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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > axdistr | Unicode version |
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 7932 be used later. Instead, use adddi 7960. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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axdistr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dfcnqs 7857 |
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2 | addcnsrec 7858 |
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3 | mulcnsrec 7859 |
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4 | mulcnsrec 7859 |
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5 | mulcnsrec 7859 |
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6 | addcnsrec 7858 |
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7 | addclsr 7769 |
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8 | addclsr 7769 |
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9 | 7, 8 | anim12i 338 |
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10 | 9 | an4s 588 |
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11 | mulclsr 7770 |
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12 | m1r 7768 |
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13 | mulclsr 7770 |
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14 | mulclsr 7770 |
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15 | 12, 13, 14 | sylancr 414 |
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16 | addclsr 7769 |
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17 | 11, 15, 16 | syl2an 289 |
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18 | 17 | an4s 588 |
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22 | 19, 20, 21 | syl2anr 290 |
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23 | 22 | an42s 589 |
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24 | 18, 23 | jca 306 |
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28 | 12, 26, 27 | sylancr 414 |
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30 | 25, 28, 29 | syl2an 289 |
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31 | 30 | an4s 588 |
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34 | addclsr 7769 |
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36 | 35 | an42s 589 |
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41 | distrsrg 7775 |
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42 | 38, 39, 40, 41 | syl3anc 1248 |
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43 | simp1r 1023 |
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44 | simp2r 1025 |
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46 | distrsrg 7775 |
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47 | 43, 44, 45, 46 | syl3anc 1248 |
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48 | 47 | oveq2d 5906 |
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49 | 12 | a1i 9 |
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50 | 43, 44, 13 | syl2anc 411 |
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53 | 49, 50, 51, 52 | syl3anc 1248 |
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56 | 38, 39, 11 | syl2anc 411 |
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61 | addasssrg 7772 |
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63 | 12, 51, 27 | sylancr 414 |
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66 | 56, 57, 58, 60, 62, 63, 65 | caov4d 6075 |
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67 | 55, 66 | eqtrd 2221 |
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68 | distrsrg 7775 |
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69 | 43, 39, 40, 68 | syl3anc 1248 |
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71 | 38, 44, 45, 70 | syl3anc 1248 |
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72 | 69, 71 | oveq12d 5908 |
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73 | 43, 39, 19 | syl2anc 411 |
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74 | 43, 40, 32 | syl2anc 411 |
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75 | 38, 44, 20 | syl2anc 411 |
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76 | 38, 45, 33 | syl2anc 411 |
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77 | 73, 74, 75, 60, 62, 76, 65 | caov4d 6075 |
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78 | 72, 77 | eqtrd 2221 |
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79 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78 | ecovidi 6664 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2161 ax-14 2162 ax-ext 2170 ax-coll 4132 ax-sep 4135 ax-nul 4143 ax-pow 4188 ax-pr 4223 ax-un 4447 ax-setind 4550 ax-iinf 4601 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2040 df-mo 2041 df-clab 2175 df-cleq 2181 df-clel 2184 df-nfc 2320 df-ne 2360 df-ral 2472 df-rex 2473 df-reu 2474 df-rab 2476 df-v 2753 df-sbc 2977 df-csb 3072 df-dif 3145 df-un 3147 df-in 3149 df-ss 3156 df-nul 3437 df-pw 3591 df-sn 3612 df-pr 3613 df-op 3615 df-uni 3824 df-int 3859 df-iun 3902 df-br 4018 df-opab 4079 df-mpt 4080 df-tr 4116 df-eprel 4303 df-id 4307 df-po 4310 df-iso 4311 df-iord 4380 df-on 4382 df-suc 4385 df-iom 4604 df-xp 4646 df-rel 4647 df-cnv 4648 df-co 4649 df-dm 4650 df-rn 4651 df-res 4652 df-ima 4653 df-iota 5192 df-fun 5232 df-fn 5233 df-f 5234 df-f1 5235 df-fo 5236 df-f1o 5237 df-fv 5238 df-ov 5893 df-oprab 5894 df-mpo 5895 df-1st 6158 df-2nd 6159 df-recs 6323 df-irdg 6388 df-1o 6434 df-2o 6435 df-oadd 6438 df-omul 6439 df-er 6552 df-ec 6554 df-qs 6558 df-ni 7320 df-pli 7321 df-mi 7322 df-lti 7323 df-plpq 7360 df-mpq 7361 df-enq 7363 df-nqqs 7364 df-plqqs 7365 df-mqqs 7366 df-1nqqs 7367 df-rq 7368 df-ltnqqs 7369 df-enq0 7440 df-nq0 7441 df-0nq0 7442 df-plq0 7443 df-mq0 7444 df-inp 7482 df-i1p 7483 df-iplp 7484 df-imp 7485 df-enr 7742 df-nr 7743 df-plr 7744 df-mr 7745 df-m1r 7749 df-c 7834 df-add 7839 df-mul 7840 |
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