Theorem 1loopgruspgr 16424

Description: A graph with one edge which is a loop is a simple pseudograph. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )

Assertion

Ref	Expression
1loopgruspgr	|- ( ph -> G e. USPGraph )

Proof of Theorem 1loopgruspgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. 2 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		1loopgruspgr.a	. 2 |- ( ph -> A e. X )
3		1loopgruspgr.n	. . 3 |- ( ph -> N e. V )
4		1loopgruspgr.v	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
5	3, 4	eleqtrrd 2314	. 2 |- ( ph -> N e. (Vtx ` G ) )
6		1loopgruspgr.i	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
7		dfsn2 3708	. . . . . 6 |- { N } = { N , N }
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> { N } = { N , N } )
9	8	opeq2d 3895	. . . 4 |- ( ph -> <. A , { N } >. = <. A , { N , N } >. )
10	9	sneqd 3707	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { N } >. } = { <. A , { N , N } >. } )
11	6, 10	eqtrd 2267	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N , N } >. } )
12		eqid 2234	. . . . 5 |- N = N
13	12	orci 739	. . . 4 |- ( N = N \/ -. N = N )
14		df-dc 843	. . . 4 |- (DECID N = N <-> ( N = N \/ -. N = N ) )
15	13, 14	mpbir 146	. . 3 |- DECID N = N
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> DECID N = N )
17	1, 2, 5, 5, 11, 16	uspgr1edc 16361	1 |- ( ph -> G e. USPGraph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   ` cfv 5357  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  USPGraphcuspgr 16274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-uspgren 16276

This theorem is referenced by:  1loopgrvd2fi  16426  1loopgrvd0fi  16427