Theorem faclbnd2 10676

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd2	|- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem faclbnd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq2 10571	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
2		2t2e4 9032	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
3	1, 2	eqtr4i 2194	. . . . 5 |- ( 2 ^ 2 ) = ( 2 x. 2 )
4	3	oveq2i 5864	. . . 4 |- ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) )
5		2cn 8949	. . . . . 6 |- 2 e. CC
6		expp1 10483	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
7	5, 6	mpan 422	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
8	7	oveq1d 5868	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
9	4, 8	eqtrid 2215	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
10		expcl 10494	. . . . 5 |- ( ( 2 e. CC /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
11	5, 10	mpan 422	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
12	5	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 e. CC )
13		2ap0 8971	. . . . 5 |- 2 # 0
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> 2 # 0 )
15	11, 12, 12, 12, 14, 14	divmuldivapd 8749	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) / ( 2 x. 2 ) ) )
16		2div2e1 9010	. . . . 5 |- ( 2 / 2 ) = 1
17	16	oveq2i 5864	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 )
18	11	halfcld 9122	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) e. CC )
19	18	mulid1d 7937	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. 1 ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
20	17, 19	eqtrid 2215	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ N ) / 2 ) x. ( 2 / 2 ) ) = ( ( 2 ^ N ) / 2 ) )
21	9, 15, 20	3eqtr2rd 2210	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) = ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) )
22		2nn0 9152	. . . 4 |- 2 e. NN0
23		faclbnd 10675	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
24	22, 23	mpan 422	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) )
25		2re 8948	. . . . 5 |- 2 e. RR
26		peano2nn0 9175	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
27		reexpcl 10493	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
28	25, 26, 27	sylancr 412	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
29		faccl 10669	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
30	29	nnred 8891	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
31		4re 8955	. . . . . . 7 |- 4 e. RR
32	1, 31	eqeltri 2243	. . . . . 6 |- ( 2 ^ 2 ) e. RR
33		4pos 8975	. . . . . . 7 |- 0 < 4
34	33, 1	breqtrri 4016	. . . . . 6 |- 0 < ( 2 ^ 2 )
35	32, 34	pm3.2i 270	. . . . 5 |- ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) )
36		ledivmul 8793	. . . . 5 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR /\ ( ( 2 ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
37	35, 36	mp3an3 1321	. . . 4 |- ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
38	28, 30, 37	syl2anc 409	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) <-> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ! ` N ) ) ) )
39	24, 38	mpbird 166	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ ( N + 1 ) ) / ( 2 ^ 2 ) ) <_ ( ! ` N ) )
40	21, 39	eqbrtrd 4011	1 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) / 2 ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   # cap 8500   / cdiv 8589   2c2 8929   4c4 8931   NN0cn0 9135   ^cexp 10475   !cfa 10659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660

This theorem is referenced by:  ege2le3  11634