Theorem 2ecoptocl 5997

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by set.mm contributors, 23-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
2ecoptocl.1	⊢ S = ((C × D) / R)
2ecoptocl.2	⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
2ecoptocl.3	⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (ψ ↔ χ))
2ecoptocl.4	⊢ (((x ∈ C ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) → φ)

Assertion

Ref	Expression
2ecoptocl	⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S) → χ)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,A   z,B,w   x,C,y,z,w   x,D,y,z,w   z,S,w   x,R,y,z,w   ψ,x,y   χ,z,w

Allowed substitution hints:   φ(x,y,z,w)   ψ(z,w)   χ(x,y)   B(x,y)   S(x,y)

Proof of Theorem 2ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ecoptocl.1	. . 3 ⊢ S = ((C × D) / R)
2		2ecoptocl.3	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (ψ ↔ χ))
3	2	imbi2d 307	. . 3 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ((A ∈ S → ψ) ↔ (A ∈ S → χ)))
4		2ecoptocl.2	. . . . . 6 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
5	4	imbi2d 307	. . . . 5 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (((z ∈ C ∧ w ∈ D) → φ) ↔ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → ψ)))
6		2ecoptocl.4	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ C ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ C ∧ w ∈ D)) → φ)
7	6	ex 423	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ C ∧ y ∈ D) → ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → φ))
8	1, 5, 7	ecoptocl 5996	. . . 4 ⊢ (A ∈ S → ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → ψ))
9	8	com12 27	. . 3 ⊢ ((z ∈ C ∧ w ∈ D) → (A ∈ S → ψ))
10	1, 3, 9	ecoptocl 5996	. 2 ⊢ (B ∈ S → (A ∈ S → χ))
11	10	impcom 419	1 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S) → χ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4561   × cxp 4770  [cec 5945   / cqs 5946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-ima 4727  df-xp 4784  df-ec 5947  df-qs 5951

This theorem is referenced by:  3ecoptocl  5998