Theorem axmulcom 7774

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-mulcom 7816 be used later. Instead, use mulcom 7844. (Contributed by NM, 31-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Proof of Theorem axmulcom

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 7744	. 2 |- CC = ( ( R. X. R. ) /. `' _E )
2		mulcnsrec 7746	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] `' _E x. [ <. z , w >. ] `' _E ) = [ <. ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) , ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) >. ] `' _E )
3		mulcnsrec 7746	. 2 |- ( ( ( z e. R. /\ w e. R. ) /\ ( x e. R. /\ y e. R. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] `' _E x. [ <. x , y >. ] `' _E ) = [ <. ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) , ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) >. ] `' _E )
4		simpll 519	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> x e. R. )
5		simprl 521	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> z e. R. )
6		mulcomsrg 7660	. . . 4 |- ( ( x e. R. /\ z e. R. ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
7	4, 5, 6	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R z ) = ( z .R x ) )
8		simplr 520	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> y e. R. )
9		simprr 522	. . . . 5 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> w e. R. )
10		mulcomsrg 7660	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ w e. R. ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R w ) = ( w .R y ) )
12	11	oveq2d 5834	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( -1R .R ( y .R w ) ) = ( -1R .R ( w .R y ) ) )
13	7, 12	oveq12d 5836	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( x .R z ) +R ( -1R .R ( y .R w ) ) ) = ( ( z .R x ) +R ( -1R .R ( w .R y ) ) ) )
14		mulcomsrg 7660	. . . . 5 |- ( ( y e. R. /\ z e. R. ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
15	8, 5, 14	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( y .R z ) = ( z .R y ) )
16		mulcomsrg 7660	. . . . 5 |- ( ( x e. R. /\ w e. R. ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
17	4, 9, 16	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( x .R w ) = ( w .R x ) )
18	15, 17	oveq12d 5836	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) )
19		mulclsr 7657	. . . . 5 |- ( ( z e. R. /\ y e. R. ) -> ( z .R y ) e. R. )
20	5, 8, 19	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( z .R y ) e. R. )
21		mulclsr 7657	. . . . 5 |- ( ( w e. R. /\ x e. R. ) -> ( w .R x ) e. R. )
22	9, 4, 21	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( w .R x ) e. R. )
23		addcomsrg 7658	. . . 4 |- ( ( ( z .R y ) e. R. /\ ( w .R x ) e. R. ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( z .R y ) +R ( w .R x ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
25	18, 24	eqtrd 2190	. 2 |- ( ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ ( z e. R. /\ w e. R. ) ) -> ( ( y .R z ) +R ( x .R w ) ) = ( ( w .R x ) +R ( z .R y ) ) )
26	1, 2, 3, 13, 25	ecovicom 6581	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   _E cep 4246   `'ccnv 4582  (class class class)co 5818   R.cnr 7200   -1Rcm1r 7203   +R cplr 7204   .R cmr 7205   CCcc 7713   x. cmul 7720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4248  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-1o 6357  df-2o 6358  df-oadd 6361  df-omul 6362  df-er 6473  df-ec 6475  df-qs 6479  df-ni 7207  df-pli 7208  df-mi 7209  df-lti 7210  df-plpq 7247  df-mpq 7248  df-enq 7250  df-nqqs 7251  df-plqqs 7252  df-mqqs 7253  df-1nqqs 7254  df-rq 7255  df-ltnqqs 7256  df-enq0 7327  df-nq0 7328  df-0nq0 7329  df-plq0 7330  df-mq0 7331  df-inp 7369  df-i1p 7370  df-iplp 7371  df-imp 7372  df-enr 7629  df-nr 7630  df-plr 7631  df-mr 7632  df-m1r 7636  df-c 7721  df-mul 7727

This theorem is referenced by:  rereceu  7792  recriota  7793