ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcomsrg Unicode version

Theorem addcomsrg 7291
Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
addcomsrg  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  =  ( B  +R  A ) )

Proof of Theorem addcomsrg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7263 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 addsrpr 7281 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  )
3 addsrpr 7281 . 2  |-  ( ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~R  +R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  )  =  [ <. (
z  +P.  x ) ,  ( w  +P.  y ) >. ]  ~R  )
4 addcomprg 7127 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  +P.  z
)  =  ( z  +P.  x ) )
54ad2ant2r 493 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( x  +P.  z )  =  ( z  +P.  x ) )
6 addcomprg 7127 . . 3  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  +P.  w
)  =  ( w  +P.  y ) )
76ad2ant2l 492 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( y  +P.  w )  =  ( w  +P.  y ) )
81, 2, 3, 5, 7ecovicom 6390 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  =  ( B  +R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438  (class class class)co 5644   P.cnp 6840    +P. cpp 6842    ~R cer 6845   R.cnr 6846    +R cplr 6850
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-eprel 4114  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-1o 6173  df-2o 6174  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-pli 6854  df-mi 6855  df-lti 6856  df-plpq 6893  df-mpq 6894  df-enq 6896  df-nqqs 6897  df-plqqs 6898  df-mqqs 6899  df-1nqqs 6900  df-rq 6901  df-ltnqqs 6902  df-enq0 6973  df-nq0 6974  df-0nq0 6975  df-plq0 6976  df-mq0 6977  df-inp 7015  df-iplp 7017  df-enr 7262  df-nr 7263  df-plr 7264
This theorem is referenced by:  pn0sr  7307  caucvgsrlemoffval  7331  caucvgsrlemoffcau  7333  caucvgsrlemoffgt1  7334  caucvgsrlemoffres  7335  caucvgsr  7337  axaddcom  7395  axmulcom  7396  axmulass  7398  axdistr  7399  axi2m1  7400  axcnre  7406
  Copyright terms: Public domain W3C validator