Theorem 1loopgrvd2fi 16426

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
1loopgrvd2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = 2 )

Proof of Theorem 1loopgrvd2fi

Dummy variables a e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2234	. . 3 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
3		1loopgruspgr.i	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
4	3	dmeqd 4963	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { N } >. } )
5		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. V )
6		snexg 4302	. . . . . . 7 |- ( N e. V -> { N } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { N } e. _V )
8		dmsnopg 5239	. . . . . 6 |- ( { N } e. _V -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
10	4, 9	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
11		1loopgruspgr.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
12		snfig 7069	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
14	10, 13	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
15		1loopgruspgr.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
16		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
17	15, 16	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
18	5, 15	eleqtrrd 2314	. . 3 |- ( ph -> N e. (Vtx ` G ) )
19	15, 11, 5, 3	1loopgruspgr 16424	. . 3 |- ( ph -> G e. USPGraph )
20		eqid 2234	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
21	1, 2, 14, 17, 18, 19, 20	vtxduspgrfvedgfi 16422	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = ( (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) + (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) )
22		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- { { N } } = { { N } }
23		sneq 3705	. . . . . . . . . 10 |- ( a = { N } -> { a } = { { N } } )
24	23	eqeq2d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( a = { N } -> ( { { N } } = { a } <-> { { N } } = { { N } } ) )
25	24	spcegv 2907	. . . . . . . 8 |- ( { N } e. _V -> ( { { N } } = { { N } } -> E. a { { N } } = { a } ) )
26	7, 22, 25	mpisyl 1492	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. a { { N } } = { a } )
27		snidg 3723	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. V -> N e. { N } )
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. { N } )
29	28	iftrued 3633	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { { N } } )
30	29	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> { { N } } = { a } ) )
31	30	exbidv 1874	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> E. a { { N } } = { a } ) )
32	26, 31	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } )
33	15, 11, 5, 3	1loopgredg 16425	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Edg ` G ) = { { N } } )
34	33	rabeqdv 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { e e. { { N } } | N e. e } )
35		eleq2 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( e = { N } -> ( N e. e <-> N e. { N } ) )
36	35	rabsnif 3763	. . . . . . . . 9 |- { e e. { { N } } | N e. e } = if ( N e. { N } , { { N } } , (/) )
37	34, 36	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) )
38	37	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } <-> if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
39	38	exbidv 1874	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } <-> E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
40	32, 39	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } )
41		en1 7052	. . . . 5 |- ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } )
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o )
43		en1hash 11188	. . . 4 |- ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 )
44	42, 43	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 )
45		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- { N } = { N }
46	45	iftruei 3632	. . . . . . . . 9 |- if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { { N } }
47	46	eqeq1i 2242	. . . . . . . 8 |- ( if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> { { N } } = { a } )
48	47	exbii 1654	. . . . . . 7 |- ( E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> E. a { { N } } = { a } )
49	26, 48	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } )
50	33	rabeqdv 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { e e. { { N } } | e = { N } } )
51		eqeq1 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( e = { N } -> ( e = { N } <-> { N } = { N } ) )
52	51	rabsnif 3763	. . . . . . . . 9 |- { e e. { { N } } | e = { N } } = if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) )
53	50, 52	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) )
54	53	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } <-> if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
55	54	exbidv 1874	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } <-> E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } )
57		en1 7052	. . . . 5 |- ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } )
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o )
59		en1hash 11188	. . . 4 |- ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 )
60	58, 59	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 )
61	44, 60	oveq12d 6076	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) + (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) = ( 1 + 1 ) )
62		1p1e2 9371	. . 3 |- ( 1 + 1 ) = 2
63	62	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
64	21, 61, 63	3eqtrd 2271	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = 2 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   {crab 2526   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   ifcif 3624   {csn 3694   <.cop 3697   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   ~~ cen 6986   Fincfn 6988   1c1 8144   + caddc 8146   2c2 9305  ♯chash 11163  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  Edgcedg 16178  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-xadd 10125  df-fz 10362  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-edg 16179  df-uhgrm 16190  df-ushgrm 16191  df-upgren 16214  df-uspgren 16276  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16591