Theorem wdomd 9598

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdomd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wdomd.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
wdomd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdomd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		abrexexg 7958	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4		wdomd.o	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
6	5	alrimiv 1923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
7		ssab 4054	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
8	6, 7	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋})
9	3, 8	ssexd 5318	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
10	9, 1, 4	wdom2d 9597	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704  ∃wrex 3065  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5142   ≼^* cwdom 9581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-wdom 9582

This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10444  unxpwdom3  42491