ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-gcd Unicode version

Theorem ex-gcd 11127
Description: Example for df-gcd 10845. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd  |-  ( -u
6  gcd  9 )  =  3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 8518 . . . 4  |-  6  e.  NN
21nnzi 8707 . . 3  |-  6  e.  ZZ
3 9nn 8521 . . . 4  |-  9  e.  NN
43nnzi 8707 . . 3  |-  9  e.  ZZ
5 neggcd 10880 . . 3  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  9  e.  ZZ )  ->  ( -u 6  gcd  9 )  =  ( 6  gcd  9 ) )
62, 4, 5mp2an 417 . 2  |-  ( -u
6  gcd  9 )  =  ( 6  gcd  9 )
7 6cn 8442 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
8 3cn 8435 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
9 6p3e9 8503 . . . . . 6  |-  ( 6  +  3 )  =  9
107, 8, 9addcomli 7574 . . . . 5  |-  ( 3  +  6 )  =  9
1110eqcomi 2089 . . . 4  |-  9  =  ( 3  +  6 )
1211oveq2i 5626 . . 3  |-  ( 6  gcd  9 )  =  ( 6  gcd  (
3  +  6 ) )
13 3z 8715 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
14 gcdcom 10871 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  3
)  =  ( 3  gcd  6 ) )
152, 13, 14mp2an 417 . . . . 5  |-  ( 6  gcd  3 )  =  ( 3  gcd  6
)
16 3p3e6 8495 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
1716eqcomi 2089 . . . . . 6  |-  6  =  ( 3  +  3 )
1817oveq2i 5626 . . . . 5  |-  ( 3  gcd  6 )  =  ( 3  gcd  (
3  +  3 ) )
1915, 18eqtri 2105 . . . 4  |-  ( 6  gcd  3 )  =  ( 3  gcd  (
3  +  3 ) )
20 gcdadd 10882 . . . . 5  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  3
)  =  ( 6  gcd  ( 3  +  6 ) ) )
212, 13, 20mp2an 417 . . . 4  |-  ( 6  gcd  3 )  =  ( 6  gcd  (
3  +  6 ) )
22 gcdid 10883 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  gcd  3 )  =  ( abs `  3
) )
2313, 22ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( 3  gcd  3 )  =  ( abs `  3
)
24 gcdadd 10882 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  gcd  3
)  =  ( 3  gcd  ( 3  +  3 ) ) )
2513, 13, 24mp2an 417 . . . . 5  |-  ( 3  gcd  3 )  =  ( 3  gcd  (
3  +  3 ) )
26 3re 8434 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
27 0re 7435 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
28 3pos 8454 . . . . . . 7  |-  0  <  3
2927, 26, 28ltleii 7534 . . . . . 6  |-  0  <_  3
30 absid 10403 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  -> 
( abs `  3
)  =  3 )
3126, 29, 30mp2an 417 . . . . 5  |-  ( abs `  3 )  =  3
3223, 25, 313eqtr3i 2113 . . . 4  |-  ( 3  gcd  ( 3  +  3 ) )  =  3
3319, 21, 323eqtr3i 2113 . . 3  |-  ( 6  gcd  ( 3  +  6 ) )  =  3
3412, 33eqtri 2105 . 2  |-  ( 6  gcd  9 )  =  3
356, 34eqtri 2105 1  |-  ( -u
6  gcd  9 )  =  3
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1287    e. wcel 1436   class class class wbr 3822   ` cfv 4983  (class class class)co 5615   RRcr 7296   0cc0 7297    + caddc 7300    <_ cle 7470   -ucneg 7601   3c3 8411   6c6 8414   9c9 8417   ZZcz 8686   abscabs 10329    gcd cgcd 10844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-sup 6626  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-5 8422  df-6 8423  df-7 8424  df-8 8425  df-9 8426  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-fz 9360  df-fzo 9485  df-fl 9608  df-mod 9661  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177  df-rsqrt 10330  df-abs 10331  df-dvds 10703  df-gcd 10845
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator