Theorem sqrt2gt1lt2 11815

Description: The square root of 2 is bounded by 1 and 2. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2gt1lt2	|- ( 1 < ( sqr ` 2 ) /\ ( sqr ` 2 ) < 2 )

Proof of Theorem sqrt2gt1lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrt1 11812	. . 3 |- ( sqr ` 1 ) = 1
2		1lt2 9474	. . . 4 |- 1 < 2
3		1re 8325	. . . . 5 |- 1 e. RR
4		0le1 8809	. . . . 5 |- 0 <_ 1
5		2re 9374	. . . . 5 |- 2 e. RR
6		0le2 9394	. . . . 5 |- 0 <_ 2
7		sqrtlt 11803	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) ) -> ( 1 < 2 <-> ( sqr ` 1 ) < ( sqr ` 2 ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	mp4an 431	. . . 4 |- ( 1 < 2 <-> ( sqr ` 1 ) < ( sqr ` 2 ) )
9	2, 8	mpbi 145	. . 3 |- ( sqr ` 1 ) < ( sqr ` 2 )
10	1, 9	eqbrtrri 4153	. 2 |- 1 < ( sqr ` 2 )
11		2lt4 9478	. . . 4 |- 2 < 4
12		4re 9381	. . . . 5 |- 4 e. RR
13		0re 8326	. . . . . 6 |- 0 e. RR
14		4pos 9401	. . . . . 6 |- 0 < 4
15	13, 12, 14	ltleii 8428	. . . . 5 |- 0 <_ 4
16		sqrtlt 11803	. . . . 5 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) /\ ( 4 e. RR /\ 0 <_ 4 ) ) -> ( 2 < 4 <-> ( sqr ` 2 ) < ( sqr ` 4 ) ) )
17	5, 6, 12, 15, 16	mp4an 431	. . . 4 |- ( 2 < 4 <-> ( sqr ` 2 ) < ( sqr ` 4 ) )
18	11, 17	mpbi 145	. . 3 |- ( sqr ` 2 ) < ( sqr ` 4 )
19		sqrt4 11813	. . 3 |- ( sqr ` 4 ) = 2
20	18, 19	breqtri 4155	. 2 |- ( sqr ` 2 ) < 2
21	10, 20	pm3.2i 272	1 |- ( 1 < ( sqr ` 2 ) /\ ( sqr ` 2 ) < 2 )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   2c2 9355   4c4 9357   sqrcsqrt 11762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-rsqrt 11764

This theorem is used by: (None)