Theorem ex-gcd 12943

Description: Example for df-gcd 11636. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	|- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 8885	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 9075	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		9nn 8888	. . . 4 |- 9 e. NN
4	3	nnzi 9075	. . 3 |- 9 e. ZZ
5		neggcd 11671	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 9 e. ZZ ) -> ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 ) )
6	2, 4, 5	mp2an 422	. 2 |- ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 )
7		6cn 8802	. . . . . 6 |- 6 e. CC
8		3cn 8795	. . . . . 6 |- 3 e. CC
9		6p3e9 8870	. . . . . 6 |- ( 6 + 3 ) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 7907	. . . . 5 |- ( 3 + 6 ) = 9
11	10	eqcomi 2143	. . . 4 |- 9 = ( 3 + 6 )
12	11	oveq2i 5785	. . 3 |- ( 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
13		3z 9083	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
14		gcdcom 11662	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 ) )
15	2, 13, 14	mp2an 422	. . . . 5 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 )
16		3p3e6 8862	. . . . . . 7 |- ( 3 + 3 ) = 6
17	16	eqcomi 2143	. . . . . 6 |- 6 = ( 3 + 3 )
18	17	oveq2i 5785	. . . . 5 |- ( 3 gcd 6 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
19	15, 18	eqtri 2160	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
20		gcdadd 11673	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) )
21	2, 13, 20	mp2an 422	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
22		gcdid 11674	. . . . . 6 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 ) )
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 )
24		gcdadd 11673	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) )
25	13, 13, 24	mp2an 422	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
26		3re 8794	. . . . . 6 |- 3 e. RR
27		0re 7766	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		3pos 8814	. . . . . . 7 |- 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 7866	. . . . . 6 |- 0 <_ 3
30		absid 10843	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) -> ( abs ` 3 ) = 3 )
31	26, 29, 30	mp2an 422	. . . . 5 |- ( abs ` 3 ) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2168	. . . 4 |- ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2168	. . 3 |- ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) = 3
34	12, 33	eqtri 2160	. 2 |- ( 6 gcd 9 ) = 3
35	6, 34	eqtri 2160	1 |- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   + caddc 7623   <_ cle 7801   -ucneg 7934   3c3 8772   6c6 8775   9c9 8778   ZZcz 9054   abscabs 10769   gcd cgcd 11635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-gcd 11636

This theorem is referenced by: (None)