Theorem 1loopgrvd2fi 16162

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 4: an edge from a vertex to itself contributes two to the vertex's degree. I. e. in a graph (simple pseudograph) with one edge which is a loop, the vertex connected with itself by the loop has degree 2. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
1loopgrvd2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd2fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = 2 )

Proof of Theorem 1loopgrvd2fi

Dummy variables a e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
2		eqid 2231	. . 3 |- (Edg ` G ) = (Edg ` G )
3		1loopgruspgr.i	. . . . . 6 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
4	3	dmeqd 4933	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { N } >. } )
5		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. V )
6		snexg 4274	. . . . . . 7 |- ( N e. V -> { N } e. _V )
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { N } e. _V )
8		dmsnopg 5208	. . . . . 6 |- ( { N } e. _V -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
9	7, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
10	4, 9	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
11		1loopgruspgr.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
12		snfig 6989	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
14	10, 13	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
15		1loopgruspgr.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
16		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
17	15, 16	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
18	5, 15	eleqtrrd 2311	. . 3 |- ( ph -> N e. (Vtx ` G ) )
19	15, 11, 5, 3	1loopgruspgr 16160	. . 3 |- ( ph -> G e. USPGraph )
20		eqid 2231	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
21	1, 2, 14, 17, 18, 19, 20	vtxduspgrfvedgfi 16158	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = ( (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) + (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) )
22		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- { { N } } = { { N } }
23		sneq 3680	. . . . . . . . . 10 |- ( a = { N } -> { a } = { { N } } )
24	23	eqeq2d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( a = { N } -> ( { { N } } = { a } <-> { { N } } = { { N } } ) )
25	24	spcegv 2894	. . . . . . . 8 |- ( { N } e. _V -> ( { { N } } = { { N } } -> E. a { { N } } = { a } ) )
26	7, 22, 25	mpisyl 1491	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. a { { N } } = { a } )
27		snidg 3698	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. V -> N e. { N } )
28	5, 27	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. { N } )
29	28	iftrued 3612	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { { N } } )
30	29	eqeq1d 2240	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> { { N } } = { a } ) )
31	30	exbidv 1873	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> E. a { { N } } = { a } ) )
32	26, 31	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } )
33	15, 11, 5, 3	1loopgredg 16161	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Edg ` G ) = { { N } } )
34	33	rabeqdv 2796	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { e e. { { N } } | N e. e } )
35		eleq2 2295	. . . . . . . . . 10 |- ( e = { N } -> ( N e. e <-> N e. { N } ) )
36	35	rabsnif 3738	. . . . . . . . 9 |- { e e. { { N } } | N e. e } = if ( N e. { N } , { { N } } , (/) )
37	34, 36	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) )
38	37	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } <-> if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
39	38	exbidv 1873	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } <-> E. a if ( N e. { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
40	32, 39	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } )
41		en1 6973	. . . . 5 |- ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | N e. e } = { a } )
42	40, 41	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o )
43		en1hash 11063	. . . 4 |- ( { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ~~ 1o -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 )
44	42, 43	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) = 1 )
45		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- { N } = { N }
46	45	iftruei 3611	. . . . . . . . 9 |- if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { { N } }
47	46	eqeq1i 2239	. . . . . . . 8 |- ( if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> { { N } } = { a } )
48	47	exbii 1653	. . . . . . 7 |- ( E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } <-> E. a { { N } } = { a } )
49	26, 48	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } )
50	33	rabeqdv 2796	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { e e. { { N } } | e = { N } } )
51		eqeq1 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( e = { N } -> ( e = { N } <-> { N } = { N } ) )
52	51	rabsnif 3738	. . . . . . . . 9 |- { e e. { { N } } | e = { N } } = if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) )
53	50, 52	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) )
54	53	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } <-> if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
55	54	exbidv 1873	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } <-> E. a if ( { N } = { N } , { { N } } , (/) ) = { a } ) )
56	49, 55	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ph -> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } )
57		en1 6973	. . . . 5 |- ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o <-> E. a { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } = { a } )
58	56, 57	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o )
59		en1hash 11063	. . . 4 |- ( { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ~~ 1o -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 )
60	58, 59	syl 14	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) = 1 )
61	44, 60	oveq12d 6036	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | N e. e } ) + (♯ ` { e e. (Edg ` G ) | e = { N } } ) ) = ( 1 + 1 ) )
62		1p1e2 9260	. . 3 |- ( 1 + 1 ) = 2
63	62	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
64	21, 61, 63	3eqtrd 2268	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` N ) = 2 )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   (/)c0 3494   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   1oc1o 6575   ~~ cen 6907   Fincfn 6909   1c1 8033   + caddc 8035   2c2 9194  ♯chash 11038  Vtxcvtx 15869  iEdgciedg 15870  Edgcedg 15914  VtxDegcvtxdg 16143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-ihash 11039  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-edgf 15862  df-vtx 15871  df-iedg 15872  df-edg 15915  df-uhgrm 15926  df-ushgrm 15927  df-upgren 15950  df-uspgren 16012  df-vtxdg 16144

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16327