Theorem faclbnd2 11067

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 10960	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
2		2t2e4 9357	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2255	. . . . 5 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
4	3	oveq2i 6039	. . . 4 |- ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) )
5		2cn 9273	. . . . . 6 |- 2 e. CC
6		expp1 10871	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
8	7	oveq1d 6043	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
9	4, 8	eqtrid 2276	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
10		expcl 10882	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
11	5, 10	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
12	5	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
13		2ap0 9295	. . . . 5 |- 2 # 0
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 # 0 )
15	11, 12, 12, 12, 14, 14	divmuldivapd 9071	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
16		2div2e1 9335	. . . . 5 |- ( 2 / 2 ) = 1
17	16	oveq2i 6039	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 )
18	11	halfcld 9448	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) e. CC )
19	18	mulridd 8256	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
20	17, 19	eqtrid 2276	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2271	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
22		2nn0 9478	. . . 4 |- 2 e. NN0
23		faclbnd 11066	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
24	22, 23	mpan 424	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
25		2re 9272	. . . . 5 |- 2 e. RR
26		peano2nn0 9501	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
27		reexpcl 10881	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
28	25, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
29		faccl 11060	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
30	29	nnred 9215	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
31		4re 9279	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
32	1, 31	eqeltri 2304	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) e. RR
33		4pos 9299	. . . . . . 7 |- 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 4120	. . . . . 6 |- 0 < ( 2 ^ 2 )
35	32, 34	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) )
36		ledivmul 9116	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
37	35, 36	mp3an3 1363	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
38	28, 30, 37	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
39	24, 38	mpbird 167	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) )
40	21, 39	eqbrtrd 4115	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274   # cap 8820   / cdiv 8911   2c2 9253   4c4 9255   NN0cn0 9461   ^cexp 10863   !cfa 11050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-fac 11051

This theorem is referenced by:  ege2le3  12312