ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcomsrg Unicode version

Theorem addcomsrg 7783
Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
addcomsrg  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  =  ( B  +R  A ) )

Proof of Theorem addcomsrg
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7755 . 2  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 addsrpr 7773 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  +R  [ <. z ,  w >. ]  ~R  )  =  [ <. (
x  +P.  z ) ,  ( y  +P.  w ) >. ]  ~R  )
3 addsrpr 7773 . 2  |-  ( ( ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~R  +R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  )  =  [ <. (
z  +P.  x ) ,  ( w  +P.  y ) >. ]  ~R  )
4 addcomprg 7606 . . 3  |-  ( ( x  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( x  +P.  z
)  =  ( z  +P.  x ) )
54ad2ant2r 509 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( x  +P.  z )  =  ( z  +P.  x ) )
6 addcomprg 7606 . . 3  |-  ( ( y  e.  P.  /\  w  e.  P. )  ->  ( y  +P.  w
)  =  ( w  +P.  y ) )
76ad2ant2l 508 . 2  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( z  e.  P.  /\  w  e.  P. )
)  ->  ( y  +P.  w )  =  ( w  +P.  y ) )
81, 2, 3, 5, 7ecovicom 6668 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( A  +R  B
)  =  ( B  +R  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160  (class class class)co 5895   P.cnp 7319    +P. cpp 7321    ~R cer 7324   R.cnr 7325    +R cplr 7329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-2o 6441  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-1nqqs 7379  df-rq 7380  df-ltnqqs 7381  df-enq0 7452  df-nq0 7453  df-0nq0 7454  df-plq0 7455  df-mq0 7456  df-inp 7494  df-iplp 7496  df-enr 7754  df-nr 7755  df-plr 7756
This theorem is referenced by:  pn0sr  7799  caucvgsrlemoffval  7824  caucvgsrlemoffcau  7826  caucvgsrlemoffgt1  7827  caucvgsrlemoffres  7828  caucvgsr  7830  map2psrprg  7833  axaddcom  7898  axmulcom  7899  axmulass  7901  axdistr  7902  axi2m1  7903  axcnre  7909
  Copyright terms: Public domain W3C validator