Theorem 1loopgrvd0fi 16427

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
1loopgrvd2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1loopgrvd0.k	|- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Proof of Theorem 1loopgrvd0fi

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )
2	1	eldifbd 3226	. . . 4 |- ( ph -> -. K e. { N } )
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
4		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. V )
5		snexg 4302	. . . . . . 7 |- ( N e. V -> { N } e. _V )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { N } e. _V )
7		fvsng 5885	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { N } e. _V ) -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
9	8	eleq2d 2304	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) <-> K e. { N } ) )
10	2, 9	mtbird 680	. . 3 |- ( ph -> -. K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
11		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
12	11	dmeqd 4963	. . . . . 6 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { N } >. } )
13		dmsnopg 5239	. . . . . . 7 |- ( { N } e. _V -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
14	6, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
15	12, 14	eqtrd 2267	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
16	11	fveq1d 5677	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` i ) )
17	16	eleq2d 2304	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
18	15, 17	rexeqbidv 2760	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
19		fveq2 5675	. . . . . . 7 |- ( i = A -> ( { <. A , { N } >. } ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
20	19	eleq2d 2304	. . . . . 6 |- ( i = A -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
21	20	rexsng 3735	. . . . 5 |- ( A e. X -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
22	3, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
23	18, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
24	10, 23	mtbird 680	. 2 |- ( ph -> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) )
25		eqid 2234	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2234	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
27		eqid 2234	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
28		snfig 7069	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
29	3, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
30	15, 29	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
31		1loopgruspgr.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
32		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
34	1	eldifad 3225	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
35	34, 31	eleqtrrd 2314	. . 3 |- ( ph -> K e. (Vtx ` G ) )
36	31, 3, 4, 11	1loopgruspgr 16424	. . . 4 |- ( ph -> G e. USPGraph )
37		uspgrupgr 16302	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
38	36, 37	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
39	25, 26, 27, 30, 33, 35, 38	vtxd0nedgbfi 16420	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 <-> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) ) )
40	24, 39	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   {csn 3694   <.cop 3697   dom cdm 4754   ` cfv 5357   Fincfn 6988   0cc0 8143  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UPGraphcupgr 16212  USPGraphcuspgr 16274  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-xadd 10125  df-fz 10362  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214  df-uspgren 16276  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16591