ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  faclbnd2 Unicode version

Theorem faclbnd2 10740
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  <_ 
( ! `  N
) )

Proof of Theorem faclbnd2
StepHypRef Expression
1 sq2 10634 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2 2t2e4 9091 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
31, 2eqtr4i 2213 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
43oveq2i 5902 . . . 4  |-  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  (
2  x.  2 ) )
5 2cn 9008 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
6 expp1 10545 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
75, 6mpan 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  x.  2 ) )
87oveq1d 5906 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
94, 8eqtrid 2234 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
10 expcl 10556 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ N
)  e.  CC )
115, 10mpan 424 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  e.  CC )
125a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
13 2ap0 9030 . . . . 5  |-  2 #  0
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  2 #  0 )
1511, 12, 12, 12, 14, 14divmuldivapd 8807 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  x.  2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
16 2div2e1 9069 . . . . 5  |-  ( 2  /  2 )  =  1
1716oveq2i 5902 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ N )  / 
2 )  x.  1 )
1811halfcld 9181 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  e.  CC )
1918mulridd 7992 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ N )  /  2
) )
2017, 19eqtrid 2234 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ N
)  /  2 )  x.  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( 2 ^ N )  /  2
) )
219, 15, 203eqtr2rd 2229 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  =  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
22 2nn0 9211 . . . 4  |-  2  e.  NN0
23 faclbnd 10739 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( (
2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N ) ) )
2422, 23mpan 424 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N )
) )
25 2re 9007 . . . . 5  |-  2  e.  RR
26 peano2nn0 9234 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
27 reexpcl 10555 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2825, 26, 27sylancr 414 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
29 faccl 10733 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
3029nnred 8950 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
31 4re 9014 . . . . . . 7  |-  4  e.  RR
321, 31eqeltri 2262 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  e.  RR
33 4pos 9034 . . . . . . 7  |-  0  <  4
3433, 1breqtrri 4045 . . . . . 6  |-  0  <  ( 2 ^ 2 )
3532, 34pm3.2i 272 . . . . 5  |-  ( ( 2 ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ 2 ) )
36 ledivmul 8852 . . . . 5  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ 2 ) ) )  ->  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_ 
( ! `  N
)  <->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
3735, 36mp3an3 1337 . . . 4  |-  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  / 
( 2 ^ 2 ) )  <_  ( ! `  N )  <->  ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
3828, 30, 37syl2anc 411 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_  ( ! `  N )  <->  ( 2 ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3924, 38mpbird 167 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ ( N  +  1 ) )  /  ( 2 ^ 2 ) )  <_ 
( ! `  N
) )
4021, 39eqbrtrd 4040 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2 ^ N )  /  2 )  <_ 
( ! `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7827   RRcr 7828   0cc0 7829   1c1 7830    + caddc 7832    x. cmul 7834    < clt 8010    <_ cle 8011   # cap 8556    / cdiv 8647   2c2 8988   4c4 8990   NN0cn0 9194   ^cexp 10537   !cfa 10723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-rp 9672  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-fac 10724
This theorem is referenced by:  ege2le3  11697
  Copyright terms: Public domain W3C validator