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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > axdistr | Unicode version |
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 7748 be used later. Instead, use adddi 7776. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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axdistr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dfcnqs 7673 |
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2 | addcnsrec 7674 |
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3 | mulcnsrec 7675 |
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4 | mulcnsrec 7675 |
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6 | addcnsrec 7674 |
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7 | addclsr 7585 |
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8 | addclsr 7585 |
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9 | 7, 8 | anim12i 336 |
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10 | 9 | an4s 578 |
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11 | mulclsr 7586 |
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12 | m1r 7584 |
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13 | mulclsr 7586 |
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14 | mulclsr 7586 |
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15 | 12, 13, 14 | sylancr 411 |
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16 | addclsr 7585 |
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17 | 11, 15, 16 | syl2an 287 |
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18 | 17 | an4s 578 |
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19 | mulclsr 7586 |
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20 | mulclsr 7586 |
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21 | addclsr 7585 |
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22 | 19, 20, 21 | syl2anr 288 |
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23 | 22 | an42s 579 |
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24 | 18, 23 | jca 304 |
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25 | mulclsr 7586 |
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28 | 12, 26, 27 | sylancr 411 |
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29 | addclsr 7585 |
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30 | 25, 28, 29 | syl2an 287 |
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31 | 30 | an4s 578 |
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32 | mulclsr 7586 |
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34 | addclsr 7585 |
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35 | 32, 33, 34 | syl2anr 288 |
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36 | 35 | an42s 579 |
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40 | simp3l 1010 |
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41 | distrsrg 7591 |
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42 | 38, 39, 40, 41 | syl3anc 1217 |
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43 | simp1r 1007 |
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44 | simp2r 1009 |
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45 | simp3r 1011 |
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46 | distrsrg 7591 |
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47 | 43, 44, 45, 46 | syl3anc 1217 |
. . . . . 6
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48 | 47 | oveq2d 5798 |
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49 | 12 | a1i 9 |
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50 | 43, 44, 13 | syl2anc 409 |
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63 | 12, 51, 27 | sylancr 411 |
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69 | 43, 39, 40, 68 | syl3anc 1217 |
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71 | 38, 44, 45, 70 | syl3anc 1217 |
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72 | 69, 71 | oveq12d 5800 |
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73 | 43, 39, 19 | syl2anc 409 |
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75 | 38, 44, 20 | syl2anc 409 |
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76 | 38, 45, 33 | syl2anc 409 |
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77 | 73, 74, 75, 60, 62, 76, 65 | caov4d 5963 |
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78 | 72, 77 | eqtrd 2173 |
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79 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78 | ecovidi 6549 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-eprel 4219 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-1o 6321 df-2o 6322 df-oadd 6325 df-omul 6326 df-er 6437 df-ec 6439 df-qs 6443 df-ni 7136 df-pli 7137 df-mi 7138 df-lti 7139 df-plpq 7176 df-mpq 7177 df-enq 7179 df-nqqs 7180 df-plqqs 7181 df-mqqs 7182 df-1nqqs 7183 df-rq 7184 df-ltnqqs 7185 df-enq0 7256 df-nq0 7257 df-0nq0 7258 df-plq0 7259 df-mq0 7260 df-inp 7298 df-i1p 7299 df-iplp 7300 df-imp 7301 df-enr 7558 df-nr 7559 df-plr 7560 df-mr 7561 df-m1r 7565 df-c 7650 df-add 7655 df-mul 7656 |
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