Theorem 1loopgruspgr 16298

Description: A graph with one edge which is a loop is a simple pseudograph. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )

Assertion

Ref	Expression
1loopgruspgr	|- ( ph -> G e. USPGraph )

Proof of Theorem 1loopgruspgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. 2 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		1loopgruspgr.a	. 2 |- ( ph -> A e. X )
3		1loopgruspgr.n	. . 3 |- ( ph -> N e. V )
4		1loopgruspgr.v	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
5	3, 4	eleqtrrd 2312	. 2 |- ( ph -> N e. (Vtx ` G ) )
6		1loopgruspgr.i	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
7		dfsn2 3703	. . . . . 6 |- { N } = { N , N }
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> { N } = { N , N } )
9	8	opeq2d 3890	. . . 4 |- ( ph -> <. A , { N } >. = <. A , { N , N } >. )
10	9	sneqd 3702	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { N } >. } = { <. A , { N , N } >. } )
11	6, 10	eqtrd 2265	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N , N } >. } )
12		eqid 2232	. . . . 5 |- N = N
13	12	orci 739	. . . 4 |- ( N = N \/ -. N = N )
14		df-dc 843	. . . 4 |- (DECID N = N <-> ( N = N \/ -. N = N ) )
15	13, 14	mpbir 146	. . 3 |- DECID N = N
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> DECID N = N )
17	1, 2, 5, 5, 11, 16	uspgr1edc 16235	1 |- ( ph -> G e. USPGraph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   {csn 3689   {cpr 3690   <.cop 3692   ` cfv 5352  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  USPGraphcuspgr 16148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-sub 8446  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-dec 9710  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-uspgren 16150

This theorem is referenced by:  1loopgrvd2fi  16300  1loopgrvd0fi  16301