Theorem ex-gcd 13114

Description: Example for df-gcd 11672. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	|- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 8909	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 9099	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		9nn 8912	. . . 4 |- 9 e. NN
4	3	nnzi 9099	. . 3 |- 9 e. ZZ
5		neggcd 11707	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 9 e. ZZ ) -> ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 ) )
6	2, 4, 5	mp2an 423	. 2 |- ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 )
7		6cn 8826	. . . . . 6 |- 6 e. CC
8		3cn 8819	. . . . . 6 |- 3 e. CC
9		6p3e9 8894	. . . . . 6 |- ( 6 + 3 ) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 7931	. . . . 5 |- ( 3 + 6 ) = 9
11	10	eqcomi 2144	. . . 4 |- 9 = ( 3 + 6 )
12	11	oveq2i 5793	. . 3 |- ( 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
13		3z 9107	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
14		gcdcom 11698	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 ) )
15	2, 13, 14	mp2an 423	. . . . 5 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 )
16		3p3e6 8886	. . . . . . 7 |- ( 3 + 3 ) = 6
17	16	eqcomi 2144	. . . . . 6 |- 6 = ( 3 + 3 )
18	17	oveq2i 5793	. . . . 5 |- ( 3 gcd 6 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
19	15, 18	eqtri 2161	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
20		gcdadd 11709	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) )
21	2, 13, 20	mp2an 423	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
22		gcdid 11710	. . . . . 6 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 ) )
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 )
24		gcdadd 11709	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) )
25	13, 13, 24	mp2an 423	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
26		3re 8818	. . . . . 6 |- 3 e. RR
27		0re 7790	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		3pos 8838	. . . . . . 7 |- 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 7890	. . . . . 6 |- 0 <_ 3
30		absid 10875	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) -> ( abs ` 3 ) = 3 )
31	26, 29, 30	mp2an 423	. . . . 5 |- ( abs ` 3 ) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2169	. . . 4 |- ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2169	. . 3 |- ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) = 3
34	12, 33	eqtri 2161	. 2 |- ( 6 gcd 9 ) = 3
35	6, 34	eqtri 2161	1 |- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   RRcr 7643   0cc0 7644   + caddc 7647   <_ cle 7825   -ucneg 7958   3c3 8796   6c6 8799   9c9 8802   ZZcz 9078   abscabs 10801   gcd cgcd 11671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-sup 6879  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530  df-gcd 11672

This theorem is referenced by: (None)