MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmssuvc1 21792
Description: A scalar multiple of a unit vector included in a support-restriction subspace is included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t · = ( ·𝑠𝐹)
frlmssuvc1.z 0 = (0g𝑅)
frlmssuvc1.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmssuvc1.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmssuvc1.l (𝜑𝐿𝐽)
frlmssuvc1.x (𝜑𝑋𝐾)
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc1
StepHypRef Expression
1 frlmssuvc1.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 frlmssuvc1.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 frlmssuvc1.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
43frlmlmod 21747 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
51, 2, 4syl2anc 582 . 2 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
6 frlmssuvc1.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
7 eqid 2726 . . . 4 (LSubSp‘𝐹) = (LSubSp‘𝐹)
8 frlmssuvc1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐹)
9 frlmssuvc1.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
10 frlmssuvc1.c . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
113, 7, 8, 9, 10frlmsslss2 21773 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹))
121, 2, 6, 11syl3anc 1368 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹))
13 frlmssuvc1.x . . 3 (𝜑𝑋𝐾)
14 frlmssuvc1.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
153frlmsca 21751 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
161, 2, 15syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1716fveq2d 6905 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
1814, 17eqtrid 2778 . . 3 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
1913, 18eleqtrd 2828 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
20 frlmssuvc1.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2120, 3, 8uvcff 21789 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
221, 2, 21syl2anc 582 . . . 4 (𝜑𝑈:𝐼𝐵)
23 frlmssuvc1.l . . . . 5 (𝜑𝐿𝐽)
246, 23sseldd 3980 . . . 4 (𝜑𝐿𝐼)
2522, 24ffvelcdmd 7099 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐵)
263, 14, 8frlmbasf 21758 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑈𝐿):𝐼𝐾)
272, 25, 26syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝐿):𝐼𝐾)
281adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
292adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐼𝑉)
3024adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝐼)
31 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑥𝐼)
3231adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥𝐼)
33 disjdif 4476 . . . . . 6 (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅
34 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐼𝐽))
35 disjne 4459 . . . . . 6 (((𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅ ∧ 𝐿𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝑥)
3633, 23, 34, 35mp3an2ani 1465 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐿𝑥)
3720, 28, 29, 30, 32, 36, 9uvcvv0 21788 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑈𝐿)‘𝑥) = 0 )
3827, 37suppss 8208 . . 3 (𝜑 → ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
39 oveq1 7431 . . . . 5 (𝑥 = (𝑈𝐿) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈𝐿) supp 0 ))
4039sseq1d 4011 . . . 4 (𝑥 = (𝑈𝐿) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
4140, 10elrab2 3684 . . 3 ((𝑈𝐿) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈𝐿) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈𝐿) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
4225, 38, 41sylanbrc 581 . 2 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐶)
43 eqid 2726 . . 3 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
44 frlmssuvc1.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐹)
45 eqid 2726 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
4643, 44, 45, 7lssvscl 20932 . 2 (((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝐹)) ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐶)) → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
475, 12, 19, 42, 46syl22anc 837 1 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  {crab 3419  cdif 3944  cin 3946  wss 3947  c0 4325  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424   supp csupp 8174  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269   ·𝑠 cvsca 17270  0gc0g 17454  Ringcrg 20216  LModclmod 20836  LSubSpclss 20908   freeLMod cfrlm 21744   unitVec cuvc 21780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-subrg 20553  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lmhm 21000  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-uvc 21781
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator