Theorem ex-gcd 16499

Description: Example for df-gcd 12650. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	|- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9403	. . . 4 |- 6 e. NN
2	1	nnzi 9598	. . 3 |- 6 e. ZZ
3		9nn 9406	. . . 4 |- 9 e. NN
4	3	nnzi 9598	. . 3 |- 9 e. ZZ
5		neggcd 12679	. . 3 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 9 e. ZZ ) -> ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 ) )
6	2, 4, 5	mp2an 426	. 2 |- ( -u 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd 9 )
7		6cn 9319	. . . . . 6 |- 6 e. CC
8		3cn 9312	. . . . . 6 |- 3 e. CC
9		6p3e9 9388	. . . . . 6 |- ( 6 + 3 ) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8418	. . . . 5 |- ( 3 + 6 ) = 9
11	10	eqcomi 2236	. . . 4 |- 9 = ( 3 + 6 )
12	11	oveq2i 6061	. . 3 |- ( 6 gcd 9 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
13		3z 9606	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
14		gcdcom 12669	. . . . . 6 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 ) )
15	2, 13, 14	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd 6 )
16		3p3e6 9380	. . . . . . 7 |- ( 3 + 3 ) = 6
17	16	eqcomi 2236	. . . . . 6 |- 6 = ( 3 + 3 )
18	17	oveq2i 6061	. . . . 5 |- ( 3 gcd 6 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
19	15, 18	eqtri 2253	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
20		gcdadd 12681	. . . . 5 |- ( ( 6 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) )
21	2, 13, 20	mp2an 426	. . . 4 |- ( 6 gcd 3 ) = ( 6 gcd ( 3 + 6 ) )
22		gcdid 12682	. . . . . 6 |- ( 3 e. ZZ -> ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 ) )
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( abs ` 3 )
24		gcdadd 12681	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) )
25	13, 13, 24	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 3 gcd 3 ) = ( 3 gcd ( 3 + 3 ) )
26		3re 9311	. . . . . 6 |- 3 e. RR
27		0re 8274	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
28		3pos 9331	. . . . . . 7 |- 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8376	. . . . . 6 |- 0 <_ 3
30		absid 11756	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 0 <_ 3 ) -> ( abs ` 3 ) = 3 )
31	26, 29, 30	mp2an 426	. . . . 5 |- ( abs ` 3 ) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2261	. . . 4 |- ( 3 gcd ( 3 + 3 ) ) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2261	. . 3 |- ( 6 gcd ( 3 + 6 ) ) = 3
34	12, 33	eqtri 2253	. 2 |- ( 6 gcd 9 ) = 3
35	6, 34	eqtri 2253	1 |- ( -u 6 gcd 9 ) = 3

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   + caddc 8130   <_ cle 8309   -ucneg 8445   3c3 9289   6c6 9292   9c9 9295   ZZcz 9577   abscabs 11682   gcd cgcd 12649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-dvds 12474  df-gcd 12650

This theorem is referenced by: (None)