Theorem frlmssuvc2 22101

Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmssuvc1.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u	⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
frlmssuvc1.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmssuvc1.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
frlmssuvc1.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
frlmssuvc2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
frlmssuvc2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
frlmssuvc2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿))
2	1	neeq1d 3015	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
3		frlmssuvc2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (𝐼 ∖ 𝐽))
4	3	eldifad 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐼)
5		frlmssuvc1.f	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6		frlmssuvc1.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
7		frlmssuvc1.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
8		frlmssuvc1.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		frlmssuvc2.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
11		frlmssuvc1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
12		frlmssuvc1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
13	12, 5, 6	uvcff 22097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
14	11, 8, 13	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈:𝐼⟶𝐵)
15	14, 4	ffvelcdmd 7085	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵)
16		frlmssuvc1.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐹)
17		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	5, 6, 7, 8, 10, 15, 4, 16, 17	frlmvscaval 22074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)))
19		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
20	12, 11, 8, 4, 19	uvcvv1 22095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑈‘𝐿)‘𝐿) = (1r‘𝑅))
21	20	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)((𝑈‘𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)))
22	7, 17, 19	ringridm 20499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
23	11, 10, 22	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑋)
24	18, 21, 23	3eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
25		eldifsni 4753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
26	9, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
27	24, 26	eqnetrd 3023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
28	2, 4, 27	elrabd 3647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
29	3	eldifbd 3912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐿 ∈ 𝐽)
30		nelss 3997	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿 ∈ 𝐽) → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
31	28, 29, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
32	5	frlmlmod 22055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
33	11, 8, 32	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ LMod)
34	5	frlmsca 22059	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
35	11, 8, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
36	35	fveq2d 6889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
37	7, 36	eqtrid 2808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
38	10, 37	eleqtrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
39		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
40		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
41	6, 39, 16, 40	lmodvscl 21153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈‘𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
42	33, 38, 15, 41	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵)
43	5, 7, 6	frlmbasf 22066	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
44	8, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)):𝐼⟶𝐾)
45	44	ffnd 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼)
46		frlmssuvc1.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
47	46	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
49		suppvalfn 8185	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
50	45, 8, 48, 49	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) = {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
51	50	sseq1d 3962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥 ∈ 𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
52	31, 51	mtbird 328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
53	52	intnand 494	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
54		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ))
55	54	sseq1d 3962	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
56		frlmssuvc1.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
57	55, 56	elrab2 3649	. 2 ⊢ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈‘𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
58	53, 57	sylnibr 332	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈‘𝐿)) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  Scalarcsca 17431   ·_𝑠 cvsca 17432  0_gc0g 17610  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  LModclmod 21135   freeLMod cfrlm 22052   unitVec cuvc 22088

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-dsmm 22038  df-frlm 22053  df-uvc 22089

This theorem is used by:  frlmlbs  22103