Theorem axdistr 7876

Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 7918 be used later. Instead, use adddi 7946. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axdistr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B + C ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem axdistr

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7843	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		addcnsrec 7844	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E + [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 7845	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) , ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) >. ] `' _E )
4		mulcnsrec 7845	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
5		mulcnsrec 7845	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) , ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) >. ] `' _E )
6		addcnsrec 7844	. 2 |- ( ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) /\ ( ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. ) ) -> ( [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E + [ <. ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) , ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) , ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) >. ] `' _E )
7		addclsr 7755	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z +R v ) e. R. )
8		addclsr 7755	. . . 4 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w +R u ) e. R. )
9	7, 8	anim12i 338	. . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
10	9	an4s 588	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
11		mulclsr 7756	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
12		m1r 7754	. . . . . 6 |- -1R e. R.
13		mulclsr 7756	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
14		mulclsr 7756	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
15	12, 13, 14	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
16		addclsr 7755	. . . . 5 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
17	11, 15, 16	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
18	17	an4s 588	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
19		mulclsr 7756	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
20		mulclsr 7756	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
21		addclsr 7755	. . . . 5 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
22	19, 20, 21	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ w e. R. ) /\ ( y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
23	22	an42s 589	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
24	18, 23	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) )
25		mulclsr 7756	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ v e. R. ) -> ( x .R v ) e. R. )
26		mulclsr 7756	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ u e. R. ) -> ( y .R u ) e. R. )
27		mulclsr 7756	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
28	12, 26, 27	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ u e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
29		addclsr 7755	. . . . 5 |- ( ( ( x .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
30	25, 28, 29	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ v e. R. ) /\ ( y e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
31	30	an4s 588	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
32		mulclsr 7756	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ v e. R. ) -> ( y .R v ) e. R. )
33		mulclsr 7756	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ u e. R. ) -> ( x .R u ) e. R. )
34		addclsr 7755	. . . . 5 |- ( ( ( y .R v ) e. R. /\ ( x .R u ) e. R. ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
35	32, 33, 34	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ u e. R. ) /\ ( y e. R. /\ v e. R. ) ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
36	35	an42s 589	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
37	31, 36	jca 306	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. ) )
38		simp1l 1021	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> x e. R. )
39		simp2l 1023	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> z e. R. )
40		simp3l 1025	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> v e. R. )
41		distrsrg 7761	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. /\ v e. R. ) -> ( x .R ( z +R v ) ) = ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z +R v ) ) = ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) )
43		simp1r 1022	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> y e. R. )
44		simp2r 1024	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> w e. R. )
45		simp3r 1026	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> u e. R. )
46		distrsrg 7761	. . . . . . 7 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( y .R ( w +R u ) ) = ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( w +R u ) ) = ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) )
48	47	oveq2d 5894	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) = ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) )
49	12	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> -1R e. R. )
50	43, 44, 13	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
51	43, 45, 26	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R u ) e. R. )
52		distrsrg 7761	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. /\ ( y .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
54	48, 53	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
55	42, 54	oveq12d 5896	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
56	38, 39, 11	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R z ) e. R. )
57	38, 40, 25	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R v ) e. R. )
58	12, 50, 14	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
59		addcomsrg 7757	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
60	59	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
61		addasssrg 7758	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
62	61	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
63	12, 51, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
64		addclsr 7755	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
65	64	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) e. R. )
66	56, 57, 58, 60, 62, 63, 65	caov4d 6062	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
67	55, 66	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
68		distrsrg 7761	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. /\ v e. R. ) -> ( y .R ( z +R v ) ) = ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) )
69	43, 39, 40, 68	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z +R v ) ) = ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) )
70		distrsrg 7761	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( x .R ( w +R u ) ) = ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) )
71	38, 44, 45, 70	syl3anc 1238	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w +R u ) ) = ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) )
72	69, 71	oveq12d 5896	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) +R ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) ) )
73	43, 39, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R z ) e. R. )
74	43, 40, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R v ) e. R. )
75	38, 44, 20	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R w ) e. R. )
76	38, 45, 33	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R u ) e. R. )
77	73, 74, 75, 60, 62, 76, 65	caov4d 6062	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) +R ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) )
78	72, 77	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) )
79	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78	ecovidi 6650	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B + C ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   _E cep 4289   `'ccnv 4627  (class class class)co 5878   R.cnr 7299   -1Rcm1r 7302   +R cplr 7303   .R cmr 7304   CCcc 7812   + caddc 7817   x. cmul 7819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-pli 7307  df-mi 7308  df-lti 7309  df-plpq 7346  df-mpq 7347  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-plqqs 7351  df-mqqs 7352  df-1nqqs 7353  df-rq 7354  df-ltnqqs 7355  df-enq0 7426  df-nq0 7427  df-0nq0 7428  df-plq0 7429  df-mq0 7430  df-inp 7468  df-i1p 7469  df-iplp 7470  df-imp 7471  df-enr 7728  df-nr 7729  df-plr 7730  df-mr 7731  df-m1r 7735  df-c 7820  df-add 7825  df-mul 7826

This theorem is referenced by: (None)