Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fveq2 6843 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ = πΏ β ((π Β· (πβπΏ))βπ₯) = ((π Β· (πβπΏ))βπΏ)) |
2 | 1 | neeq1d 3000 |
. . . . . 6
β’ (π₯ = πΏ β (((π Β· (πβπΏ))βπ₯) β 0 β ((π Β· (πβπΏ))βπΏ) β 0 )) |
3 | | frlmssuvc2.l |
. . . . . . 7
β’ (π β πΏ β (πΌ β π½)) |
4 | 3 | eldifad 3923 |
. . . . . 6
β’ (π β πΏ β πΌ) |
5 | | frlmssuvc1.f |
. . . . . . . . 9
β’ πΉ = (π
freeLMod πΌ) |
6 | | frlmssuvc1.b |
. . . . . . . . 9
β’ π΅ = (BaseβπΉ) |
7 | | frlmssuvc1.k |
. . . . . . . . 9
β’ πΎ = (Baseβπ
) |
8 | | frlmssuvc1.i |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΌ β π) |
9 | | frlmssuvc2.x |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π β (πΎ β { 0 })) |
10 | 9 | eldifad 3923 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β πΎ) |
11 | | frlmssuvc1.r |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β π
β Ring) |
12 | | frlmssuvc1.u |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = (π
unitVec πΌ) |
13 | 12, 5, 6 | uvcff 21213 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β π) β π:πΌβΆπ΅) |
14 | 11, 8, 13 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π:πΌβΆπ΅) |
15 | 14, 4 | ffvelcdmd 7037 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β (πβπΏ) β π΅) |
16 | | frlmssuvc1.t |
. . . . . . . . 9
β’ Β· = (
Β·π βπΉ) |
17 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’
(.rβπ
) = (.rβπ
) |
18 | 5, 6, 7, 8, 10, 15, 4, 16, 17 | frlmvscaval 21190 |
. . . . . . . 8
β’ (π β ((π Β· (πβπΏ))βπΏ) = (π(.rβπ
)((πβπΏ)βπΏ))) |
19 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(1rβπ
) = (1rβπ
) |
20 | 12, 11, 8, 4, 19 | uvcvv1 21211 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β ((πβπΏ)βπΏ) = (1rβπ
)) |
21 | 20 | oveq2d 7374 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π(.rβπ
)((πβπΏ)βπΏ)) = (π(.rβπ
)(1rβπ
))) |
22 | 7, 17, 19 | ringridm 19998 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π
β Ring β§ π β πΎ) β (π(.rβπ
)(1rβπ
)) = π) |
23 | 11, 10, 22 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π(.rβπ
)(1rβπ
)) = π) |
24 | 18, 21, 23 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
β’ (π β ((π Β· (πβπΏ))βπΏ) = π) |
25 | | eldifsni 4751 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (πΎ β { 0 }) β π β 0 ) |
26 | 9, 25 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π β π β 0 ) |
27 | 24, 26 | eqnetrd 3008 |
. . . . . 6
β’ (π β ((π Β· (πβπΏ))βπΏ) β 0 ) |
28 | 2, 4, 27 | elrabd 3648 |
. . . . 5
β’ (π β πΏ β {π₯ β πΌ β£ ((π Β· (πβπΏ))βπ₯) β 0 }) |
29 | 3 | eldifbd 3924 |
. . . . 5
β’ (π β Β¬ πΏ β π½) |
30 | | nelss 4008 |
. . . . 5
β’ ((πΏ β {π₯ β πΌ β£ ((π Β· (πβπΏ))βπ₯) β 0 } β§ Β¬ πΏ β π½) β Β¬ {π₯ β πΌ β£ ((π Β· (πβπΏ))βπ₯) β 0 } β π½) |
31 | 28, 29, 30 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (π β Β¬ {π₯ β πΌ β£ ((π Β· (πβπΏ))βπ₯) β 0 } β π½) |
32 | 5 | frlmlmod 21171 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β π) β πΉ β LMod) |
33 | 11, 8, 32 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β πΉ β LMod) |
34 | 5 | frlmsca 21175 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β π) β π
= (ScalarβπΉ)) |
35 | 11, 8, 34 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π
= (ScalarβπΉ)) |
36 | 35 | fveq2d 6847 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (Baseβπ
) =
(Baseβ(ScalarβπΉ))) |
37 | 7, 36 | eqtrid 2785 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β πΎ = (Baseβ(ScalarβπΉ))) |
38 | 10, 37 | eleqtrd 2836 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π β (Baseβ(ScalarβπΉ))) |
39 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(ScalarβπΉ) =
(ScalarβπΉ) |
40 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(Baseβ(ScalarβπΉ)) = (Baseβ(ScalarβπΉ)) |
41 | 6, 39, 16, 40 | lmodvscl 20354 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΉ β LMod β§ π β
(Baseβ(ScalarβπΉ)) β§ (πβπΏ) β π΅) β (π Β· (πβπΏ)) β π΅) |
42 | 33, 38, 15, 41 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (π β (π Β· (πβπΏ)) β π΅) |
43 | 5, 7, 6 | frlmbasf 21182 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΌ β π β§ (π Β· (πβπΏ)) β π΅) β (π Β· (πβπΏ)):πΌβΆπΎ) |
44 | 8, 42, 43 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (π β (π Β· (πβπΏ)):πΌβΆπΎ) |
45 | 44 | ffnd 6670 |
. . . . . 6
β’ (π β (π Β· (πβπΏ)) Fn πΌ) |
46 | | frlmssuvc1.z |
. . . . . . . 8
β’ 0 =
(0gβπ
) |
47 | 46 | fvexi 6857 |
. . . . . . 7
β’ 0 β
V |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . 6
β’ (π β 0 β V) |
49 | | suppvalfn 8101 |
. . . . . 6
β’ (((π Β· (πβπΏ)) Fn πΌ β§ πΌ β π β§ 0 β V) β ((π Β· (πβπΏ)) supp 0 ) = {π₯ β πΌ β£ ((π Β· (πβπΏ))βπ₯) β 0 }) |
50 | 45, 8, 48, 49 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β ((π Β· (πβπΏ)) supp 0 ) = {π₯ β πΌ β£ ((π Β· (πβπΏ))βπ₯) β 0 }) |
51 | 50 | sseq1d 3976 |
. . . 4
β’ (π β (((π Β· (πβπΏ)) supp 0 ) β π½ β {π₯ β πΌ β£ ((π Β· (πβπΏ))βπ₯) β 0 } β π½)) |
52 | 31, 51 | mtbird 325 |
. . 3
β’ (π β Β¬ ((π Β· (πβπΏ)) supp 0 ) β π½) |
53 | 52 | intnand 490 |
. 2
β’ (π β Β¬ ((π Β· (πβπΏ)) β π΅ β§ ((π Β· (πβπΏ)) supp 0 ) β π½)) |
54 | | oveq1 7365 |
. . . 4
β’ (π₯ = (π Β· (πβπΏ)) β (π₯ supp 0 ) = ((π Β· (πβπΏ)) supp 0 )) |
55 | 54 | sseq1d 3976 |
. . 3
β’ (π₯ = (π Β· (πβπΏ)) β ((π₯ supp 0 ) β π½ β ((π Β· (πβπΏ)) supp 0 ) β π½)) |
56 | | frlmssuvc1.c |
. . 3
β’ πΆ = {π₯ β π΅ β£ (π₯ supp 0 ) β π½} |
57 | 55, 56 | elrab2 3649 |
. 2
β’ ((π Β· (πβπΏ)) β πΆ β ((π Β· (πβπΏ)) β π΅ β§ ((π Β· (πβπΏ)) supp 0 ) β π½)) |
58 | 53, 57 | sylnibr 329 |
1
β’ (π β Β¬ (π Β· (πβπΏ)) β πΆ) |