Theorem wdomd 9498

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdomd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wdomd.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
wdomd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdomd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		abrexexg 7915	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4		wdomd.o	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
6	5	alrimiv 1929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
7		ssab 4017	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋})
9	3, 8	ssexd 5271	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
10	9, 1, 4	wdom2d 9497	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ≼^* cwdom 9481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-wdom 9482

This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10349  unxpwdom3  43452