Theorem 0grsubgr 16259

Description: The null graph (represented by an empty set) is a subgraph of all graphs. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grsubgr	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Proof of Theorem 0grsubgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3547	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Vtx‘𝐺)
2		dm0 4970	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	reseq2i 5035	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) = ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅)
4		res0 5042	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅) = ∅
5	3, 4	eqtr2i 2254	. . 3 ⊢ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅)
6		0ss 3547	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 ∅
7	1, 5, 6	3pm3.2i 1202	. 2 ⊢ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)
8		0ex 4237	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
9		vtxval0 16048	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2236	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
11		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12		iedgval0 16049	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2236	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15		edgval 16055	. . . . 5 ⊢ (Edg‘∅) = ran (iEdg‘∅)
16	12	rneqi 4985	. . . . 5 ⊢ ran (iEdg‘∅) = ran ∅
17		rn0 5013	. . . . 5 ⊢ ran ∅ = ∅
18	15, 16, 17	3eqtrri 2258	. . . 4 ⊢ ∅ = (Edg‘∅)
19	10, 11, 13, 14, 18	issubgr 16252	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
20	8, 19	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
21	7, 20	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  ∅c0 3508  𝒫 cpw 3669   class class class wbr 4109  dom cdm 4749  ran crn 4750   ↾ cres 4751  ‘cfv 5352  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  Edgcedg 16052   SubGraph csubgr 16248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fo 5358  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-edg 16053  df-subgr 16249

This theorem is referenced by: (None)