Theorem frlmssuvc2 21702

Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmssuvc1.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
frlmssuvc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmssuvc1.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmssuvc1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
frlmssuvc2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
frlmssuvc2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
frlmssuvc2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿))
2	1	neeq1d 2984	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
3		frlmssuvc2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
4	3	eldifad 3915	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐼)
5		frlmssuvc1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6		frlmssuvc1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		frlmssuvc1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		frlmssuvc1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		frlmssuvc2.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
11		frlmssuvc1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		frlmssuvc1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
13	12, 5, 6	uvcff 21698	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
14	11, 8, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
15	14, 4	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵)
16		frlmssuvc1.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
17		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 10, 15, 4, 16, 17	frlmvscaval 21675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)))
19		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	12, 11, 8, 4, 19	uvcvv1 21696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐿)‘𝐿) = (1r‘𝑅))
21	20	oveq2d 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
22	7, 17, 19	ringridm 20155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
23	11, 10, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
24	18, 21, 23	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
25		eldifsni 4741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
26	9, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	24, 26	eqnetrd 2992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
28	2, 4, 27	elrabd 3650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
29	3	eldifbd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 ∈ 𝐽)
30		nelss 4001	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿 ∈ 𝐽) → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
32	5	frlmlmod 21656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
33	11, 8, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
34	5	frlmsca 21660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
35	11, 8, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
36	35	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
37	7, 36	eqtrid 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
38	10, 37	eleqtrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
39		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
40		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
41	6, 39, 16, 40	lmodvscl 20781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 15, 41	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
43	5, 7, 6	frlmbasf 21667	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
44	8, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
45	44	ffnd 6653	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼)
46		frlmssuvc1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
47	46	fvexi 6836	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
49		suppvalfn 8101	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
50	45, 8, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
51	50	sseq1d 3967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
52	31, 51	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
53	52	intnand 488	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
54		oveq1 7356	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ))
55	54	sseq1d 3967	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
56		frlmssuvc1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
57	55, 56	elrab2 3651	. 2 ⊢ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
58	53, 57	sylnibr 329	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  {csn 4577   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   supp csupp 8093  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  LModclmod 20763   freeLMod cfrlm 21653   unitVec cuvc 21689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-subg 19002  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-subrg 20455  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-uvc 21690

This theorem is referenced by:  frlmlbs  21704