Theorem wdomd 9539

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdomd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wdomd.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
wdomd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdomd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		abrexexg 7954	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4		wdomd.o	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)
5	4	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
6	5	alrimiv 1954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
7		ssab 4025	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
8	6, 7	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋})
9	3, 8	ssexd 5292	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
10	9, 1, 4	wdom2d 9538	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ∀wal 1565   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110   ≼^* cwdom 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-wdom 9523

This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10407  unxpwdom3  43709