Theorem 1loopgrvd0fi 16547

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
1loopgrvd2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1loopgrvd0.k	|- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Proof of Theorem 1loopgrvd0fi

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )
2	1	eldifbd 3232	. . . 4 |- ( ph -> -. K e. { N } )
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
4		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. V )
5		snexg 4321	. . . . . . 7 |- ( N e. V -> { N } e. _V )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { N } e. _V )
7		fvsng 5911	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { N } e. _V ) -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
8	3, 6, 7	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
9	8	eleq2d 2308	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) <-> K e. { N } ) )
10	2, 9	mtbird 684	. . 3 |- ( ph -> -. K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
11		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
12	11	dmeqd 4983	. . . . . 6 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { N } >. } )
13		dmsnopg 5259	. . . . . . 7 |- ( { N } e. _V -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
14	6, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
15	12, 14	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
16	11	fveq1d 5697	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` i ) )
17	16	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
18	15, 17	rexeqbidv 2766	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
19		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( i = A -> ( { <. A , { N } >. } ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
20	19	eleq2d 2308	. . . . . 6 |- ( i = A -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
21	20	rexsng 3750	. . . . 5 |- ( A e. X -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
22	3, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
23	18, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
24	10, 23	mtbird 684	. 2 |- ( ph -> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) )
25		eqid 2238	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2238	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
27		eqid 2238	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
28		snfig 7103	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
29	3, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
30	15, 29	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
31		1loopgruspgr.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
32		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
34	1	eldifad 3231	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
35	34, 31	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> K e. (Vtx ` G ) )
36	31, 3, 4, 11	1loopgruspgr 16544	. . . 4 |- ( ph -> G e. USPGraph )
37		uspgrupgr 16422	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
38	36, 37	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
39	25, 26, 27, 30, 33, 35, 38	vtxd0nedgbfi 16540	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 <-> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) ) )
40	24, 39	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   {csn 3709   <.cop 3712   dom cdm 4774   ` cfv 5377   Fincfn 7022   0cc0 8179  Vtxcvtx 16253  iEdgciedg 16254  UPGraphcupgr 16332  USPGraphcuspgr 16394  VtxDegcvtxdg 16527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-ihash 11215  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-upgren 16334  df-uspgren 16396  df-vtxdg 16528

This theorem is used by:  eupth2lem3lem3fi  16711