Theorem addcomsrg 7291

Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addcomsrg	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) = ( B +R A ) )

Proof of Theorem addcomsrg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7263	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		addsrpr 7281	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R )
3		addsrpr 7281	. 2 |- ( ( ( z e. P. /\ w e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~R +R [ <. x , y >. ] ~R ) = [ <. ( z +P. x ) , ( w +P. y ) >. ] ~R )
4		addcomprg 7127	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x +P. z ) = ( z +P. x ) )
5	4	ad2ant2r 493	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( x +P. z ) = ( z +P. x ) )
6		addcomprg 7127	. . 3 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y +P. w ) = ( w +P. y ) )
7	6	ad2ant2l 492	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( y +P. w ) = ( w +P. y ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	ecovicom 6390	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) = ( B +R A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438  (class class class)co 5644   P.cnp 6840   +P. cpp 6842   ~R cer 6845   R.cnr 6846   +R cplr 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-eprel 4114  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-1o 6173  df-2o 6174  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-pli 6854  df-mi 6855  df-lti 6856  df-plpq 6893  df-mpq 6894  df-enq 6896  df-nqqs 6897  df-plqqs 6898  df-mqqs 6899  df-1nqqs 6900  df-rq 6901  df-ltnqqs 6902  df-enq0 6973  df-nq0 6974  df-0nq0 6975  df-plq0 6976  df-mq0 6977  df-inp 7015  df-iplp 7017  df-enr 7262  df-nr 7263  df-plr 7264

This theorem is referenced by:  pn0sr  7307  caucvgsrlemoffval  7331  caucvgsrlemoffcau  7333  caucvgsrlemoffgt1  7334  caucvgsrlemoffres  7335  caucvgsr  7337  axaddcom  7395  axmulcom  7396  axmulass  7398  axdistr  7399  axi2m1  7400  axcnre  7406