Theorem axmulcom 7861

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7903 be used later. Instead, use mulcom 7931. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Proof of Theorem axmulcom

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7831	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		mulcnsrec 7833	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 7833	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E x. [ <. x , y >. ] `' _E ) = [ <. ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) , ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) >. ] `' _E )
4		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> x e. R. )
5		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> z e. R. )
6		mulcomsrg 7747	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
8		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> y e. R. )
9		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> w e. R. )
10		mulcomsrg 7747	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
12	11	oveq2d 5885	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) = ( -1R .R ( w .R y ) ) )
13	7, 12	oveq12d 5887	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) = ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) )
14		mulcomsrg 7747	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
15	8, 5, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
16		mulcomsrg 7747	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
17	4, 9, 16	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
18	15, 17	oveq12d 5887	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) )
19		mulclsr 7744	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( z .R y ) e. R. )
20	5, 8, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( z .R y ) e. R. )
21		mulclsr 7744	. . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ x e. R. ) -> ( w .R x ) e. R. )
22	9, 4, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( w .R x ) e. R. )
23		addcomsrg 7745	. . . 4 |- ( ( ( z .R y ) e. R. /\ ( w .R x ) e. R. ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
25	18, 24	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
26	1, 2, 3, 13, 25	ecovicom 6637	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _E cep 4284   `'ccnv 4622  (class class class)co 5869   R.cnr 7287   -1Rcm1r 7290   +R cplr 7291   .R cmr 7292   CCcc 7800   x. cmul 7807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-i1p 7457  df-iplp 7458  df-imp 7459  df-enr 7716  df-nr 7717  df-plr 7718  df-mr 7719  df-m1r 7723  df-c 7808  df-mul 7814

This theorem is referenced by:  rereceu  7879  recriota  7880