Theorem addcomsrg 7783

Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addcomsrg	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) = ( B +R A ) )

Proof of Theorem addcomsrg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7755	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		addsrpr 7773	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R )
3		addsrpr 7773	. 2 |- ( ( ( z e. P. /\ w e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~R +R [ <. x , y >. ] ~R ) = [ <. ( z +P. x ) , ( w +P. y ) >. ] ~R )
4		addcomprg 7606	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x +P. z ) = ( z +P. x ) )
5	4	ad2ant2r 509	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( x +P. z ) = ( z +P. x ) )
6		addcomprg 7606	. . 3 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y +P. w ) = ( w +P. y ) )
7	6	ad2ant2l 508	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( y +P. w ) = ( w +P. y ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	ecovicom 6668	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) = ( B +R A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160  (class class class)co 5895   P.cnp 7319   +P. cpp 7321   ~R cer 7324   R.cnr 7325   +R cplr 7329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-2o 6441  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-1nqqs 7379  df-rq 7380  df-ltnqqs 7381  df-enq0 7452  df-nq0 7453  df-0nq0 7454  df-plq0 7455  df-mq0 7456  df-inp 7494  df-iplp 7496  df-enr 7754  df-nr 7755  df-plr 7756

This theorem is referenced by:  pn0sr  7799  caucvgsrlemoffval  7824  caucvgsrlemoffcau  7826  caucvgsrlemoffgt1  7827  caucvgsrlemoffres  7828  caucvgsr  7830  map2psrprg  7833  axaddcom  7898  axmulcom  7899  axmulass  7901  axdistr  7902  axi2m1  7903  axcnre  7909