Theorem addcnsrec 8052

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 8051 and mulcnsrec 8053. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E + [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E ) = [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩]◡ E )

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 8044	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ + ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
2		opelxpi 4755	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R))
3		ecidg 6763	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → [⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
5		opelxpi 4755	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R))
6		ecidg 6763	. . . 4 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (R × R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R) → [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E = ⟨𝐶, 𝐷⟩)
8	4, 7	oveqan12d 6032	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E + [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E ) = (⟨𝐴, 𝐵⟩ + ⟨𝐶, 𝐷⟩))
9		addclsr 7963	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐶) ∈ R)
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (𝐴 +R 𝐶) ∈ R)
11		addclsr 7963	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R) → (𝐵 +R 𝐷) ∈ R)
12	11	ad2ant2l 508	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → (𝐵 +R 𝐷) ∈ R)
13		opelxpi 4755	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +R 𝐶) ∈ R ∧ (𝐵 +R 𝐷) ∈ R) → ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R))
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R))
15		ecidg 6763	. . 3 ⊢ (⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩ ∈ (R × R) → [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩]◡ E = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
16	14, 15	syl 14	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩]◡ E = ⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩)
17	1, 8, 16	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) ∧ (𝐶 ∈ R ∧ 𝐷 ∈ R)) → ([⟨𝐴, 𝐵⟩]◡ E + [⟨𝐶, 𝐷⟩]◡ E ) = [⟨(𝐴 +R 𝐶), (𝐵 +R 𝐷)⟩]◡ E )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670   E cep 4382   × cxp 4721  ^◡ccnv 4722  (class class class)co 6013  [cec 6695  Rcnr 7507   +_R cplr 7511   + caddc 8025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-pli 7515  df-mi 7516  df-lti 7517  df-plpq 7554  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-plqqs 7559  df-mqqs 7560  df-1nqqs 7561  df-rq 7562  df-ltnqqs 7563  df-enq0 7634  df-nq0 7635  df-0nq0 7636  df-plq0 7637  df-mq0 7638  df-inp 7676  df-iplp 7678  df-enr 7936  df-nr 7937  df-plr 7938  df-c 8028  df-add 8033

This theorem is referenced by:  axaddass  8082  axdistr  8084