Theorem ex-gcd 16659

Description: Example for df-gcd 12709. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	|- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9449	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 9644	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		9nn 9452	. . . 4 |- 9 e. NN
4	3	nnzi 9644	. . 3 |- 9 e. ZZ
5		neggcd 12738	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 9 e. ZZ ) -> ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 ) )
6	2, 4, 5	mp2an 430	. 2 |- ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 )
7		6cn 9365	. . . . . 6 |- 6 e. CC
8		3cn 9358	. . . . . 6 |- 3 e. CC
9		6p3e9 9434	. . . . . 6 |- ( 6 + 3 ) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8461	. . . . 5 |- ( 3 + 6 ) = 9
11	10	eqcomi 2242	. . . 4 |- 9 = ( 3 + 6 )
12	11	oveq2i 6086	. . 3 |- ( 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
13		3z 9652	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
14		gcdcom 12728	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 ) )
15	2, 13, 14	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 )
16		3p3e6 9426	. . . . . . 7 |- ( 3 + 3 ) = 6
17	16	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- 6 = ( 3 + 3 )
18	17	oveq2i 6086	. . . . 5 |- ( 3 gcd 6 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
19	15, 18	eqtri 2259	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
20		gcdadd 12740	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) )
21	2, 13, 20	mp2an 430	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
22		gcdid 12741	. . . . . 6 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 ) )
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 )
24		gcdadd 12740	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) )
25	13, 13, 24	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
26		3re 9357	. . . . . 6 |- 3 e. RR
27		0re 8316	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		3pos 9377	. . . . . . 7 |- 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8418	. . . . . 6 |- 0 <_ 3
30		absid 11815	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) -> ( abs ` 3 ) = 3 )
31	26, 29, 30	mp2an 430	. . . . 5 |- ( abs ` 3 ) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2267	. . . 4 |- ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2267	. . 3 |- ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) = 3
34	12, 33	eqtri 2259	. 2 |- ( 6 gcd 9 ) = 3
35	6, 34	eqtri 2259	1 |- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   <_ cle 8351   -ucneg 8488   3c3 9335   6c6 9338   9c9 9341   ZZcz 9623   abscabs 11741   gcd cgcd 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709

This theorem is referenced by: (None)