Theorem ex-gcd 16745

Description: Example for df-gcd 12731. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	|- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9470	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 9665	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		9nn 9473	. . . 4 |- 9 e. NN
4	3	nnzi 9665	. . 3 |- 9 e. ZZ
5		neggcd 12760	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 9 e. ZZ ) -> ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 ) )
6	2, 4, 5	mp2an 430	. 2 |- ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 )
7		6cn 9386	. . . . . 6 |- 6 e. CC
8		3cn 9379	. . . . . 6 |- 3 e. CC
9		6p3e9 9455	. . . . . 6 |- ( 6 + 3 ) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8471	. . . . 5 |- ( 3 + 6 ) = 9
11	10	eqcomi 2242	. . . 4 |- 9 = ( 3 + 6 )
12	11	oveq2i 6096	. . 3 |- ( 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
13		3z 9673	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
14		gcdcom 12750	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 ) )
15	2, 13, 14	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 )
16		3p3e6 9447	. . . . . . 7 |- ( 3 + 3 ) = 6
17	16	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- 6 = ( 3 + 3 )
18	17	oveq2i 6096	. . . . 5 |- ( 3 gcd 6 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
19	15, 18	eqtri 2259	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
20		gcdadd 12762	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) )
21	2, 13, 20	mp2an 430	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
22		gcdid 12763	. . . . . 6 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 ) )
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 )
24		gcdadd 12762	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) )
25	13, 13, 24	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
26		3re 9378	. . . . . 6 |- 3 e. RR
27		0re 8326	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		3pos 9398	. . . . . . 7 |- 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8428	. . . . . 6 |- 0 <_ 3
30		absid 11837	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) -> ( abs ` 3 ) = 3 )
31	26, 29, 30	mp2an 430	. . . . 5 |- ( abs ` 3 ) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2267	. . . 4 |- ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2267	. . 3 |- ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) = 3
34	12, 33	eqtri 2259	. 2 |- ( 6 gcd 9 ) = 3
35	6, 34	eqtri 2259	1 |- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   <_ cle 8361   -ucneg 8498   3c3 9356   6c6 9359   9c9 9362   ZZcz 9644   abscabs 11763   gcd cgcd 12730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-fl 10705  df-mod 10760  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-dvds 12555  df-gcd 12731

This theorem is used by: (None)