MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomd 9619
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wdomd.b (𝜑𝐵𝑊)
wdomd.o ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
wdomd (𝜑𝐴* 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd
StepHypRef Expression
1 wdomd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2 abrexexg 7984 . . . 4 (𝐵𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4 wdomd.o . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋)
54ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
65alrimiv 1925 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
7 ssab 4074 . . . 4 (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
86, 7sylibr 234 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋})
93, 8ssexd 5330 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
109, 1, 4wdom2d 9618 1 (𝜑𝐴* 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963   class class class wbr 5148  * cwdom 9602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-wdom 9603
This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10465  unxpwdom3  43084
  Copyright terms: Public domain W3C validator