Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axdistr Unicode version

Theorem axdistr 7675
 Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 7717 be used later. Instead, use adddi 7745. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7642 . 2
3 mulcnsrec 7644 . 2
4 mulcnsrec 7644 . 2
5 mulcnsrec 7644 . 2
7 addclsr 7554 . . . 4
8 addclsr 7554 . . . 4
97, 8anim12i 336 . . 3
109an4s 577 . 2
11 mulclsr 7555 . . . . 5
12 m1r 7553 . . . . . 6
13 mulclsr 7555 . . . . . 6
14 mulclsr 7555 . . . . . 6
1512, 13, 14sylancr 410 . . . . 5
16 addclsr 7554 . . . . 5
1711, 15, 16syl2an 287 . . . 4
1817an4s 577 . . 3
19 mulclsr 7555 . . . . 5
20 mulclsr 7555 . . . . 5
21 addclsr 7554 . . . . 5
2219, 20, 21syl2anr 288 . . . 4
2322an42s 578 . . 3
2418, 23jca 304 . 2
25 mulclsr 7555 . . . . 5
26 mulclsr 7555 . . . . . 6
27 mulclsr 7555 . . . . . 6
2812, 26, 27sylancr 410 . . . . 5
29 addclsr 7554 . . . . 5
3025, 28, 29syl2an 287 . . . 4
3130an4s 577 . . 3
32 mulclsr 7555 . . . . 5
33 mulclsr 7555 . . . . 5
34 addclsr 7554 . . . . 5
3532, 33, 34syl2anr 288 . . . 4
3635an42s 578 . . 3
3731, 36jca 304 . 2
38 simp1l 1005 . . . . 5
39 simp2l 1007 . . . . 5
40 simp3l 1009 . . . . 5
41 distrsrg 7560 . . . . 5
4238, 39, 40, 41syl3anc 1216 . . . 4
43 simp1r 1006 . . . . . . 7
44 simp2r 1008 . . . . . . 7
45 simp3r 1010 . . . . . . 7
46 distrsrg 7560 . . . . . . 7
4743, 44, 45, 46syl3anc 1216 . . . . . 6
4847oveq2d 5783 . . . . 5
4912a1i 9 . . . . . 6
5043, 44, 13syl2anc 408 . . . . . 6
5143, 45, 26syl2anc 408 . . . . . 6
52 distrsrg 7560 . . . . . 6
5349, 50, 51, 52syl3anc 1216 . . . . 5
5448, 53eqtrd 2170 . . . 4
5542, 54oveq12d 5785 . . 3
5638, 39, 11syl2anc 408 . . . 4
5738, 40, 25syl2anc 408 . . . 4
5812, 50, 14sylancr 410 . . . 4
59 addcomsrg 7556 . . . . 5
6059adantl 275 . . . 4
61 addasssrg 7557 . . . . 5
6261adantl 275 . . . 4
6312, 51, 27sylancr 410 . . . 4
64 addclsr 7554 . . . . 5
6564adantl 275 . . . 4
6656, 57, 58, 60, 62, 63, 65caov4d 5948 . . 3
6755, 66eqtrd 2170 . 2
68 distrsrg 7560 . . . . 5
6943, 39, 40, 68syl3anc 1216 . . . 4
70 distrsrg 7560 . . . . 5
7138, 44, 45, 70syl3anc 1216 . . . 4
7269, 71oveq12d 5785 . . 3
7343, 39, 19syl2anc 408 . . . 4
7443, 40, 32syl2anc 408 . . . 4
7538, 44, 20syl2anc 408 . . . 4
7638, 45, 33syl2anc 408 . . . 4
7773, 74, 75, 60, 62, 76, 65caov4d 5948 . . 3
7872, 77eqtrd 2170 . 2
791, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78ecovidi 6534 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480   cep 4204  ccnv 4533  (class class class)co 5767  cnr 7098  cm1r 7101   cplr 7102   cmr 7103  cc 7611   caddc 7616   cmul 7618 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-m1r 7534  df-c 7619  df-add 7624  df-mul 7625 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator