Theorem faclbnd2 10655

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 10550	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
2		2t2e4 9011	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2189	. . . . 5 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
4	3	oveq2i 5853	. . . 4 |- ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) )
5		2cn 8928	. . . . . 6 |- 2 e. CC
6		expp1 10462	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
7	5, 6	mpan 421	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
8	7	oveq1d 5857	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
9	4, 8	syl5eq 2211	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
10		expcl 10473	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
11	5, 10	mpan 421	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
12	5	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
13		2ap0 8950	. . . . 5 |- 2 # 0
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 # 0 )
15	11, 12, 12, 12, 14, 14	divmuldivapd 8728	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
16		2div2e1 8989	. . . . 5 |- ( 2 / 2 ) = 1
17	16	oveq2i 5853	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 )
18	11	halfcld 9101	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) e. CC )
19	18	mulid1d 7916	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
20	17, 19	syl5eq 2211	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2205	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
22		2nn0 9131	. . . 4 |- 2 e. NN0
23		faclbnd 10654	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
24	22, 23	mpan 421	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
25		2re 8927	. . . . 5 |- 2 e. RR
26		peano2nn0 9154	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
27		reexpcl 10472	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
28	25, 26, 27	sylancr 411	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
29		faccl 10648	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
30	29	nnred 8870	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
31		4re 8934	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
32	1, 31	eqeltri 2239	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) e. RR
33		4pos 8954	. . . . . . 7 |- 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 4009	. . . . . 6 |- 0 < ( 2 ^ 2 )
35	32, 34	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) )
36		ledivmul 8772	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
37	35, 36	mp3an3 1316	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
38	28, 30, 37	syl2anc 409	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
39	24, 38	mpbird 166	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) )
40	21, 39	eqbrtrd 4004	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   # cap 8479   / cdiv 8568   2c2 8908   4c4 8910   NN0cn0 9114   ^cexp 10454   !cfa 10638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639

This theorem is referenced by:  ege2le3  11612