Theorem wdomd 9541

Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
wdomd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wdomd.o	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
wdomd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wdomd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		abrexexg 7942	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4		wdomd.o	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋)
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
6	5	alrimiv 1927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
7		ssab 4030	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋))
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 = 𝑋})
9	3, 8	ssexd 5282	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
10	9, 1, 4	wdom2d 9540	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≼* 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ≼^* cwdom 9524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-wdom 9525

This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10387  unxpwdom3  43091