Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmssuvc2 20925
 Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t · = ( ·𝑠𝐹)
frlmssuvc1.z 0 = (0g𝑅)
frlmssuvc1.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmssuvc1.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmssuvc2.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐼𝐽))
frlmssuvc2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc2 (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2
StepHypRef Expression
1 fveq2 6651 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿))
21neeq1d 3072 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
3 frlmssuvc2.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐼𝐽))
43eldifad 3930 . . . . . 6 (𝜑𝐿𝐼)
5 frlmssuvc1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
6 frlmssuvc1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐹)
7 frlmssuvc1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
8 frlmssuvc1.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
9 frlmssuvc2.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
109eldifad 3930 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
11 frlmssuvc1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 frlmssuvc1.u . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1312, 5, 6uvcff 20921 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
1411, 8, 13syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈:𝐼𝐵)
1514, 4ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐵)
16 frlmssuvc1.t . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝐹)
17 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
185, 6, 7, 8, 10, 15, 4, 16, 17frlmvscaval 20898 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r𝑅)((𝑈𝐿)‘𝐿)))
19 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
2012, 11, 8, 4, 19uvcvv1 20919 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐿)‘𝐿) = (1r𝑅))
2120oveq2d 7154 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)((𝑈𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)))
227, 17, 19ringridm 19311 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑋)
2311, 10, 22syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑋)
2418, 21, 233eqtrd 2863 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
25 eldifsni 4703 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
269, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋0 )
2724, 26eqnetrd 3080 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
282, 4, 27elrabd 3667 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
293eldifbd 3931 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐿𝐽)
30 nelss 4014 . . . . 5 ((𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿𝐽) → ¬ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
3128, 29, 30syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ¬ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
325frlmlmod 20879 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
3311, 8, 32syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
345frlmsca 20883 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3511, 8, 34syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3635fveq2d 6655 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
377, 36syl5eq 2871 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
3810, 37eleqtrd 2918 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
39 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
40 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
416, 39, 16, 40lmodvscl 19637 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵)
4233, 38, 15, 41syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵)
435, 7, 6frlmbasf 20890 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾)
448, 42, 43syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾)
4544ffnd 6496 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼)
46 frlmssuvc1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
4746fvexi 6665 . . . . . . 7 0 ∈ V
4847a1i 11 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ V)
49 suppvalfn 7820 . . . . . 6 (((𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
5045, 8, 48, 49syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
5150sseq1d 3982 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
5231, 51mtbird 328 . . 3 (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
5352intnand 492 . 2 (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
54 oveq1 7145 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 · (𝑈𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ))
5554sseq1d 3982 . . 3 (𝑥 = (𝑋 · (𝑈𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
56 frlmssuvc1.c . . 3 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
5755, 56elrab2 3668 . 2 ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
5853, 57sylnibr 332 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3013  {crab 3136  Vcvv 3479   ∖ cdif 3915   ⊆ wss 3918  {csn 4548   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   supp csupp 7813  Basecbs 16472  .rcmulr 16555  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  1rcur 19240  Ringcrg 19286  LModclmod 19620   freeLMod cfrlm 20876   unitVec cuvc 20912 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-hom 16578  df-cco 16579  df-0g 16704  df-prds 16710  df-pws 16712  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-subg 18265  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-subrg 19519  df-lmod 19622  df-lss 19690  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-dsmm 20862  df-frlm 20877  df-uvc 20913 This theorem is referenced by:  frlmlbs  20927
 Copyright terms: Public domain W3C validator