Theorem addcomsrg 7930

Description: Addition of signed reals is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
addcomsrg	|- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) = ( B +R A ) )

Proof of Theorem addcomsrg

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7902	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		addsrpr 7920	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R +R [ <. z , w >. ] ~R ) = [ <. ( x +P. z ) , ( y +P. w ) >. ] ~R )
3		addsrpr 7920	. 2 |- ( ( ( z e. P. /\ w e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~R +R [ <. x , y >. ] ~R ) = [ <. ( z +P. x ) , ( w +P. y ) >. ] ~R )
4		addcomprg 7753	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ z e. P. ) -> ( x +P. z ) = ( z +P. x ) )
5	4	ad2ant2r 509	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( x +P. z ) = ( z +P. x ) )
6		addcomprg 7753	. . 3 |- ( ( y e. P. /\ w e. P. ) -> ( y +P. w ) = ( w +P. y ) )
7	6	ad2ant2l 508	. 2 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( z e. P. /\ w e. P. ) ) -> ( y +P. w ) = ( w +P. y ) )
8	1, 2, 3, 5, 7	ecovicom 6780	1 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( A +R B ) = ( B +R A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 5994   P.cnp 7466   +P. cpp 7468   ~R cer 7471   R.cnr 7472   +R cplr 7476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4377  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-1o 6552  df-2o 6553  df-oadd 6556  df-omul 6557  df-er 6670  df-ec 6672  df-qs 6676  df-ni 7479  df-pli 7480  df-mi 7481  df-lti 7482  df-plpq 7519  df-mpq 7520  df-enq 7522  df-nqqs 7523  df-plqqs 7524  df-mqqs 7525  df-1nqqs 7526  df-rq 7527  df-ltnqqs 7528  df-enq0 7599  df-nq0 7600  df-0nq0 7601  df-plq0 7602  df-mq0 7603  df-inp 7641  df-iplp 7643  df-enr 7901  df-nr 7902  df-plr 7903

This theorem is referenced by:  pn0sr  7946  caucvgsrlemoffval  7971  caucvgsrlemoffcau  7973  caucvgsrlemoffgt1  7974  caucvgsrlemoffres  7975  caucvgsr  7977  map2psrprg  7980  axaddcom  8045  axmulcom  8046  axmulass  8048  axdistr  8049  axi2m1  8050  axcnre  8056