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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > axdistr | Unicode version |
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 7512 be used later. Instead, use adddi 7537. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
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axdistr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | dfcnqs 7441 |
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2 | addcnsrec 7442 |
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3 | mulcnsrec 7443 |
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4 | mulcnsrec 7443 |
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6 | addcnsrec 7442 |
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7 | addclsr 7362 |
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8 | addclsr 7362 |
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9 | 7, 8 | anim12i 332 |
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10 | 9 | an4s 556 |
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11 | mulclsr 7363 |
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12 | m1r 7361 |
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13 | mulclsr 7363 |
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14 | mulclsr 7363 |
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15 | 12, 13, 14 | sylancr 406 |
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16 | addclsr 7362 |
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17 | 11, 15, 16 | syl2an 284 |
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18 | 17 | an4s 556 |
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19 | mulclsr 7363 |
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21 | addclsr 7362 |
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22 | 19, 20, 21 | syl2anr 285 |
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23 | 22 | an42s 557 |
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24 | 18, 23 | jca 301 |
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28 | 12, 26, 27 | sylancr 406 |
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30 | 25, 28, 29 | syl2an 284 |
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31 | 30 | an4s 556 |
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34 | addclsr 7362 |
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35 | 32, 33, 34 | syl2anr 285 |
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36 | 35 | an42s 557 |
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37 | 31, 36 | jca 301 |
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39 | simp2l 970 |
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41 | distrsrg 7368 |
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42 | 38, 39, 40, 41 | syl3anc 1175 |
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43 | simp1r 969 |
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44 | simp2r 971 |
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45 | simp3r 973 |
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46 | distrsrg 7368 |
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47 | 43, 44, 45, 46 | syl3anc 1175 |
. . . . . 6
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48 | 47 | oveq2d 5684 |
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49 | 12 | a1i 9 |
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50 | 43, 44, 13 | syl2anc 404 |
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63 | 12, 51, 27 | sylancr 406 |
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69 | 43, 39, 40, 68 | syl3anc 1175 |
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71 | 38, 44, 45, 70 | syl3anc 1175 |
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72 | 69, 71 | oveq12d 5686 |
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73 | 43, 39, 19 | syl2anc 404 |
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74 | 43, 40, 32 | syl2anc 404 |
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75 | 38, 44, 20 | syl2anc 404 |
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76 | 38, 45, 33 | syl2anc 404 |
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77 | 73, 74, 75, 60, 62, 76, 65 | caov4d 5845 |
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78 | 72, 77 | eqtrd 2121 |
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79 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 67, 78 | ecovidi 6420 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3962 ax-sep 3965 ax-nul 3973 ax-pow 4017 ax-pr 4047 ax-un 4271 ax-setind 4368 ax-iinf 4418 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rab 2369 df-v 2624 df-sbc 2844 df-csb 2937 df-dif 3004 df-un 3006 df-in 3008 df-ss 3015 df-nul 3290 df-pw 3437 df-sn 3458 df-pr 3459 df-op 3461 df-uni 3662 df-int 3697 df-iun 3740 df-br 3854 df-opab 3908 df-mpt 3909 df-tr 3945 df-eprel 4127 df-id 4131 df-po 4134 df-iso 4135 df-iord 4204 df-on 4206 df-suc 4209 df-iom 4421 df-xp 4460 df-rel 4461 df-cnv 4462 df-co 4463 df-dm 4464 df-rn 4465 df-res 4466 df-ima 4467 df-iota 4995 df-fun 5032 df-fn 5033 df-f 5034 df-f1 5035 df-fo 5036 df-f1o 5037 df-fv 5038 df-ov 5671 df-oprab 5672 df-mpt2 5673 df-1st 5927 df-2nd 5928 df-recs 6086 df-irdg 6151 df-1o 6197 df-2o 6198 df-oadd 6201 df-omul 6202 df-er 6308 df-ec 6310 df-qs 6314 df-ni 6926 df-pli 6927 df-mi 6928 df-lti 6929 df-plpq 6966 df-mpq 6967 df-enq 6969 df-nqqs 6970 df-plqqs 6971 df-mqqs 6972 df-1nqqs 6973 df-rq 6974 df-ltnqqs 6975 df-enq0 7046 df-nq0 7047 df-0nq0 7048 df-plq0 7049 df-mq0 7050 df-inp 7088 df-i1p 7089 df-iplp 7090 df-imp 7091 df-enr 7335 df-nr 7336 df-plr 7337 df-mr 7338 df-m1r 7342 df-c 7419 df-add 7424 df-mul 7425 |
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