MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmssuvc1 21732
Description: A scalar multiple of a unit vector included in a support-restriction subspace is included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
frlmssuvc1.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
frlmssuvc1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΉ)
frlmssuvc1.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
frlmssuvc1.c 𝐢 = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘₯ supp 0 ) βŠ† 𝐽}
frlmssuvc1.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmssuvc1.j (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
frlmssuvc1.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
frlmssuvc1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆβ€˜πΏ)) ∈ 𝐢)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑅   π‘₯, 0   πœ‘,π‘₯   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,𝑉   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐢(π‘₯)
Proof of Theorem frlmssuvc1
StepHypRef Expression
1 frlmssuvc1.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 frlmssuvc1.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 frlmssuvc1.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
43frlmlmod 21687 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 ∈ LMod)
51, 2, 4syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ LMod)
6 frlmssuvc1.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† 𝐼)
7 eqid 2725 . . . 4 (LSubSpβ€˜πΉ) = (LSubSpβ€˜πΉ)
8 frlmssuvc1.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
9 frlmssuvc1.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
10 frlmssuvc1.c . . . 4 𝐢 = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ (π‘₯ supp 0 ) βŠ† 𝐽}
113, 7, 8, 9, 10frlmsslss2 21713 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜πΉ))
121, 2, 6, 11syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜πΉ))
13 frlmssuvc1.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
14 frlmssuvc1.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
153frlmsca 21691 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))
161, 2, 15syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜πΉ))
1716fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)))
1814, 17eqtrid 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)))
1913, 18eleqtrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)))
20 frlmssuvc1.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑅 unitVec 𝐼)
2120, 3, 8uvcff 21729 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
221, 2, 21syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:𝐼⟢𝐡)
23 frlmssuvc1.l . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐽)
246, 23sseldd 3973 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐼)
2522, 24ffvelcdmd 7090 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΏ) ∈ 𝐡)
263, 14, 8frlmbasf 21698 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆβ€˜πΏ) ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜πΏ):𝐼⟢𝐾)
272, 25, 26syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΏ):𝐼⟢𝐾)
281adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
292adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3024adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ 𝐿 ∈ 𝐼)
31 eldifi 4119 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
3231adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
33 disjdif 4467 . . . . . 6 (𝐽 ∩ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = βˆ…
34 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽))
35 disjne 4450 . . . . . 6 (((𝐽 ∩ (𝐼 βˆ– 𝐽)) = βˆ… ∧ 𝐿 ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ 𝐿 β‰  π‘₯)
3633, 23, 34, 35mp3an2ani 1464 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ 𝐿 β‰  π‘₯)
3720, 28, 29, 30, 32, 36, 9uvcvv0 21728 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– 𝐽)) β†’ ((π‘ˆβ€˜πΏ)β€˜π‘₯) = 0 )
3827, 37suppss 8197 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘ˆβ€˜πΏ) supp 0 ) βŠ† 𝐽)
39 oveq1 7423 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜πΏ) β†’ (π‘₯ supp 0 ) = ((π‘ˆβ€˜πΏ) supp 0 ))
4039sseq1d 4004 . . . 4 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜πΏ) β†’ ((π‘₯ supp 0 ) βŠ† 𝐽 ↔ ((π‘ˆβ€˜πΏ) supp 0 ) βŠ† 𝐽))
4140, 10elrab2 3677 . . 3 ((π‘ˆβ€˜πΏ) ∈ 𝐢 ↔ ((π‘ˆβ€˜πΏ) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘ˆβ€˜πΏ) supp 0 ) βŠ† 𝐽))
4225, 38, 41sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜πΏ) ∈ 𝐢)
43 eqid 2725 . . 3 (Scalarβ€˜πΉ) = (Scalarβ€˜πΉ)
44 frlmssuvc1.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΉ)
45 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ))
4643, 44, 45, 7lssvscl 20843 . 2 (((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ (LSubSpβ€˜πΉ)) ∧ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΉ)) ∧ (π‘ˆβ€˜πΏ) ∈ 𝐢)) β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆβ€˜πΏ)) ∈ 𝐢)
475, 12, 19, 42, 46syl22anc 837 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· (π‘ˆβ€˜πΏ)) ∈ 𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {crab 3419   βˆ– cdif 3936   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   supp csupp 8163  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  Ringcrg 20177  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819   freeLMod cfrlm 21684   unitVec cuvc 21720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lmhm 20911  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-uvc 21721
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator