Theorem wdomd 9534

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdomd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wdomd.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
wdomd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdomd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		abrexexg 7939	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4		wdomd.o	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
6	5	alrimiv 1927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
7		ssab 4027	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋})
9	3, 8	ssexd 5279	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
10	9, 1, 4	wdom2d 9533	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ≼^* cwdom 9517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-wdom 9518

This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10380  unxpwdom3  43084