836, 37syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → Fun 𝑈)
39 fndm 6204 . . . . . . 7 (𝑈 Fn 𝐼 → dom 𝑈 = 𝐼)
4036, 39syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → dom 𝑈 = 𝐼)
4113, 40sseqtr4d 3846 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
42 funimass4 6471 . . . . 5 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶))
4338, 41, 42syl2anc 575 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶))
4435, 43mpbird 248 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐶)
45 frlmsslsp.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
464, 45lspssp 19198 . . 3 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐶) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ⊆ 𝐶)
473, 8, 44, 46syl3anc 1483 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ⊆ 𝐶)
48 simpl1 1235 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
49 simpl2 1237 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐼𝑉)
50 ssrab2 3891 . . . . . . 7 {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽} ⊆ 𝐵
517, 50eqsstri 3839 . . . . . 6 𝐶𝐵
5251a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶𝐵)
5352sselda 3805 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐵)
54 eqid 2813 . . . . 5 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
559, 1, 5, 54uvcresum 20346 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)))
5648, 49, 53, 55syl3anc 1483 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)))
57 eqid 2813 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
58 lmodabl 19117 . . . . . 6 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
593, 58syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑌 ∈ Abel)
6059adantr 468 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑌 ∈ Abel)
61 imassrn 5694 . . . . . . . 8 (𝑈𝐽) ⊆ ran 𝑈
6211frnd 6266 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ran 𝑈𝐵)
6361, 62syl5ss 3816 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵)
645, 4, 45lspcl 19186 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
653, 63, 64syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
664lsssubg 19167 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
673, 65, 66syl2anc 575 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
6867adantr 468 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
691, 17, 5frlmbasf 20318 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
70693ad2antl2 1230 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
7170ffnd 6260 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 Fn 𝐼)
7236adantr 468 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑈 Fn 𝐼)
73 simpl2 1237 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐼𝑉)
74 inidm 4026 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
7571, 72, 73, 73, 74offn 7141 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
7653, 75syldan 581 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
7753, 71syldan 581 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
7877adantrr 699 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
7936adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑈 Fn 𝐼)
80 simpl2 1237 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝐼𝑉)
81 simprr 780 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
82 fnfvof 7144 . . . . . . . . 9 (((𝑦 Fn 𝐼𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
8378, 79, 80, 81, 82syl22anc 858 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
843adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑌 ∈ LMod)
8565adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
8651sseli 3801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐶𝑦𝐵)
8786, 70sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8887adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8913sselda 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → 𝑧𝐼)
9089adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑧𝐼)
9188, 90ffvelrnd 6585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑦𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
921frlmsca 20311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
93923adant3 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
9493fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
9594adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
9691, 95eleqtrd 2894 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑦𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
975, 45lspssid 19195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
983, 63, 97syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
9998adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
100 funfvima2 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → (𝑧𝐽 → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽)))
10138, 41, 100syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑧𝐽 → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽)))
102101imp 395 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽))
103102adantrl 698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽))
10499, 103sseldd 3806 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
105 eqid 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
106 eqid 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
107105, 54, 106, 4lssvscl 19165 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
10884, 85, 96, 104, 107syl22anc 858 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
109108anassrs 455 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
110109adantlrr 703 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
111 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
112111adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
113112adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
114 simplrr 787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑧𝐼)
115 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ¬ 𝑧𝐽)
116114, 115eldifd 3787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑧 ∈ (𝐼𝐽))
117 oveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 supp 0 ) = (𝑦 supp 0 ))
118117sseq1d 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
119118, 7elrab2 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐶 ↔ (𝑦𝐵 ∧ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
120119simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐶 → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
121120adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
1226fvexi 6425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 0 ∈ V)
12487, 121, 49, 123suppssr 7564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑦𝑧) = 0 )
125113, 116, 124syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑦𝑧) = 0 )
12693fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
1276, 126syl5eq 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
128127ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
129125, 128eqtrd 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑦𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
130129oveq1d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
1313ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑌 ∈ LMod)
13211ffvelrnda 6584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
133132adantrl 698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
134133adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
135 eqid 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
1365, 105, 54, 135, 57lmod0vs 19103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑧) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
137131, 134, 136syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
138130, 137eqtrd 2847 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
13965ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
14057, 4lss0cl 19154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (0g𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
141131, 139, 140syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (0g𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
142138, 141eqeltrd 2892 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
143110, 142pm2.61dan 838 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
14483, 143eqeltrd 2892 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
145144expr 446 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑧𝐼 → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
146145ralrimiv 3160 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ∀𝑧𝐼 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
147 ffnfv 6613 . . . . 5 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈𝐽)) ↔ ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑧𝐼 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
14876, 146, 147sylanbrc 574 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈𝐽)))
1491, 6, 5frlmbasfsupp 20316 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 finSupp 0 )
150149fsuppimpd 8524 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
15149, 53, 150syl2anc 575 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
152 dffn2 6261 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
15375, 152sylib 209 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
15471adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑦 Fn 𝐼)
15536ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑈 Fn 𝐼)
156 simpll2 1264 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝐼𝑉)
157 eldifi 3938 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 )) → 𝑥𝐼)
158157adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑥𝐼)
159 fnfvof 7144 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 Fn 𝐼𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
160154, 155, 156, 158, 159syl22anc 858 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
161 ssidd 3828 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
162122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ V)
16370, 161, 73, 162suppssr 7564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦𝑥) = 0 )
164127ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
165163, 164eqtrd 2847 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
166165oveq1d 6892 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
1673ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑌 ∈ LMod)
16811adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑈:𝐼𝐵)
169 ffvelrn 6582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈:𝐼𝐵𝑥𝐼) → (𝑈𝑥) ∈ 𝐵)
170168, 157, 169syl2an 585 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑈𝑥) ∈ 𝐵)
1715, 105, 54, 135, 57lmod0vs 19103 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = (0g𝑌))
172167, 170, 171syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = (0g𝑌))
173160, 166, 1723eqtrd 2851 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = (0g𝑌))
174153, 173suppss 7563 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
17553, 174syldan 581 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
176 ssfi 8422 . . . . . 6 (((𝑦 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 )) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin)
177151, 175, 176syl2anc 575 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin)
178 simp2 1160 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐼𝑉)
1791, 17, 5frlmbasmap 20317 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
180178, 86, 179syl2an 585 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
181 elmapfn 8118 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
182180, 181syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
18311adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈:𝐼𝐵)
184183ffnd 6260 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
185182, 184, 49, 49, 74offn 7141 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
186 fnfun 6202 . . . . . . 7 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 → Fun (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈))
187185, 186syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → Fun (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈))
188 ovexd 6911 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∈ V)
189 fvex 6424 . . . . . . 7 (0g𝑌) ∈ V
190189a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (0g𝑌) ∈ V)
191 funisfsupp 8522 . . . . . 6 ((Fun (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∧ (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∈ V ∧ (0g𝑌) ∈ V) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌) ↔ ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin))
192187, 188, 190, 191syl3anc 1483 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌) ↔ ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin))
193177, 192mpbird 248 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌))
19457, 60, 49, 68, 148, 193gsumsubgcl 18524 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑌 Σg (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
19556, 194eqeltrd 2892 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
19647, 195eqelssd 3826 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  wral 3103  {crab 3107  Vcvv 3398  cdif 3773  cin 3775  wss 3776  c0 4123   class class class wbr 4851  dom cdm 5318  ran crn 5319  cima 5321  Fun wfun 6098   Fn wfn 6099  wf 6100  cfv 6104  (class class class)co 6877  𝑓 cof 7128   supp csupp 7532  𝑚 cmap 8095  Fincfn 8195   finSupp cfsupp 8517  Basecbs 16071  Scalarcsca 16159   ·𝑠 cvsca 16160  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  SubGrpcsubg 17793  Abelcabl 18398  Ringcrg 18752  LModclmod 19070  LSubSpclss 19139  LSpanclspn 19181   freeLMod cfrlm 20304   unitVec cuvc 20335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-seq 13028  df-hash 13341  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-hom 16180  df-cco 16181  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17796  df-ghm 17863  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-abl 18400  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754  df-subrg 18985  df-lmod 19072  df-lss 19140  df-lsp 19182  df-lmhm 19232  df-sra 19384  df-rgmod 19385  df-dsmm 20290  df-frlm 20305  df-uvc 20336
This theorem is referenced by:  frlmlbs  20350
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