Theorem 1loopgrvd0fi 16461

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
1loopgrvd2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1loopgrvd0.k	|- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Proof of Theorem 1loopgrvd0fi

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )
2	1	eldifbd 3232	. . . 4 |- ( ph -> -. K e. { N } )
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
4		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. V )
5		snexg 4316	. . . . . . 7 |- ( N e. V -> { N } e. _V )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { N } e. _V )
7		fvsng 5902	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { N } e. _V ) -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
8	3, 6, 7	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
9	8	eleq2d 2308	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) <-> K e. { N } ) )
10	2, 9	mtbird 684	. . 3 |- ( ph -> -. K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
11		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
12	11	dmeqd 4978	. . . . . 6 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { N } >. } )
13		dmsnopg 5254	. . . . . . 7 |- ( { N } e. _V -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
14	6, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
15	12, 14	eqtrd 2271	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
16	11	fveq1d 5692	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` i ) )
17	16	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
18	15, 17	rexeqbidv 2766	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
19		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( i = A -> ( { <. A , { N } >. } ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
20	19	eleq2d 2308	. . . . . 6 |- ( i = A -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
21	20	rexsng 3746	. . . . 5 |- ( A e. X -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
22	3, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
23	18, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
24	10, 23	mtbird 684	. 2 |- ( ph -> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) )
25		eqid 2238	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2238	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
27		eqid 2238	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
28		snfig 7093	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
29	3, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
30	15, 29	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
31		1loopgruspgr.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
32		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
34	1	eldifad 3231	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
35	34, 31	eleqtrrd 2318	. . 3 |- ( ph -> K e. (Vtx ` G ) )
36	31, 3, 4, 11	1loopgruspgr 16458	. . . 4 |- ( ph -> G e. USPGraph )
37		uspgrupgr 16336	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
38	36, 37	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
39	25, 26, 27, 30, 33, 35, 38	vtxd0nedgbfi 16454	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 <-> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) ) )
40	24, 39	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   {csn 3705   <.cop 3708   dom cdm 4769   ` cfv 5372   Fincfn 7012   0cc0 8169  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  UPGraphcupgr 16246  USPGraphcuspgr 16308  VtxDegcvtxdg 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-xadd 10154  df-fz 10391  df-ihash 11193  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-upgren 16248  df-uspgren 16310  df-vtxdg 16442

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16625