Theorem axmulcom 7872

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7914 be used later. Instead, use mulcom 7942. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Proof of Theorem axmulcom

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7842	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		mulcnsrec 7844	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 7844	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E x. [ <. x , y >. ] `' _E ) = [ <. ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) , ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) >. ] `' _E )
4		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> x e. R. )
5		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> z e. R. )
6		mulcomsrg 7758	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
8		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> y e. R. )
9		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> w e. R. )
10		mulcomsrg 7758	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
12	11	oveq2d 5893	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) = ( -1R .R ( w .R y ) ) )
13	7, 12	oveq12d 5895	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) = ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) )
14		mulcomsrg 7758	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
15	8, 5, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
16		mulcomsrg 7758	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
17	4, 9, 16	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
18	15, 17	oveq12d 5895	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) )
19		mulclsr 7755	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( z .R y ) e. R. )
20	5, 8, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( z .R y ) e. R. )
21		mulclsr 7755	. . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ x e. R. ) -> ( w .R x ) e. R. )
22	9, 4, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( w .R x ) e. R. )
23		addcomsrg 7756	. . . 4 |- ( ( ( z .R y ) e. R. /\ ( w .R x ) e. R. ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
25	18, 24	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
26	1, 2, 3, 13, 25	ecovicom 6645	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _E cep 4289   `'ccnv 4627  (class class class)co 5877   R.cnr 7298   -1Rcm1r 7301   +R cplr 7302   .R cmr 7303   CCcc 7811   x. cmul 7818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-i1p 7468  df-iplp 7469  df-imp 7470  df-enr 7727  df-nr 7728  df-plr 7729  df-mr 7730  df-m1r 7734  df-c 7819  df-mul 7825

This theorem is referenced by:  rereceu  7890  recriota  7891