MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomd 9575
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wdomd.b (𝜑𝐵𝑊)
wdomd.o ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
wdomd (𝜑𝐴* 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd
StepHypRef Expression
1 wdomd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2 abrexexg 7946 . . . 4 (𝐵𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4 wdomd.o . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋)
54ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
65alrimiv 1930 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
7 ssab 4058 . . . 4 (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋})
93, 8ssexd 5324 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
109, 1, 4wdom2d 9574 1 (𝜑𝐴* 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2709  wrex 3070  Vcvv 3474  wss 3948   class class class wbr 5148  * cwdom 9558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-wdom 9559
This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10421  unxpwdom3  41827
  Copyright terms: Public domain W3C validator