Theorem frlmssuvc2 21002

Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmssuvc1.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
frlmssuvc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmssuvc1.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmssuvc1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
frlmssuvc2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
frlmssuvc2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
frlmssuvc2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿))
2	1	neeq1d 3003	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
3		frlmssuvc2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
4	3	eldifad 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐼)
5		frlmssuvc1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6		frlmssuvc1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		frlmssuvc1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		frlmssuvc1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		frlmssuvc2.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
11		frlmssuvc1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		frlmssuvc1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
13	12, 5, 6	uvcff 20998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
14	11, 8, 13	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
15	14, 4	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵)
16		frlmssuvc1.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
17		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 10, 15, 4, 16, 17	frlmvscaval 20975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)))
19		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	12, 11, 8, 4, 19	uvcvv1 20996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐿)‘𝐿) = (1r‘𝑅))
21	20	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
22	7, 17, 19	ringridm 19811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
23	11, 10, 22	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
24	18, 21, 23	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
25		eldifsni 4723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
26	9, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	24, 26	eqnetrd 3011	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
28	2, 4, 27	elrabd 3626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
29	3	eldifbd 3900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 ∈ 𝐽)
30		nelss 3984	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿 ∈ 𝐽) → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
31	28, 29, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
32	5	frlmlmod 20956	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
33	11, 8, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
34	5	frlmsca 20960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
35	11, 8, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
36	35	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
37	7, 36	eqtrid 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
38	10, 37	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
39		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
40		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
41	6, 39, 16, 40	lmodvscl 20140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 15, 41	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
43	5, 7, 6	frlmbasf 20967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
44	8, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
45	44	ffnd 6601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼)
46		frlmssuvc1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
47	46	fvexi 6788	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
49		suppvalfn 7985	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
50	45, 8, 48, 49	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
51	50	sseq1d 3952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
52	31, 51	mtbird 325	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
53	52	intnand 489	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
54		oveq1 7282	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ))
55	54	sseq1d 3952	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
56		frlmssuvc1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
57	55, 56	elrab2 3627	. 2 ⊢ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
58	53, 57	sylnibr 329	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068  Vcvv 3432   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  {csn 4561   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   supp csupp 7977  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123   freeLMod cfrlm 20953   unitVec cuvc 20989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-uvc 20990

This theorem is referenced by:  frlmlbs  21004