Theorem faclbnd2 10813

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 10706	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
2		2t2e4 9136	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2217	. . . . 5 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
4	3	oveq2i 5929	. . . 4 |- ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) )
5		2cn 9053	. . . . . 6 |- 2 e. CC
6		expp1 10617	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
7	5, 6	mpan 424	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
8	7	oveq1d 5933	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
9	4, 8	eqtrid 2238	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
10		expcl 10628	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
11	5, 10	mpan 424	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
12	5	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
13		2ap0 9075	. . . . 5 |- 2 # 0
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 # 0 )
15	11, 12, 12, 12, 14, 14	divmuldivapd 8851	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
16		2div2e1 9114	. . . . 5 |- ( 2 / 2 ) = 1
17	16	oveq2i 5929	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 )
18	11	halfcld 9227	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) e. CC )
19	18	mulridd 8036	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
20	17, 19	eqtrid 2238	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2233	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
22		2nn0 9257	. . . 4 |- 2 e. NN0
23		faclbnd 10812	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
24	22, 23	mpan 424	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
25		2re 9052	. . . . 5 |- 2 e. RR
26		peano2nn0 9280	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
27		reexpcl 10627	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
28	25, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
29		faccl 10806	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
30	29	nnred 8995	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
31		4re 9059	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
32	1, 31	eqeltri 2266	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) e. RR
33		4pos 9079	. . . . . . 7 |- 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 4056	. . . . . 6 |- 0 < ( 2 ^ 2 )
35	32, 34	pm3.2i 272	. . . . 5 |- ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) )
36		ledivmul 8896	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
37	35, 36	mp3an3 1337	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
38	28, 30, 37	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
39	24, 38	mpbird 167	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) )
40	21, 39	eqbrtrd 4051	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   x. cmul 7877   < clt 8054   <_ cle 8055   # cap 8600   / cdiv 8691   2c2 9033   4c4 9035   NN0cn0 9240   ^cexp 10609   !cfa 10796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797

This theorem is referenced by:  ege2le3  11814