MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wdomd 9525
Description: Deduce weak dominance from an implicit onto function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
wdomd.b (𝜑𝐵𝑊)
wdomd.o ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
wdomd (𝜑𝐴* 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem wdomd
StepHypRef Expression
1 wdomd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
2 abrexexg 7897 . . . 4 (𝐵𝑊 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ∈ V)
4 wdomd.o . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋)
54ex 414 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
65alrimiv 1931 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
7 ssab 4022 . . . 4 (𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋} ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴 → ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋))
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝐵 𝑥 = 𝑋})
93, 8ssexd 5285 . 2 (𝜑𝐴 ∈ V)
109, 1, 4wdom2d 9524 1 (𝜑𝐴* 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  {cab 2710  wrex 3070  Vcvv 3447  wss 3914   class class class wbr 5109  * cwdom 9508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-wdom 9509
This theorem is referenced by:  hsmexlem2  10371  unxpwdom3  41469
  Copyright terms: Public domain W3C validator