Theorem axaddass 7985

Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addass 8027 be used later. Instead, use addass 8055. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddass	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) + C ) = ( A + ( B + C ) ) )

Proof of Theorem axaddass

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7954	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		addcnsrec 7955	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E + [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. ] `' _E )
3		addcnsrec 7955	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E + [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E )
4		addcnsrec 7955	. 2 |- ( ( ( ( x +R z ) e. R. /\ ( y +R w ) e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. ] `' _E + [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x +R z ) +R v ) , ( ( y +R w ) +R u ) >. ] `' _E )
5		addcnsrec 7955	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E + [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E ) = [ <. ( x +R ( z +R v ) ) , ( y +R ( w +R u ) ) >. ] `' _E )
6		addclsr 7866	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x +R z ) e. R. )
7		addclsr 7866	. . . 4 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y +R w ) e. R. )
8	6, 7	anim12i 338	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) e. R. /\ ( y +R w ) e. R. ) )
9	8	an4s 588	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) e. R. /\ ( y +R w ) e. R. ) )
10		addclsr 7866	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z +R v ) e. R. )
11		addclsr 7866	. . . 4 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w +R u ) e. R. )
12	10, 11	anim12i 338	. . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
13	12	an4s 588	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
14		addasssrg 7869	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. /\ v e. R. ) -> ( ( x +R z ) +R v ) = ( x +R ( z +R v ) ) )
15	14	3adant3r 1238	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) +R v ) = ( x +R ( z +R v ) ) )
16	15	3adant2r 1236	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) +R v ) = ( x +R ( z +R v ) ) )
17	16	3adant1r 1234	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) +R v ) = ( x +R ( z +R v ) ) )
18		addasssrg 7869	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( ( y +R w ) +R u ) = ( y +R ( w +R u ) ) )
19	18	3adant3l 1237	. . . 4 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y +R w ) +R u ) = ( y +R ( w +R u ) ) )
20	19	3adant2l 1235	. . 3 |- ( ( y e. R. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y +R w ) +R u ) = ( y +R ( w +R u ) ) )
21	20	3adant1l 1233	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y +R w ) +R u ) = ( y +R ( w +R u ) ) )
22	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 17, 21	ecoviass 6732	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) + C ) = ( A + ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   _E cep 4334   `'ccnv 4674  (class class class)co 5944   R.cnr 7410   +R cplr 7414   CCcc 7923   + caddc 7928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-2o 6503  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-rq 7465  df-ltnqqs 7466  df-enq0 7537  df-nq0 7538  df-0nq0 7539  df-plq0 7540  df-mq0 7541  df-inp 7579  df-iplp 7581  df-enr 7839  df-nr 7840  df-plr 7841  df-c 7931  df-add 7936

This theorem is referenced by: (None)