Theorem 1loopgrvd0fi 16301

Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 1 (for a loop): a loop at a vertex other than the given vertex contributes nothing to the vertex degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1loopgruspgr.a	|- ( ph -> A e. X )
1loopgruspgr.n	|- ( ph -> N e. V )
1loopgruspgr.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
1loopgrvd2fi.fi	|- ( ph -> V e. Fin )
1loopgrvd0.k	|- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
1loopgrvd0fi	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Proof of Theorem 1loopgrvd0fi

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1loopgrvd0.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. ( V \ { N } ) )
2	1	eldifbd 3223	. . . 4 |- ( ph -> -. K e. { N } )
3		1loopgruspgr.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
4		1loopgruspgr.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. V )
5		snexg 4297	. . . . . . 7 |- ( N e. V -> { N } e. _V )
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { N } e. _V )
7		fvsng 5880	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ { N } e. _V ) -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( { <. A , { N } >. } ` A ) = { N } )
9	8	eleq2d 2302	. . . 4 |- ( ph -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) <-> K e. { N } ) )
10	2, 9	mtbird 680	. . 3 |- ( ph -> -. K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
11		1loopgruspgr.i	. . . . . . 7 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , { N } >. } )
12	11	dmeqd 4958	. . . . . 6 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , { N } >. } )
13		dmsnopg 5234	. . . . . . 7 |- ( { N } e. _V -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
14	6, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , { N } >. } = { A } )
15	12, 14	eqtrd 2265	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
16	11	fveq1d 5672	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` i ) )
17	16	eleq2d 2302	. . . . 5 |- ( ph -> ( K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
18	15, 17	rexeqbidv 2758	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) ) )
19		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( i = A -> ( { <. A , { N } >. } ` i ) = ( { <. A , { N } >. } ` A ) )
20	19	eleq2d 2302	. . . . . 6 |- ( i = A -> ( K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
21	20	rexsng 3730	. . . . 5 |- ( A e. X -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
22	3, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( E. i e. { A } K e. ( { <. A , { N } >. } ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
23	18, 22	bitrd 188	. . 3 |- ( ph -> ( E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) <-> K e. ( { <. A , { N } >. } ` A ) ) )
24	10, 23	mtbird 680	. 2 |- ( ph -> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) )
25		eqid 2232	. . 3 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
26		eqid 2232	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
27		eqid 2232	. . 3 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
28		snfig 7056	. . . . 5 |- ( A e. X -> { A } e. Fin )
29	3, 28	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } e. Fin )
30	15, 29	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
31		1loopgruspgr.v	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
32		1loopgrvd2fi.fi	. . . 4 |- ( ph -> V e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2309	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` G ) e. Fin )
34	1	eldifad 3222	. . . 4 |- ( ph -> K e. V )
35	34, 31	eleqtrrd 2312	. . 3 |- ( ph -> K e. (Vtx ` G ) )
36	31, 3, 4, 11	1loopgruspgr 16298	. . . 4 |- ( ph -> G e. USPGraph )
37		uspgrupgr 16176	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
38	36, 37	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
39	25, 26, 27, 30, 33, 35, 38	vtxd0nedgbfi 16294	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 <-> -. E. i e. dom (iEdg ` G ) K e. ( (iEdg ` G ) ` i ) ) )
40	24, 39	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` K ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   {csn 3689   <.cop 3692   dom cdm 4749   ` cfv 5352   Fincfn 6975   0cc0 8127  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UPGraphcupgr 16086  USPGraphcuspgr 16148  VtxDegcvtxdg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-xadd 10106  df-fz 10343  df-ihash 11139  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-upgren 16088  df-uspgren 16150  df-vtxdg 16282

This theorem is referenced by:  eupth2lem3lem3fi  16465