ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqrt2gt1lt2 Unicode version

Theorem sqrt2gt1lt2 10833
Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
sqrt2gt1lt2  |-  ( 1  <  ( sqr `  2
)  /\  ( sqr `  2 )  <  2
)

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2
StepHypRef Expression
1 sqrt1 10830 . . 3  |-  ( sqr `  1 )  =  1
2 1lt2 8901 . . . 4  |-  1  <  2
3 1re 7777 . . . . 5  |-  1  e.  RR
4 0le1 8255 . . . . 5  |-  0  <_  1
5 2re 8802 . . . . 5  |-  2  e.  RR
6 0le2 8822 . . . . 5  |-  0  <_  2
7 sqrtlt 10821 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <_ 
2 ) )  -> 
( 1  <  2  <->  ( sqr `  1 )  <  ( sqr `  2
) ) )
83, 4, 5, 6, 7mp4an 423 . . . 4  |-  ( 1  <  2  <->  ( sqr `  1 )  <  ( sqr `  2 ) )
92, 8mpbi 144 . . 3  |-  ( sqr `  1 )  < 
( sqr `  2
)
101, 9eqbrtrri 3951 . 2  |-  1  <  ( sqr `  2
)
11 2lt4 8905 . . . 4  |-  2  <  4
12 4re 8809 . . . . 5  |-  4  e.  RR
13 0re 7778 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
14 4pos 8829 . . . . . 6  |-  0  <  4
1513, 12, 14ltleii 7878 . . . . 5  |-  0  <_  4
16 sqrtlt 10821 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <_ 
4 ) )  -> 
( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4
) ) )
175, 6, 12, 15, 16mp4an 423 . . . 4  |-  ( 2  <  4  <->  ( sqr `  2 )  <  ( sqr `  4 ) )
1811, 17mpbi 144 . . 3  |-  ( sqr `  2 )  < 
( sqr `  4
)
19 sqrt4 10831 . . 3  |-  ( sqr `  4 )  =  2
2018, 19breqtri 3953 . 2  |-  ( sqr `  2 )  <  2
2110, 20pm3.2i 270 1  |-  ( 1  <  ( sqr `  2
)  /\  ( sqr `  2 )  <  2
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    < clt 7812    <_ cle 7813   2c2 8783   4c4 8785   sqrcsqrt 10780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-rsqrt 10782
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator