Theorem 1loopgruspgr 16315

Description: A graph with one edge which is a loop is a simple pseudograph. (Contributed by AV, 21-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1loopgruspgr.v	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
1loopgruspgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
1loopgruspgr.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
1loopgruspgr.i	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})

Assertion

Ref	Expression
1loopgruspgr	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Proof of Theorem 1loopgruspgr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. 2 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		1loopgruspgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		1loopgruspgr.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑉)
4		1loopgruspgr.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
5	3, 4	eleqtrrd 2314	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
6		1loopgruspgr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁}⟩})
7		dfsn2 3705	. . . . . 6 ⊢ {𝑁} = {𝑁, 𝑁}
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑁} = {𝑁, 𝑁})
9	8	opeq2d 3892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, {𝑁}⟩ = ⟨𝐴, {𝑁, 𝑁}⟩)
10	9	sneqd 3704	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨𝐴, {𝑁}⟩} = {⟨𝐴, {𝑁, 𝑁}⟩})
11	6, 10	eqtrd 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝑁, 𝑁}⟩})
12		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = 𝑁
13	12	orci 739	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 𝑁 ∨ ¬ 𝑁 = 𝑁)
14		df-dc 843	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑁 = 𝑁 ↔ (𝑁 = 𝑁 ∨ ¬ 𝑁 = 𝑁))
15	13, 14	mpbir 146	. . 3 ⊢ DECID 𝑁 = 𝑁
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 = 𝑁)
17	1, 2, 5, 5, 11, 16	uspgr1edc 16252	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3691  {cpr 3692  ⟨cop 3694  ‘cfv 5354  Vtxcvtx 16024  iEdgciedg 16025  USPGraphcuspgr 16165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-2o 6650  df-er 6769  df-en 6978  df-sub 8448  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-9 9305  df-n0 9499  df-dec 9713  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-edgf 16017  df-vtx 16026  df-iedg 16027  df-uspgren 16167

This theorem is referenced by:  1loopgrvd2fi  16317  1loopgrvd0fi  16318