ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-gcd Unicode version

Theorem ex-gcd 12745
Description: Example for df-gcd 11532. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd  |-  ( -u
6  gcd  9 )  =  3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 8836 . . . 4  |-  6  e.  NN
21nnzi 9026 . . 3  |-  6  e.  ZZ
3 9nn 8839 . . . 4  |-  9  e.  NN
43nnzi 9026 . . 3  |-  9  e.  ZZ
5 neggcd 11567 . . 3  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  9  e.  ZZ )  ->  ( -u 6  gcd  9 )  =  ( 6  gcd  9 ) )
62, 4, 5mp2an 420 . 2  |-  ( -u
6  gcd  9 )  =  ( 6  gcd  9 )
7 6cn 8759 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
8 3cn 8752 . . . . . 6  |-  3  e.  CC
9 6p3e9 8821 . . . . . 6  |-  ( 6  +  3 )  =  9
107, 8, 9addcomli 7871 . . . . 5  |-  ( 3  +  6 )  =  9
1110eqcomi 2119 . . . 4  |-  9  =  ( 3  +  6 )
1211oveq2i 5751 . . 3  |-  ( 6  gcd  9 )  =  ( 6  gcd  (
3  +  6 ) )
13 3z 9034 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
14 gcdcom 11558 . . . . . 6  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  3
)  =  ( 3  gcd  6 ) )
152, 13, 14mp2an 420 . . . . 5  |-  ( 6  gcd  3 )  =  ( 3  gcd  6
)
16 3p3e6 8813 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
1716eqcomi 2119 . . . . . 6  |-  6  =  ( 3  +  3 )
1817oveq2i 5751 . . . . 5  |-  ( 3  gcd  6 )  =  ( 3  gcd  (
3  +  3 ) )
1915, 18eqtri 2136 . . . 4  |-  ( 6  gcd  3 )  =  ( 3  gcd  (
3  +  3 ) )
20 gcdadd 11569 . . . . 5  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 6  gcd  3
)  =  ( 6  gcd  ( 3  +  6 ) ) )
212, 13, 20mp2an 420 . . . 4  |-  ( 6  gcd  3 )  =  ( 6  gcd  (
3  +  6 ) )
22 gcdid 11570 . . . . . 6  |-  ( 3  e.  ZZ  ->  (
3  gcd  3 )  =  ( abs `  3
) )
2313, 22ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 3  gcd  3 )  =  ( abs `  3
)
24 gcdadd 11569 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  gcd  3
)  =  ( 3  gcd  ( 3  +  3 ) ) )
2513, 13, 24mp2an 420 . . . . 5  |-  ( 3  gcd  3 )  =  ( 3  gcd  (
3  +  3 ) )
26 3re 8751 . . . . . 6  |-  3  e.  RR
27 0re 7730 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
28 3pos 8771 . . . . . . 7  |-  0  <  3
2927, 26, 28ltleii 7830 . . . . . 6  |-  0  <_  3
30 absid 10783 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  0  <_  3 )  -> 
( abs `  3
)  =  3 )
3126, 29, 30mp2an 420 . . . . 5  |-  ( abs `  3 )  =  3
3223, 25, 313eqtr3i 2144 . . . 4  |-  ( 3  gcd  ( 3  +  3 ) )  =  3
3319, 21, 323eqtr3i 2144 . . 3  |-  ( 6  gcd  ( 3  +  6 ) )  =  3
3412, 33eqtri 2136 . 2  |-  ( 6  gcd  9 )  =  3
356, 34eqtri 2136 1  |-  ( -u
6  gcd  9 )  =  3
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584    + caddc 7587    <_ cle 7765   -ucneg 7898   3c3 8729   6c6 8732   9c9 8735   ZZcz 9005   abscabs 10709    gcd cgcd 11531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-5 8739  df-6 8740  df-7 8741  df-8 8742  df-9 8743  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390  df-gcd 11532
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator