Theorem frlmssuvc2 21350

Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmssuvc1.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
frlmssuvc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmssuvc1.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmssuvc1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
frlmssuvc2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
frlmssuvc2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
frlmssuvc2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿))
2	1	neeq1d 3001	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
3		frlmssuvc2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
4	3	eldifad 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐼)
5		frlmssuvc1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6		frlmssuvc1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		frlmssuvc1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		frlmssuvc1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		frlmssuvc2.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
11		frlmssuvc1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		frlmssuvc1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
13	12, 5, 6	uvcff 21346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
14	11, 8, 13	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
15	14, 4	ffvelcdmd 7088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵)
16		frlmssuvc1.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
17		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 10, 15, 4, 16, 17	frlmvscaval 21323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)))
19		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	12, 11, 8, 4, 19	uvcvv1 21344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐿)‘𝐿) = (1r‘𝑅))
21	20	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
22	7, 17, 19	ringridm 20087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
23	11, 10, 22	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
24	18, 21, 23	3eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
25		eldifsni 4794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
26	9, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	24, 26	eqnetrd 3009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
28	2, 4, 27	elrabd 3686	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
29	3	eldifbd 3962	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 ∈ 𝐽)
30		nelss 4048	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿 ∈ 𝐽) → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
31	28, 29, 30	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
32	5	frlmlmod 21304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
33	11, 8, 32	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
34	5	frlmsca 21308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
35	11, 8, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
36	35	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
37	7, 36	eqtrid 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
38	10, 37	eleqtrd 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
39		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
40		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
41	6, 39, 16, 40	lmodvscl 20489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 15, 41	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
43	5, 7, 6	frlmbasf 21315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
44	8, 42, 43	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
45	44	ffnd 6719	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼)
46		frlmssuvc1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
47	46	fvexi 6906	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
49		suppvalfn 8154	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
50	45, 8, 48, 49	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
51	50	sseq1d 4014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
52	31, 51	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
53	52	intnand 490	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
54		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ))
55	54	sseq1d 4014	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
56		frlmssuvc1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
57	55, 56	elrab2 3687	. 2 ⊢ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
58	53, 57	sylnibr 329	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  {csn 4629   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  Basecbs 17144  ._rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·_𝑠 cvsca 17201  0_gc0g 17385  1_rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471   freeLMod cfrlm 21301   unitVec cuvc 21337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-uvc 21338

This theorem is referenced by:  frlmlbs  21352