ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcnsrec GIF version

Theorem addcnsrec 7650
Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 7649 and mulcnsrec 7651. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcnsrec (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E + [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩] E )

Proof of Theorem addcnsrec
StepHypRef Expression
1 addcnsr 7642 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ + ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
2 opelxpi 4571 . . . 4 ((𝐴R𝐵R) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R))
3 ecidg 6493 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
42, 3syl 14 . . 3 ((𝐴R𝐵R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩] E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
5 opelxpi 4571 . . . 4 ((𝐶R𝐷R) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R))
6 ecidg 6493 . . . 4 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩] E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
75, 6syl 14 . . 3 ((𝐶R𝐷R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩] E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
84, 7oveqan12d 5793 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E + [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = (⟨𝐴, 𝐵⟩ + ⟨𝐶, 𝐷⟩))
9 addclsr 7561 . . . . 5 ((𝐴R𝐶R) → (𝐴 +R 𝐶) ∈ R)
109ad2ant2r 500 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐴 +R 𝐶) ∈ R)
11 addclsr 7561 . . . . 5 ((𝐵R𝐷R) → (𝐵 +R 𝐷) ∈ R)
1211ad2ant2l 499 . . . 4 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → (𝐵 +R 𝐷) ∈ R)
13 opelxpi 4571 . . . 4 (((𝐴 +R 𝐶) ∈ R ∧ (𝐵 +R 𝐷) ∈ R) → ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R))
1410, 12, 13syl2anc 408 . . 3 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R))
15 ecidg 6493 . . 3 (⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R) → [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩] E = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
1614, 15syl 14 . 2 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩] E = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
171, 8, 163eqtr4d 2182 1 (((𝐴R𝐵R) ∧ (𝐶R𝐷R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩] E + [⟨𝐶, 𝐷⟩] E ) = [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩] E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530   E cep 4209   × cxp 4537  ccnv 4538  (class class class)co 5774  [cec 6427  Rcnr 7105   +R cplr 7109   + caddc 7623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-iplp 7276  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-c 7626  df-add 7631
This theorem is referenced by:  axaddass  7680  axdistr  7682
  Copyright terms: Public domain W3C validator