Theorem 3ecoptocl 5999

Description: Implicit substitution of classes for equivalence classes of ordered pairs. (Contributed by set.mm contributors, 9-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
3ecoptocl.1	⊢ S = ((D × D) / R)
3ecoptocl.2	⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
3ecoptocl.3	⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (ψ ↔ χ))
3ecoptocl.4	⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (χ ↔ θ))
3ecoptocl.5	⊢ (((x ∈ D ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → φ)

Assertion

Ref	Expression
3ecoptocl	⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S) → θ)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,v,u,A   z,B,w,v,u   v,C,u   x,D,y,z,w,v,u   z,S,w,v,u   x,R,y,z,w,v,u   ψ,x,y   χ,z,w   θ,v,u

Allowed substitution hints:   φ(x, y, z, w, v, u)   ψ(z, w, v, u)   χ(x, y, v, u)   θ(x, y, z, w)   B(x, y)   C(x, y, z, w)   S(x, y)

Proof of Theorem 3ecoptocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ecoptocl.1	. . . 4 ⊢ S = ((D × D) / R)
2		3ecoptocl.3	. . . . 5 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → (ψ ↔ χ))
3	2	imbi2d 307	. . . 4 ⊢ ([⟨z, w⟩]R = B → ((A ∈ S → ψ) ↔ (A ∈ S → χ)))
4		3ecoptocl.4	. . . . 5 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → (χ ↔ θ))
5	4	imbi2d 307	. . . 4 ⊢ ([⟨v, u⟩]R = C → ((A ∈ S → χ) ↔ (A ∈ S → θ)))
6		3ecoptocl.2	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → (φ ↔ ψ))
7	6	imbi2d 307	. . . . . 6 ⊢ ([⟨x, y⟩]R = A → ((((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → φ) ↔ (((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → ψ)))
8		3ecoptocl.5	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ D ∧ y ∈ D) ∧ (z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → φ)
9	8	3expib 1154	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ D ∧ y ∈ D) → (((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → φ))
10	1, 7, 9	ecoptocl 5997	. . . . 5 ⊢ (A ∈ S → (((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → ψ))
11	10	com12 27	. . . 4 ⊢ (((z ∈ D ∧ w ∈ D) ∧ (v ∈ D ∧ u ∈ D)) → (A ∈ S → ψ))
12	1, 3, 5, 11	2ecoptocl 5998	. . 3 ⊢ ((B ∈ S ∧ C ∈ S) → (A ∈ S → θ))
13	12	com12 27	. 2 ⊢ (A ∈ S → ((B ∈ S ∧ C ∈ S) → θ))
14	13	3impib 1149	1 ⊢ ((A ∈ S ∧ B ∈ S ∧ C ∈ S) → θ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ⟨cop 4562   × cxp 4771  [cec 5946   / cqs 5947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This proof depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-ima 4728  df-xp 4785  df-ec 5948  df-qs 5952

This theorem is used by: (None)