Theorem axmulcom 7933

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7975 be used later. Instead, use mulcom 8003. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Proof of Theorem axmulcom

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7903	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		mulcnsrec 7905	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 7905	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E x. [ <. x , y >. ] `' _E ) = [ <. ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) , ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) >. ] `' _E )
4		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> x e. R. )
5		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> z e. R. )
6		mulcomsrg 7819	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
8		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> y e. R. )
9		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> w e. R. )
10		mulcomsrg 7819	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
12	11	oveq2d 5935	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) = ( -1R .R ( w .R y ) ) )
13	7, 12	oveq12d 5937	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) = ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) )
14		mulcomsrg 7819	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
15	8, 5, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
16		mulcomsrg 7819	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
17	4, 9, 16	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
18	15, 17	oveq12d 5937	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) )
19		mulclsr 7816	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( z .R y ) e. R. )
20	5, 8, 19	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( z .R y ) e. R. )
21		mulclsr 7816	. . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ x e. R. ) -> ( w .R x ) e. R. )
22	9, 4, 21	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( w .R x ) e. R. )
23		addcomsrg 7817	. . . 4 |- ( ( ( z .R y ) e. R. /\ ( w .R x ) e. R. ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
25	18, 24	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
26	1, 2, 3, 13, 25	ecovicom 6699	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _E cep 4319   `'ccnv 4659  (class class class)co 5919   R.cnr 7359   -1Rcm1r 7362   +R cplr 7363   .R cmr 7364   CCcc 7872   x. cmul 7879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489  df-mq0 7490  df-inp 7528  df-i1p 7529  df-iplp 7530  df-imp 7531  df-enr 7788  df-nr 7789  df-plr 7790  df-mr 7791  df-m1r 7795  df-c 7880  df-mul 7886

This theorem is referenced by:  rereceu  7951  recriota  7952