MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmssuvc2 21108
Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t · = ( ·𝑠𝐹)
frlmssuvc1.z 0 = (0g𝑅)
frlmssuvc1.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmssuvc1.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmssuvc2.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐼𝐽))
frlmssuvc2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc2 (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2
StepHypRef Expression
1 fveq2 6825 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿))
21neeq1d 3000 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
3 frlmssuvc2.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐼𝐽))
43eldifad 3910 . . . . . 6 (𝜑𝐿𝐼)
5 frlmssuvc1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6 frlmssuvc1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐹)
7 frlmssuvc1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 frlmssuvc1.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
9 frlmssuvc2.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
109eldifad 3910 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
11 frlmssuvc1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 frlmssuvc1.u . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1312, 5, 6uvcff 21104 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
1411, 8, 13syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈:𝐼𝐵)
1514, 4ffvelcdmd 7018 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐵)
16 frlmssuvc1.t . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝐹)
17 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
185, 6, 7, 8, 10, 15, 4, 16, 17frlmvscaval 21081 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r𝑅)((𝑈𝐿)‘𝐿)))
19 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2012, 11, 8, 4, 19uvcvv1 21102 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐿)‘𝐿) = (1r𝑅))
2120oveq2d 7353 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)((𝑈𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)))
227, 17, 19ringridm 19906 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑋)
2311, 10, 22syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑋)
2418, 21, 233eqtrd 2780 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
25 eldifsni 4737 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
269, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋0 )
2724, 26eqnetrd 3008 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
282, 4, 27elrabd 3636 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
293eldifbd 3911 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐿𝐽)
30 nelss 3995 . . . . 5 ((𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿𝐽) → ¬ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
3128, 29, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ¬ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
325frlmlmod 21062 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
3311, 8, 32syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
345frlmsca 21066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3511, 8, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3635fveq2d 6829 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
377, 36eqtrid 2788 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
3810, 37eleqtrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
39 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
40 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
416, 39, 16, 40lmodvscl 20246 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵)
4233, 38, 15, 41syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵)
435, 7, 6frlmbasf 21073 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾)
448, 42, 43syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾)
4544ffnd 6652 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼)
46 frlmssuvc1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
4746fvexi 6839 . . . . . . 7 0 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ V)
49 suppvalfn 8055 . . . . . 6 (((𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
5045, 8, 48, 49syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
5150sseq1d 3963 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
5231, 51mtbird 324 . . 3 (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
5352intnand 489 . 2 (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
54 oveq1 7344 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 · (𝑈𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ))
5554sseq1d 3963 . . 3 (𝑥 = (𝑋 · (𝑈𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
56 frlmssuvc1.c . . 3 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
5755, 56elrab2 3637 . 2 ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
5853, 57sylnibr 328 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  {crab 3403  Vcvv 3441  cdif 3895  wss 3898  {csn 4573   Fn wfn 6474  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337   supp csupp 8047  Basecbs 17009  .rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247  1rcur 19832  Ringcrg 19878  LModclmod 20229   freeLMod cfrlm 21059   unitVec cuvc 21095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-subrg 20127  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-dsmm 21045  df-frlm 21060  df-uvc 21096
This theorem is referenced by:  frlmlbs  21110
  Copyright terms: Public domain W3C validator