ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axaddass Unicode version

Theorem axaddass 7859
Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addass 7901 be used later. Instead, use addass 7929. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddass  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  +  C )  =  ( A  +  ( B  +  C
) ) )

Proof of Theorem axaddass
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7828 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 addcnsrec 7829 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  +  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( x  +R  z ) ,  ( y  +R  w )
>. ] `'  _E  )
3 addcnsrec 7829 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( z  +R  v
) ,  ( w  +R  u ) >. ] `'  _E  )
4 addcnsrec 7829 . 2  |-  ( ( ( ( x  +R  z )  e.  R.  /\  ( y  +R  w
)  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( [ <. ( x  +R  z
) ,  ( y  +R  w ) >. ] `'  _E  +  [ <. v ,  u >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  +R  z )  +R  v ) ,  ( ( y  +R  w
)  +R  u )
>. ] `'  _E  )
5 addcnsrec 7829 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( z  +R  v )  e.  R.  /\  ( w  +R  u
)  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  +  [ <. ( z  +R  v ) ,  ( w  +R  u )
>. ] `'  _E  )  =  [ <. ( x  +R  ( z  +R  v
) ) ,  ( y  +R  ( w  +R  u ) )
>. ] `'  _E  )
6 addclsr 7740 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  +R  z
)  e.  R. )
7 addclsr 7740 . . . 4  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  +R  w
)  e.  R. )
86, 7anim12i 338 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  /\  ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  e.  R.  /\  (
y  +R  w )  e.  R. ) )
98an4s 588 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  e.  R.  /\  (
y  +R  w )  e.  R. ) )
10 addclsr 7740 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  ( z  +R  v
)  e.  R. )
11 addclsr 7740 . . . 4  |-  ( ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  ( w  +R  u
)  e.  R. )
1210, 11anim12i 338 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
1312an4s 588 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
z  +R  v )  e.  R.  /\  (
w  +R  u )  e.  R. ) )
14 addasssrg 7743 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R.  /\  v  e.  R. )  ->  (
( x  +R  z
)  +R  v )  =  ( x  +R  ( z  +R  v
) ) )
15143adant3r 1235 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R.  /\  (
v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  +R  v )  =  ( x  +R  (
z  +R  v ) ) )
16153adant2r 1233 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  +R  v )  =  ( x  +R  (
z  +R  v ) ) )
17163adant1r 1231 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
x  +R  z )  +R  v )  =  ( x  +R  (
z  +R  v ) ) )
18 addasssrg 7743 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R.  /\  u  e.  R. )  ->  (
( y  +R  w
)  +R  u )  =  ( y  +R  ( w  +R  u
) ) )
19183adant3l 1234 . . . 4  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R.  /\  (
v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  +R  w )  +R  u )  =  ( y  +R  (
w  +R  u ) ) )
20193adant2l 1232 . . 3  |-  ( ( y  e.  R.  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  +R  w )  +R  u )  =  ( y  +R  (
w  +R  u ) ) )
21203adant1l 1230 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( v  e.  R.  /\  u  e.  R. )
)  ->  ( (
y  +R  w )  +R  u )  =  ( y  +R  (
w  +R  u ) ) )
221, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 17, 21ecoviass 6639 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  +  C )  =  ( A  +  ( B  +  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    _E cep 4284   `'ccnv 4622  (class class class)co 5869   R.cnr 7284    +R cplr 7288   CCcc 7797    + caddc 7802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7291  df-pli 7292  df-mi 7293  df-lti 7294  df-plpq 7331  df-mpq 7332  df-enq 7334  df-nqqs 7335  df-plqqs 7336  df-mqqs 7337  df-1nqqs 7338  df-rq 7339  df-ltnqqs 7340  df-enq0 7411  df-nq0 7412  df-0nq0 7413  df-plq0 7414  df-mq0 7415  df-inp 7453  df-iplp 7455  df-enr 7713  df-nr 7714  df-plr 7715  df-c 7805  df-add 7810
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator