ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axmulcom Unicode version

Theorem axmulcom 7385
Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7425 be used later. Instead, use mulcom 7450. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulcom  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )

Proof of Theorem axmulcom
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 7357 . 2  |-  CC  =  ( ( R.  X.  R. ) /. `'  _E  )
2 mulcnsrec 7359 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ] `'  _E  x.  [ <. z ,  w >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) ) ,  ( ( y  .R  z
)  +R  ( x  .R  w ) )
>. ] `'  _E  )
3 mulcnsrec 7359 . 2  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ] `'  _E  x.  [ <. x ,  y >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( ( z  .R  x )  +R  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) ) ,  ( ( w  .R  x )  +R  ( z  .R  y
) ) >. ] `'  _E  )
4 simpll 496 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  x  e.  R. )
5 simprl 498 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  z  e.  R. )
6 mulcomsrg 7282 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( x  .R  z
)  =  ( z  .R  x ) )
74, 5, 6syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( x  .R  z )  =  ( z  .R  x ) )
8 simplr 497 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  y  e.  R. )
9 simprr 499 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  w  e.  R. )
10 mulcomsrg 7282 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( y  .R  w
)  =  ( w  .R  y ) )
118, 9, 10syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( y  .R  w )  =  ( w  .R  y ) )
1211oveq2d 5650 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( -1R  .R  ( y  .R  w
) )  =  ( -1R  .R  ( w  .R  y ) ) )
137, 12oveq12d 5652 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
x  .R  z )  +R  ( -1R  .R  (
y  .R  w )
) )  =  ( ( z  .R  x
)  +R  ( -1R 
.R  ( w  .R  y ) ) ) )
14 mulcomsrg 7282 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( y  .R  z
)  =  ( z  .R  y ) )
158, 5, 14syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( y  .R  z )  =  ( z  .R  y ) )
16 mulcomsrg 7282 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( x  .R  w
)  =  ( w  .R  x ) )
174, 9, 16syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( x  .R  w )  =  ( w  .R  x ) )
1815, 17oveq12d 5652 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  =  ( ( z  .R  y
)  +R  ( w  .R  x ) ) )
19 mulclsr 7279 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( z  .R  y
)  e.  R. )
205, 8, 19syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( z  .R  y )  e.  R. )
21 mulclsr 7279 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( w  .R  x
)  e.  R. )
229, 4, 21syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( w  .R  x )  e.  R. )
23 addcomsrg 7280 . . . 4  |-  ( ( ( z  .R  y
)  e.  R.  /\  ( w  .R  x
)  e.  R. )  ->  ( ( z  .R  y )  +R  (
w  .R  x )
)  =  ( ( w  .R  x )  +R  ( z  .R  y ) ) )
2420, 22, 23syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
z  .R  y )  +R  ( w  .R  x
) )  =  ( ( w  .R  x
)  +R  ( z  .R  y ) ) )
2518, 24eqtrd 2120 . 2  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( (
y  .R  z )  +R  ( x  .R  w
) )  =  ( ( w  .R  x
)  +R  ( z  .R  y ) ) )
261, 2, 3, 13, 25ecovicom 6380 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( B  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438    _E cep 4105   `'ccnv 4427  (class class class)co 5634   R.cnr 6835   -1Rcm1r 6838    +R cplr 6839    .R cmr 6840   CCcc 7327    x. cmul 7334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-iplp 7006  df-imp 7007  df-enr 7251  df-nr 7252  df-plr 7253  df-mr 7254  df-m1r 7258  df-c 7335  df-mul 7341
This theorem is referenced by:  rereceu  7403  recriota  7404
  Copyright terms: Public domain W3C validator