Theorem 0grsubgr 16114

Description: The null graph (represented by an empty set) is a subgraph of all graphs. (Contributed by AV, 17-Nov-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0grsubgr	⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Proof of Theorem 0grsubgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3533	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ (Vtx‘𝐺)
2		dm0 4945	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
3	2	reseq2i 5010	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) = ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅)
4		res0 5017	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺) ↾ ∅) = ∅
5	3, 4	eqtr2i 2253	. . 3 ⊢ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅)
6		0ss 3533	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝒫 ∅
7	1, 5, 6	3pm3.2i 1201	. 2 ⊢ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)
8		0ex 4216	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
9		vtxval0 15903	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
10	9	eqcomi 2235	. . . 4 ⊢ ∅ = (Vtx‘∅)
11		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
12		iedgval0 15904	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘∅) = ∅
13	12	eqcomi 2235	. . . 4 ⊢ ∅ = (iEdg‘∅)
14		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
15		edgval 15910	. . . . 5 ⊢ (Edg‘∅) = ran (iEdg‘∅)
16	12	rneqi 4960	. . . . 5 ⊢ ran (iEdg‘∅) = ran ∅
17		rn0 4988	. . . . 5 ⊢ ran ∅ = ∅
18	15, 16, 17	3eqtrri 2257	. . . 4 ⊢ ∅ = (Edg‘∅)
19	10, 11, 13, 14, 18	issubgr 16107	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ ∅ ∈ V) → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
20	8, 19	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (∅ SubGraph 𝐺 ↔ (∅ ⊆ (Vtx‘𝐺) ∧ ∅ = ((iEdg‘𝐺) ↾ dom ∅) ∧ ∅ ⊆ 𝒫 ∅)))
21	7, 20	mpbiri 168	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ∅ SubGraph 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  𝒫 cpw 3652   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  ran crn 4726   ↾ cres 4727  ‘cfv 5326  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  Edgcedg 15907   SubGraph csubgr 16103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-sub 8351  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-edg 15908  df-subgr 16104

This theorem is referenced by: (None)