Theorem axaddass 8020

Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addass 8062 be used later. Instead, use addass 8090. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axaddass	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) + C ) = ( A + ( B + C ) ) )

Proof of Theorem axaddass

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7989	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		addcnsrec 7990	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E + [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. ] `' _E )
3		addcnsrec 7990	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E + [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E )
4		addcnsrec 7990	. 2 |- ( ( ( ( x +R z ) e. R. /\ ( y +R w ) e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( [ <. ( x +R z ) , ( y +R w ) >. ] `' _E + [ <. v , u >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x +R z ) +R v ) , ( ( y +R w ) +R u ) >. ] `' _E )
5		addcnsrec 7990	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E + [ <. ( z +R v ) , ( w +R u ) >. ] `' _E ) = [ <. ( x +R ( z +R v ) ) , ( y +R ( w +R u ) ) >. ] `' _E )
6		addclsr 7901	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x +R z ) e. R. )
7		addclsr 7901	. . . 4 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y +R w ) e. R. )
8	6, 7	anim12i 338	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ z e. R. ) /\ ( y e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) e. R. /\ ( y +R w ) e. R. ) )
9	8	an4s 588	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) e. R. /\ ( y +R w ) e. R. ) )
10		addclsr 7901	. . . 4 |- ( ( z e. R. /\ v e. R. ) -> ( z +R v ) e. R. )
11		addclsr 7901	. . . 4 |- ( ( w e. R. /\ u e. R. ) -> ( w +R u ) e. R. )
12	10, 11	anim12i 338	. . 3 |- ( ( ( z e. R. /\ v e. R. ) /\ ( w e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
13	12	an4s 588	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( z +R v ) e. R. /\ ( w +R u ) e. R. ) )
14		addasssrg 7904	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. /\ v e. R. ) -> ( ( x +R z ) +R v ) = ( x +R ( z +R v ) ) )
15	14	3adant3r 1238	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) +R v ) = ( x +R ( z +R v ) ) )
16	15	3adant2r 1236	. . 3 |- ( ( x e. R. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) +R v ) = ( x +R ( z +R v ) ) )
17	16	3adant1r 1234	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( x +R z ) +R v ) = ( x +R ( z +R v ) ) )
18		addasssrg 7904	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ u e. R. ) -> ( ( y +R w ) +R u ) = ( y +R ( w +R u ) ) )
19	18	3adant3l 1237	. . . 4 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y +R w ) +R u ) = ( y +R ( w +R u ) ) )
20	19	3adant2l 1235	. . 3 |- ( ( y e. R. /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y +R w ) +R u ) = ( y +R ( w +R u ) ) )
21	20	3adant1l 1233	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( v e. R. /\ u e. R. ) ) -> ( ( y +R w ) +R u ) = ( y +R ( w +R u ) ) )
22	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 17, 21	ecoviass 6755	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) + C ) = ( A + ( B + C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   _E cep 4352   `'ccnv 4692  (class class class)co 5967   R.cnr 7445   +R cplr 7449   CCcc 7958   + caddc 7963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501  df-enq0 7572  df-nq0 7573  df-0nq0 7574  df-plq0 7575  df-mq0 7576  df-inp 7614  df-iplp 7616  df-enr 7874  df-nr 7875  df-plr 7876  df-c 7966  df-add 7971

This theorem is referenced by: (None)