MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomd 9621
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wdomd.b (𝜑𝐵𝑊)
wdomd.o ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
wdomd (𝜑𝐴* 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd
StepHypRef Expression
1 wdomd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2 abrexexg 7985 . . . 4 (𝐵𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4 wdomd.o . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋)
54ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
65alrimiv 1927 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
7 ssab 4064 . . . 4 (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
86, 7sylibr 234 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋})
93, 8ssexd 5324 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
109, 1, 4wdom2d 9620 1 (𝜑𝐴* 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  * cwdom 9604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-wdom 9605
This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10467  unxpwdom3  43107
  Copyright terms: Public domain W3C validator