Theorem 1loopgruspgr 16227

Description: A graph with one edge which is a loop is a simple pseudograph. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )

Assertion

Ref	Expression
1loopgruspgr	|- ( ph -> G e. USPGraph )

Proof of Theorem 1loopgruspgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. 2 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		1loopgruspgr.a	. 2 |- ( ph -> A e. X )
3		1loopgruspgr.n	. . 3 |- ( ph -> N e. V )
4		1loopgruspgr.v	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
5	3, 4	eleqtrrd 2311	. 2 |- ( ph -> N e. (Vtx ` G ) )
6		1loopgruspgr.i	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
7		dfsn2 3687	. . . . . 6 |- { N } = { N , N }
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> { N } = { N , N } )
9	8	opeq2d 3874	. . . 4 |- ( ph -> <. A , { N } >. = <. A , { N , N } >. )
10	9	sneqd 3686	. . 3 |- ( ph -> { <. A , { N } >. } = { <. A , { N , N } >. } )
11	6, 10	eqtrd 2264	. 2 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N , N } >. } )
12		eqid 2231	. . . . 5 |- N = N
13	12	orci 739	. . . 4 |- ( N = N \/ -. N = N )
14		df-dc 843	. . . 4 |- (DECID N = N <-> ( N = N \/ -. N = N ) )
15	13, 14	mpbir 146	. . 3 |- DECID N = N
16	15	a1i 9	. 2 |- ( ph -> DECID N = N )
17	1, 2, 5, 5, 11, 16	uspgr1edc 16164	1 |- ( ph -> G e. USPGraph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   {csn 3673   {cpr 3674   <.cop 3676   ` cfv 5333  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  USPGraphcuspgr 16077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-sub 8394  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-dec 9656  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-uspgren 16079

This theorem is referenced by:  1loopgrvd2fi  16229  1loopgrvd0fi  16230