ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axdistr Unicode version

Theorem axdistr 7675
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 7717 be used later. Instead, use adddi 7745. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  +  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7642 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 addcnsrec 7643 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 7644 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( z  +R  v )  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  +R  u ) ) ) ) ,  ( ( y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  ( w  +R  u
) ) ) >. ] `'  _E  )
4 mulcnsrec 7644 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
5 mulcnsrec 7644 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) ,  ( ( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) )
>. ] `'  _E  )
6 addcnsrec 7643 . 2  |-  ( ( ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )  /\  ( ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R.  /\  ( ( y  .R  v )  +R  (
x  .R  u )
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) ) ,  ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) ) >. ] `'  _E  +  [ <. (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ,  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) ) >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ) ,  ( ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  +R  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) ) ) >. ] `'  _E  )
7 addclsr 7554 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
8 addclsr 7554 . . . 4  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
97, 8anim12i 336 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
109an4s 577 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
11 mulclsr 7555 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  e.  R. )
12 m1r 7553 . . . . . 6  |-  -1R  e.  R.
13 mulclsr 7555 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  e.  R. )
14 mulclsr 7555 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
1512, 13, 14sylancr 410 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  e.  R. )
16 addclsr 7554 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  z
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R. )
1711, 15, 16syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
1817an4s 577 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  e.  R. )
19 mulclsr 7555 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  e.  R. )
20 mulclsr 7555 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  e.  R. )
21 addclsr 7554 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  z
)  e.  R.  /\  ( x  .R  w
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  e.  R. )
2219, 20, 21syl2anr 288 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
2322an42s 578 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  e.  R. )
2418, 23jca 304 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )  e.  R. ) )
25 mulclsr 7555 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( x  .R  v
)  e.  R. )
26 mulclsr 7555 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( y  .R  u
)  e.  R. )
27 mulclsr 7555 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
)  e.  R. )
2812, 26, 27sylancr 410 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
)  e.  R. )
29 addclsr 7554 . . . . 5  |-  ( ( ( x  .R  v
)  e.  R.  /\  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) )  e.  R. )  -> 
( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u ) ) )  e.  R. )
3025, 28, 29syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R. )
3130an4s 577 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) )  e.  R. )
32 mulclsr 7555 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( y  .R  v
)  e.  R. )
33 mulclsr 7555 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( x  .R  u
)  e.  R. )
34 addclsr 7554 . . . . 5  |-  ( ( ( y  .R  v
)  e.  R.  /\  ( x  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( ( y  .R  v )  +R  (
x  .R  u )
)  e.  R. )
3532, 33, 34syl2anr 288 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  u  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  v  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) )  e.  R. )
3635an42s 578 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  v )  +R  ( x  .R  u
) )  e.  R. )
3731, 36jca 304 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) )  e.  R.  /\  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) )  e.  R. ) )
38 simp1l 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  x  e.  R. )
39 simp2l 1007 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  z  e.  R. )
40 simp3l 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  v  e.  R. )
41 distrsrg 7560 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  (
x  .R  ( z  +R  v ) )  =  ( ( x  .R  z )  +R  (
x  .R  v )
) )
4238, 39, 40, 41syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( x  .R  ( z  +R  v
) )  =  ( ( x  .R  z
)  +R  ( x  .R  v ) ) )
43 simp1r 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  y  e.  R. )
44 simp2r 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  w  e.  R. )
45 simp3r 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  u  e.  R. )
46 distrsrg 7560 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  (
y  .R  ( w  +R  u ) )  =  ( ( y  .R  w )  +R  (
y  .R  u )
) )
4743, 44, 45, 46syl3anc 1216 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( y  .R  ( w  +R  u
) )  =  ( ( y  .R  w
)  +R  ( y  .R  u ) ) )
4847oveq2d 5783 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  +R  u ) ) )  =  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  +R  ( y  .R  u ) ) ) )
4912a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  -1R  e.  R. )
5043, 44, 13syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( y  .R  w )  e.  R. )
5143, 45, 26syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( y  .R  u )  e.  R. )
52 distrsrg 7560 . . . . . 6  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( y  .R  w
)  e.  R.  /\  ( y  .R  u
)  e.  R. )  ->  ( -1R  .R  (
( y  .R  w
)  +R  ( y  .R  u ) ) )  =  ( ( -1R  .R  ( y  .R  w ) )  +R  ( -1R  .R  ( y  .R  u
) ) ) )
5349, 50, 51, 52syl3anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( -1R  .R  ( ( y  .R  w )  +R  (
y  .R  u )
) )  =  ( ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
5448, 53eqtrd 2170 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( -1R  .R  ( y  .R  (
w  +R  u ) ) )  =  ( ( -1R  .R  (
y  .R  w )
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) )
5542, 54oveq12d 5785 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  +R  u ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( x  .R  v ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) ) )
5638, 39, 11syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( x  .R  z )  e.  R. )
5738, 40, 25syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( x  .R  v )  e.  R. )
5812, 50, 14sylancr 410 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( -1R  .R  ( y  .R  w
) )  e.  R. )
59 addcomsrg 7556 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
6059adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  (
z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  /\  ( f  e.  R.  /\  g  e. 
R. ) )  -> 
( f  +R  g
)  =  ( g  +R  f ) )
61 addasssrg 7557 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
( f  +R  g
)  +R  h )  =  ( f  +R  ( g  +R  h
) ) )
6261adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  (
z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  /\  ( f  e.  R.  /\  g  e. 
R.  /\  h  e.  R. ) )  ->  (
( f  +R  g
)  +R  h )  =  ( f  +R  ( g  +R  h
) ) )
6312, 51, 27sylancr 410 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( -1R  .R  ( y  .R  u
) )  e.  R. )
64 addclsr 7554 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R. )  ->  ( f  +R  g
)  e.  R. )
6564adantl 275 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e. 
R.  /\  y  e.  R. )  /\  (
z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  /\  ( f  e.  R.  /\  g  e. 
R. ) )  -> 
( f  +R  g
)  e.  R. )
6656, 57, 58, 60, 62, 63, 65caov4d 5948 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( x  .R  z
)  +R  ( x  .R  v ) )  +R  ( ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) )  =  ( ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  +R  (
( x  .R  v
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  u ) ) ) ) )
6755, 66eqtrd 2170 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  ( w  +R  u ) ) ) )  =  ( ( ( x  .R  z
)  +R  ( -1R 
.R  ( y  .R  w ) ) )  +R  ( ( x  .R  v )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  u )
) ) ) )
68 distrsrg 7560 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  (
y  .R  ( z  +R  v ) )  =  ( ( y  .R  z )  +R  (
y  .R  v )
) )
6943, 39, 40, 68syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( y  .R  ( z  +R  v
) )  =  ( ( y  .R  z
)  +R  ( y  .R  v ) ) )
70 distrsrg 7560 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  (
x  .R  ( w  +R  u ) )  =  ( ( x  .R  w )  +R  (
x  .R  u )
) )
7138, 44, 45, 70syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( x  .R  ( w  +R  u
) )  =  ( ( x  .R  w
)  +R  ( x  .R  u ) ) )
7269, 71oveq12d 5785 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  (
w  +R  u ) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  (
y  .R  v )
)  +R  ( ( x  .R  w )  +R  ( x  .R  u ) ) ) )
7343, 39, 19syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( y  .R  z )  e.  R. )
7443, 40, 32syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( y  .R  v )  e.  R. )
7538, 44, 20syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( x  .R  w )  e.  R. )
7638, 45, 33syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( x  .R  u )  e.  R. )
7773, 74, 75, 60, 62, 76, 65caov4d 5948 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
( y  .R  z
)  +R  ( y  .R  v ) )  +R  ( ( x  .R  w )  +R  ( x  .R  u
) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  +R  (
( y  .R  v
)  +R  ( x  .R  u ) ) ) )
7872, 77eqtrd 2170 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  ( z  +R  v ) )  +R  ( x  .R  (
w  +R  u ) ) )  =  ( ( ( y  .R  z )  +R  (
x  .R  w )
)  +R  ( ( y  .R  v )  +R  ( x  .R  u ) ) ) )
791, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78ecovidi 6534 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  +  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  +  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    _E cep 4204   `'ccnv 4533  (class class class)co 5767   R.cnr 7098   -1Rcm1r 7101    +R cplr 7102    .R cmr 7103   CCcc 7611    + caddc 7616    x. cmul 7618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-m1r 7534  df-c 7619  df-add 7624  df-mul 7625
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator