Theorem 1loopgrvd2fi 16546

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
1loopgrvd2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = 2 )

Proof of Theorem 1loopgrvd2fi

Dummy variables a e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2238	. . 3 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
3		1loopgruspgr.i	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
4	3	dmeqd 4983	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { N } >. } )
5		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. V )
6		snexg 4321	. . . . . . 7 |- ( N e. V -> { N } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { N } e. _V )
8		dmsnopg 5259	. . . . . 6 |- ( { N } e. _V -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
10	4, 9	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
11		1loopgruspgr.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
12		snfig 7103	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
14	10, 13	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
15		1loopgruspgr.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
16		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
17	15, 16	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
18	5, 15	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> N e. (Vtx ` G ) )
19	15, 11, 5, 3	1loopgruspgr 16544	. . 3 |- ( ph -> G e. USPGraph )
20		eqid 2238	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
21	1, 2, 14, 17, 18, 19, 20	vtxduspgrfvedgfi 16542	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = ( (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) + (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) )
22		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- { { N } } = { { N } }
23		sneq 3720	. . . . . . . . . 10 |- ( a = { N } -> { a } = { { N } } )
24	23	eqeq2d 2250	. . . . . . . . 9 |- ( a = { N } -> ( { { N } } = { a } <-> { { N } } = { { N } } ) )
25	24	spcegv 2913	. . . . . . . 8 |- ( { N } e. _V -> ( { { N } } = { { N } } -> E. a { { N } } = { a } ) )
26	7, 22, 25	mpisyl 1496	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. a { { N } } = { a } )
27		snidg 3738	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. V -> N e. { N } )
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. { N } )
29	28	iftrued 3647	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { { N } } )
30	29	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> { { N } } = { a } ) )
31	30	exbidv 1878	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> E. a { { N } } = { a } ) )
32	26, 31	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } )
33	15, 11, 5, 3	1loopgredg 16545	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Edg ` G ) = { { N } } )
34	33	rabeqdv 2815	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { e e. { { N } } | N e. e } )
35		eleq2 2302	. . . . . . . . . 10 |- ( e = { N } -> ( N e. e <-> N e. { N } ) )
36	35	rabsnif 3778	. . . . . . . . 9 |- { e e. { { N } } | N e. e } = if ( N e. { N } , { { N } } , (/) )
37	34, 36	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) )
38	37	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } <-> if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
39	38	exbidv 1878	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } <-> E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
40	32, 39	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } )
41		en1 7086	. . . . 5 |- ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } )
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o )
43		en1hash 11239	. . . 4 |- ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 )
44	42, 43	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 )
45		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- { N } = { N }
46	45	iftruei 3646	. . . . . . . . 9 |- if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { { N } }
47	46	eqeq1i 2246	. . . . . . . 8 |- ( if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> { { N } } = { a } )
48	47	exbii 1658	. . . . . . 7 |- ( E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> E. a { { N } } = { a } )
49	26, 48	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } )
50	33	rabeqdv 2815	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { e e. { { N } } | e = { N } } )
51		eqeq1 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( e = { N } -> ( e = { N } <-> { N } = { N } ) )
52	51	rabsnif 3778	. . . . . . . . 9 |- { e e. { { N } } | e = { N } } = if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) )
53	50, 52	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) )
54	53	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } <-> if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
55	54	exbidv 1878	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } <-> E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } )
57		en1 7086	. . . . 5 |- ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } )
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o )
59		en1hash 11239	. . . 4 |- ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 )
60	58, 59	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 )
61	44, 60	oveq12d 6103	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) + (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) = ( 1 + 1 ) )
62		1p1e2 9421	. . 3 |- ( 1 + 1 ) = 2
63	62	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
64	21, 61, 63	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = 2 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ifcif 3638   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1oc1o 6680   ~~ cen 7020   Fincfn 7022   1c1 8180   + caddc 8182   2c2 9355  ♯chash 11214  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  Edgcedg 16298  VtxDegcvtxdg 16527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-edg 16299  df-uhgrm 16310  df-ushgrm 16311  df-upgren 16334  df-uspgren 16396  df-vtxdg 16528

This theorem is used by:  eupth2lem3lem3fi  16711