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Theorem frlmsslsp 21660
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslsp.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmsslsp.k 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
frlmsslsp.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslsp.z 0 = (0g𝑅)
frlmsslsp.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
21frlmlmod 21613 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)
323adant3 1131 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
4 eqid 2731 . . . 4 (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
5 frlmsslsp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 frlmsslsp.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
7 frlmsslsp.c . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 21639 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌))
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
109, 1, 5uvcff 21655 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
11103adant3 1131 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑈:𝐼𝐵)
1211adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈:𝐼𝐵)
13 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽𝐼)
1413sselda 3982 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝐼)
1512, 14ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦) ∈ 𝐵)
16 simpl2 1191 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
17 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
181, 17, 5frlmbasf 21624 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑈𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
1916, 15, 18syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
20 simpll1 1211 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
21 simpll2 1212 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐼𝑉)
2214adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝐼)
23 eldifi 4126 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑥𝐼)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥𝐼)
25 elneeldif 3962 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
2625adantll 711 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
279, 20, 21, 22, 24, 26, 6uvcvv0 21654 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑈𝑦)‘𝑥) = 0 )
2819, 27suppss 8184 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
29 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑈𝑦) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈𝑦) supp 0 ))
3029sseq1d 4013 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑈𝑦) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
3130, 7elrab2 3686 . . . . . 6 ((𝑈𝑦) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
3215, 28, 31sylanbrc 582 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦) ∈ 𝐶)
3332ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶)
3411ffund 6721 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → Fun 𝑈)
3511fdmd 6728 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → dom 𝑈 = 𝐼)
3613, 35sseqtrrd 4023 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
37 funimass4 6956 . . . . 5 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶))
3834, 36, 37syl2anc 583 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶))
3933, 38mpbird 257 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐶)
40 frlmsslsp.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
414, 40lspssp 20831 . . 3 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐶) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ⊆ 𝐶)
423, 8, 39, 41syl3anc 1370 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ⊆ 𝐶)
43 simpl1 1190 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
44 simpl2 1191 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐼𝑉)
457ssrab3 4080 . . . . . 6 𝐶𝐵
4645a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶𝐵)
4746sselda 3982 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐵)
48 eqid 2731 . . . . 5 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
499, 1, 5, 48uvcresum 21657 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)))
5043, 44, 47, 49syl3anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)))
51 eqid 2731 . . . 4 (0g𝑌) = (0g𝑌)
52 lmodabl 20751 . . . . . 6 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
533, 52syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑌 ∈ Abel)
5453adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑌 ∈ Abel)
55 imassrn 6070 . . . . . . . 8 (𝑈𝐽) ⊆ ran 𝑈
5611frnd 6725 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ran 𝑈𝐵)
5755, 56sstrid 3993 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵)
585, 4, 40lspcl 20819 . . . . . . 7 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
593, 57, 58syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
604lsssubg 20800 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
613, 59, 60syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
6261adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
631, 17, 5frlmbasf 21624 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
64633ad2antl2 1185 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6564ffnd 6718 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 Fn 𝐼)
6611ffnd 6718 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
6766adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑈 Fn 𝐼)
68 simpl2 1191 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐼𝑉)
69 inidm 4218 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
7065, 67, 68, 68, 69offn 7687 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
7147, 70syldan 590 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
7247, 65syldan 590 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
7372adantrr 714 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
7466adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑈 Fn 𝐼)
75 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝐼𝑉)
76 simprr 770 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
77 fnfvof 7691 . . . . . . . . 9 (((𝑦 Fn 𝐼𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑧𝐼)) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
7873, 74, 75, 76, 77syl22anc 836 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
793adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑌 ∈ LMod)
8059adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
8145sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐶𝑦𝐵)
8281, 64sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8382adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
8413sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → 𝑧𝐼)
8584adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑧𝐼)
8683, 85ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑦𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
871frlmsca 21617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
88873adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
8988fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
9186, 90eleqtrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑦𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
925, 40lspssid 20828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
933, 57, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
95 funfvima2 7235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → (𝑧𝐽 → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽)))
9634, 36, 95syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑧𝐽 → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽)))
9796imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽))
9897adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽))
9994, 98sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
100 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
101 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
102100, 48, 101, 4lssvscl 20798 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
10379, 80, 91, 99, 102syl22anc 836 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
104103anassrs 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
105104adantlrr 718 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
106 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
107106adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
108107adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
109 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑧𝐼)
110 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ¬ 𝑧𝐽)
111109, 110eldifd 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑧 ∈ (𝐼𝐽))
112 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 supp 0 ) = (𝑦 supp 0 ))
113112sseq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
114113, 7elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐶 ↔ (𝑦𝐵 ∧ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
115114simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐶 → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
1176fvexi 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 0 ∈ V)
11982, 116, 44, 118suppssr 8186 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑦𝑧) = 0 )
120108, 111, 119syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑦𝑧) = 0 )
12188fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
1226, 121eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
123122ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
124120, 123eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑦𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
125124oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
1263ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑌 ∈ LMod)
12711ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
128127adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
129128adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
130 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
1315, 100, 48, 130, 51lmod0vs 20737 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑧) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
132126, 129, 131syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
133125, 132eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
13459ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
13551, 4lss0cl 20790 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (0g𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
136126, 134, 135syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (0g𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
137133, 136eqeltrd 2832 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
138105, 137pm2.61dan 810 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
13978, 138eqeltrd 2832 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
140139expr 456 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑧𝐼 → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
141140ralrimiv 3144 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ∀𝑧𝐼 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
142 ffnfv 7120 . . . . 5 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈𝐽)) ↔ ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑧𝐼 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
14371, 141, 142sylanbrc 582 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈𝐽)))
1441, 6, 5frlmbasfsupp 21622 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 finSupp 0 )
145144fsuppimpd 9375 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
14644, 47, 145syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
147 dffn2 6719 . . . . . . . . 9 ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ↔ (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
14870, 147sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
14965adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑦 Fn 𝐼)
15066ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑈 Fn 𝐼)
151 simpll2 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝐼𝑉)
152 eldifi 4126 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 )) → 𝑥𝐼)
153152adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑥𝐼)
154 fnfvof 7691 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 Fn 𝐼𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
155149, 150, 151, 153, 154syl22anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
156 ssidd 4005 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
157117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ V)
15864, 156, 68, 157suppssr 8186 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦𝑥) = 0 )
159122ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
160158, 159eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
161160oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
1623ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑌 ∈ LMod)
16311adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑈:𝐼𝐵)
164 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈:𝐼𝐵𝑥𝐼) → (𝑈𝑥) ∈ 𝐵)
165163, 152, 164syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑈𝑥) ∈ 𝐵)
1665, 100, 48, 130, 51lmod0vs 20737 . . . . . . . . . 10 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = (0g𝑌))
167162, 165, 166syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = (0g𝑌))
168155, 161, 1673eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = (0g𝑌))
169148, 168suppss 8184 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
17047, 169syldan 590 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
171146, 170ssfid 9273 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin)
172 simp2 1136 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐼𝑉)
1731, 17, 5frlmbasmap 21623 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
174172, 81, 173syl2an 595 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
175 elmapfn 8865 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
176174, 175syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
17711adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈:𝐼𝐵)
178177ffnd 6718 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
179176, 178, 44, 44offun 7688 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → Fun (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈))
180 ovexd 7447 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∈ V)
181 fvexd 6906 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (0g𝑌) ∈ V)
182 funisfsupp 9373 . . . . . 6 ((Fun (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∧ (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∈ V ∧ (0g𝑌) ∈ V) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌) ↔ ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin))
183179, 180, 181, 182syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌) ↔ ((𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin))
184171, 183mpbird 257 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌))
18551, 54, 44, 62, 143, 184gsumsubgcl 19836 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑌 Σg (𝑦f ( ·𝑠𝑌)𝑈)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
18650, 185eqeltrd 2832 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
18742, 186eqelssd 4003 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  {crab 3431  Vcvv 3473  cdif 3945  wss 3948   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  ran crn 5677  cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  f cof 7672   supp csupp 8151  m cmap 8826  Fincfn 8945   finSupp cfsupp 9367  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  SubGrpcsubg 19043  Abelcabl 19697  Ringcrg 20134  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814   freeLMod cfrlm 21610   unitVec cuvc 21646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lmhm 20865  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21596  df-frlm 21611  df-uvc 21647
This theorem is referenced by:  frlmlbs  21661
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