Theorem frlmssuvc2 20501

Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmssuvc1.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
frlmssuvc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmssuvc1.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmssuvc1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
frlmssuvc2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
frlmssuvc2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
frlmssuvc2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmssuvc2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
2	1	eldifad 3810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐼)
3		frlmssuvc1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		frlmssuvc1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5		frlmssuvc1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
6		frlmssuvc1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		frlmssuvc2.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
9		frlmssuvc1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10		frlmssuvc1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
11	10, 3, 4	uvcff 20497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
12	9, 6, 11	syl2anc 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
13	12, 2	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵)
14		frlmssuvc1.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
15		eqid 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16	3, 4, 5, 6, 8, 13, 2, 14, 15	frlmvscaval 20474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)))
17		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
18	10, 9, 6, 2, 17	uvcvv1 20495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐿)‘𝐿) = (1r‘𝑅))
19	18	oveq2d 6921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
20	5, 15, 17	ringridm 18926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
21	9, 8, 20	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
22	16, 19, 21	3eqtrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
23		eldifsni 4540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
24	7, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
25	22, 24	eqnetrd 3066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
26		fveq2 6433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿))
27	26	neeq1d 3058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
28	27	elrab 3585	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ↔ (𝐿 ∈ 𝐼 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
29	2, 25, 28	sylanbrc 580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
30	1	eldifbd 3811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 ∈ 𝐽)
31		nelss 3889	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿 ∈ 𝐽) → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
32	29, 30, 31	syl2anc 581	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
33	3	frlmlmod 20456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
34	9, 6, 33	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
35	3	frlmsca 20460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
36	9, 6, 35	syl2anc 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
37	36	fveq2d 6437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
38	5, 37	syl5eq 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
39	8, 38	eleqtrd 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
40		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
41		eqid 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
42	4, 40, 14, 41	lmodvscl 19236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
43	34, 39, 13, 42	syl3anc 1496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
44	3, 5, 4	frlmbasf 20467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
45	6, 43, 44	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
46	45	ffnd 6279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼)
47		frlmssuvc1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
48	47	fvexi 6447	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
49	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
50		suppvalfn 7566	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
51	46, 6, 49, 50	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
52	51	sseq1d 3857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
53	32, 52	mtbird 317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
54	53	intnand 484	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
55		oveq1 6912	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ))
56	55	sseq1d 3857	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
57		frlmssuvc1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
58	56, 57	elrab2 3589	. 2 ⊢ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
59	54, 58	sylnibr 321	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  {crab 3121  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  {csn 4397   Fn wfn 6118  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905   supp csupp 7559  Basecbs 16222  ._rcmulr 16306  Scalarcsca 16308   ·_𝑠 cvsca 16309  0_gc0g 16453  1_rcur 18855  Ringcrg 18901  LModclmod 19219   freeLMod cfrlm 20453   unitVec cuvc 20488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-subrg 19134  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-dsmm 20439  df-frlm 20454  df-uvc 20489

This theorem is referenced by:  frlmlbs  20503