Theorem axdistr 8137

Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 8179 be used later. Instead, use adddi 8207. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axdistr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B + C ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem axdistr

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 8104	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		addcnsrec 8105	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E + [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 8106	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) , ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) >. ] `' _E )
4		mulcnsrec 8106	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
5		mulcnsrec 8106	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) , ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) >. ] `' _E )
6		addcnsrec 8105	. 2 |- ( ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) /\ ( ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. ) ) -> ( [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E + [ <. ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) , ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) , ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) >. ] `' _E )
7		addclsr 8016	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z +R v ) e. R. )
8		addclsr 8016	. . . 4 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w +R u ) e. R. )
9	7, 8	anim12i 338	. . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
10	9	an4s 592	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
11		mulclsr 8017	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
12		m1r 8015	. . . . . 6 |- -1R e. R.
13		mulclsr 8017	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
14		mulclsr 8017	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
16		addclsr 8016	. . . . 5 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
17	11, 15, 16	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
18	17	an4s 592	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
19		mulclsr 8017	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
20		mulclsr 8017	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
21		addclsr 8016	. . . . 5 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
22	19, 20, 21	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ w e. R. ) /\ ( y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
23	22	an42s 593	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
24	18, 23	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) )
25		mulclsr 8017	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ v e. R. ) -> ( x .R v ) e. R. )
26		mulclsr 8017	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ u e. R. ) -> ( y .R u ) e. R. )
27		mulclsr 8017	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ u e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
29		addclsr 8016	. . . . 5 |- ( ( ( x .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
30	25, 28, 29	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ v e. R. ) /\ ( y e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
31	30	an4s 592	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
32		mulclsr 8017	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ v e. R. ) -> ( y .R v ) e. R. )
33		mulclsr 8017	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ u e. R. ) -> ( x .R u ) e. R. )
34		addclsr 8016	. . . . 5 |- ( ( ( y .R v ) e. R. /\ ( x .R u ) e. R. ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
35	32, 33, 34	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ u e. R. ) /\ ( y e. R. /\ v e. R. ) ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
36	35	an42s 593	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
37	31, 36	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. ) )
38		simp1l 1048	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> x e. R. )
39		simp2l 1050	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> z e. R. )
40		simp3l 1052	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> v e. R. )
41		distrsrg 8022	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. /\ v e. R. ) -> ( x .R ( z +R v ) ) = ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z +R v ) ) = ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) )
43		simp1r 1049	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> y e. R. )
44		simp2r 1051	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> w e. R. )
45		simp3r 1053	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> u e. R. )
46		distrsrg 8022	. . . . . . 7 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( y .R ( w +R u ) ) = ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( w +R u ) ) = ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) )
48	47	oveq2d 6044	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) = ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) )
49	12	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> -1R e. R. )
50	43, 44, 13	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
51	43, 45, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R u ) e. R. )
52		distrsrg 8022	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. /\ ( y .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
54	48, 53	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
55	42, 54	oveq12d 6046	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
56	38, 39, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R z ) e. R. )
57	38, 40, 25	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R v ) e. R. )
58	12, 50, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
59		addcomsrg 8018	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
60	59	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
61		addasssrg 8019	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
62	61	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
63	12, 51, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
64		addclsr 8016	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
65	64	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) e. R. )
66	56, 57, 58, 60, 62, 63, 65	caov4d 6217	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
67	55, 66	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
68		distrsrg 8022	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. /\ v e. R. ) -> ( y .R ( z +R v ) ) = ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) )
69	43, 39, 40, 68	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z +R v ) ) = ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) )
70		distrsrg 8022	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( x .R ( w +R u ) ) = ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) )
71	38, 44, 45, 70	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w +R u ) ) = ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) )
72	69, 71	oveq12d 6046	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) +R ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) ) )
73	43, 39, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R z ) e. R. )
74	43, 40, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R v ) e. R. )
75	38, 44, 20	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R w ) e. R. )
76	38, 45, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R u ) e. R. )
77	73, 74, 75, 60, 62, 76, 65	caov4d 6217	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) +R ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) )
78	72, 77	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) )
79	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78	ecovidi 6859	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B + C ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _E cep 4390   `'ccnv 4730  (class class class)co 6028   R.cnr 7560   -1Rcm1r 7563   +R cplr 7564   .R cmr 7565   CCcc 8073   + caddc 8078   x. cmul 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-imp 7732  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-mr 7992  df-m1r 7996  df-c 8081  df-add 8086  df-mul 8087

This theorem is referenced by: (None)