Theorem axdistr 7836

Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 7878 be used later. Instead, use adddi 7906. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axdistr	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B + C ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. C ) ) )

Proof of Theorem axdistr

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7803	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		addcnsrec 7804	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E + [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 7805	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) , ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) >. ] `' _E )
4		mulcnsrec 7805	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
5		mulcnsrec 7805	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) , ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) >. ] `' _E )
6		addcnsrec 7804	. 2 |- ( ( ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) /\ ( ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. ) ) -> ( [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E + [ <. ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) , ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) >. ] `' _E ) = [ <. ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) , ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) >. ] `' _E )
7		addclsr 7715	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z +R v ) e. R. )
8		addclsr 7715	. . . 4 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w +R u ) e. R. )
9	7, 8	anim12i 336	. . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
10	9	an4s 583	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
11		mulclsr 7716	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) e. R. )
12		m1r 7714	. . . . . 6 |- -1R e. R.
13		mulclsr 7716	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) e. R. )
14		mulclsr 7716	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
15	12, 13, 14	sylancr 412	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
16		addclsr 7715	. . . . 5 |- ( ( ( x .R z ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
17	11, 15, 16	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
18	17	an4s 583	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. )
19		mulclsr 7716	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) e. R. )
20		mulclsr 7716	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) e. R. )
21		addclsr 7715	. . . . 5 |- ( ( ( y .R z ) e. R. /\ ( x .R w ) e. R. ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
22	19, 20, 21	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ w e. R. ) /\ ( y e. R. /\ z e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
23	22	an42s 584	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. )
24	18, 23	jca 304	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) e. R. ) )
25		mulclsr 7716	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ v e. R. ) -> ( x .R v ) e. R. )
26		mulclsr 7716	. . . . . 6 |- ( ( y e. R. /\ u e. R. ) -> ( y .R u ) e. R. )
27		mulclsr 7716	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
28	12, 26, 27	sylancr 412	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ u e. R. ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
29		addclsr 7715	. . . . 5 |- ( ( ( x .R v ) e. R. /\ ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
30	25, 28, 29	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ v e. R. ) /\ ( y e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
31	30	an4s 583	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. )
32		mulclsr 7716	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ v e. R. ) -> ( y .R v ) e. R. )
33		mulclsr 7716	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ u e. R. ) -> ( x .R u ) e. R. )
34		addclsr 7715	. . . . 5 |- ( ( ( y .R v ) e. R. /\ ( x .R u ) e. R. ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
35	32, 33, 34	syl2anr 288	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ u e. R. ) /\ ( y e. R. /\ v e. R. ) ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
36	35	an42s 584	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. )
37	31, 36	jca 304	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) e. R. /\ ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) e. R. ) )
38		simp1l 1016	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> x e. R. )
39		simp2l 1018	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> z e. R. )
40		simp3l 1020	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> v e. R. )
41		distrsrg 7721	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. /\ v e. R. ) -> ( x .R ( z +R v ) ) = ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) )
42	38, 39, 40, 41	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( z +R v ) ) = ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) )
43		simp1r 1017	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> y e. R. )
44		simp2r 1019	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> w e. R. )
45		simp3r 1021	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> u e. R. )
46		distrsrg 7721	. . . . . . 7 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( y .R ( w +R u ) ) = ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( w +R u ) ) = ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) )
48	47	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) = ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) )
49	12	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> -1R e. R. )
50	43, 44, 13	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R w ) e. R. )
51	43, 45, 26	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R u ) e. R. )
52		distrsrg 7721	. . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( y .R w ) e. R. /\ ( y .R u ) e. R. ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
53	49, 50, 51, 52	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( ( y .R w ) +R ( y .R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
54	48, 53	eqtrd 2203	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) = ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) )
55	42, 54	oveq12d 5871	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
56	38, 39, 11	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R z ) e. R. )
57	38, 40, 25	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R v ) e. R. )
58	12, 50, 14	sylancr 412	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) e. R. )
59		addcomsrg 7717	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
60	59	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) = ( g +R f ) )
61		addasssrg 7718	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
62	61	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f +R g ) +R h ) = ( f +R ( g +R h ) ) )
63	12, 51, 27	sylancr 412	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R u ) ) e. R. )
64		addclsr 7715	. . . . 5 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. ) -> ( f +R g ) e. R. )
65	64	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) /\ ( f e. R. /\ g e. R. ) ) -> ( f +R g ) e. R. )
66	56, 57, 58, 60, 62, 63, 65	caov4d 6037	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( x .R z ) +R ( x .R v ) ) +R ( ( -1R .R ( y .R w ) ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
67	55, 66	eqtrd 2203	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x .R ( z +R v ) ) +R ( -1R .R ( y .R ( w +R u ) ) ) ) = ( ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) +R ( ( x .R v ) +R ( -1R .R ( y .R u ) ) ) ) )
68		distrsrg 7721	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. /\ v e. R. ) -> ( y .R ( z +R v ) ) = ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) )
69	43, 39, 40, 68	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R ( z +R v ) ) = ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) )
70		distrsrg 7721	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( x .R ( w +R u ) ) = ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) )
71	38, 44, 45, 70	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R ( w +R u ) ) = ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) )
72	69, 71	oveq12d 5871	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) +R ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) ) )
73	43, 39, 19	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R z ) e. R. )
74	43, 40, 32	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( y .R v ) e. R. )
75	38, 44, 20	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R w ) e. R. )
76	38, 45, 33	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( x .R u ) e. R. )
77	73, 74, 75, 60, 62, 76, 65	caov4d 6037	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( ( y .R z ) +R ( y .R v ) ) +R ( ( x .R w ) +R ( x .R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) )
78	72, 77	eqtrd 2203	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y .R ( z +R v ) ) +R ( x .R ( w +R u ) ) ) = ( ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) +R ( ( y .R v ) +R ( x .R u ) ) ) )
79	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78	ecovidi 6625	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. ( B + C ) ) = ( ( A x. B ) + ( A x. C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   _E cep 4272   `'ccnv 4610  (class class class)co 5853   R.cnr 7259   -1Rcm1r 7262   +R cplr 7263   .R cmr 7264   CCcc 7772   + caddc 7777   x. cmul 7779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-m1r 7695  df-c 7780  df-add 7785  df-mul 7786

This theorem is referenced by: (None)